基于DAMDF的彈道導(dǎo)彈進(jìn)動(dòng)周期提取

趙振沖，王曉丹，宋亞飛，雷 蕾

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院， 西安710051)

0 引言

相比于碎片和誘餌，具有姿態(tài)控制的彈頭在飛行過程中由于受到干擾而產(chǎn)生的進(jìn)動(dòng)是其特有的特性。因此，進(jìn)動(dòng)參數(shù)的提取是區(qū)分真假彈頭和誘餌、碎片的關(guān)鍵［1-8］。

現(xiàn)有的基于平均幅度差函數(shù)(Average Magnitude Difference Function，AMDF)和自相關(guān)函數(shù)(Autocorrelation Function，AUTOC)的導(dǎo)彈進(jìn)動(dòng)周期提取方法，如:AUTOC/AMDF［9］、循環(huán) AUTOC(Circular AUTOC)、循環(huán) AMDF(Circular AMDF)和 CAUTOC/CAMDF［10］，主要存在兩個(gè)方面的問題:(1)由于AMDF和AUTOC的處理結(jié)果和原數(shù)據(jù)具有相同的周期，每種方法的處理結(jié)果都包含多個(gè)分頻和倍頻峰值，而且當(dāng)信噪比較低時(shí)，由于噪聲的影響會(huì)出現(xiàn)更多的虛假峰值，因此在提取周期時(shí)都會(huì)出現(xiàn)分頻和倍頻錯(cuò)誤。(2)隨著計(jì)算步長(zhǎng)的增加，函數(shù)幅值會(huì)出現(xiàn)明顯的衰減，使得周期提取變得更加困難。文獻(xiàn)［11-12］分別提出了方差分析法和時(shí)頻分析法，仍會(huì)出現(xiàn)分頻和倍頻錯(cuò)誤。

基于以上分析，本文提出一種基于修正的雙重AMDF算法的周期估計(jì)方法(Double AMDF，DAMDF)。由于利用AMDF和AUTOC函數(shù)處理的結(jié)果具有和原數(shù)據(jù)相同的周期性，并且其平均幅值隨步長(zhǎng)增加而衰減，因此對(duì)處理結(jié)果利用AMDF進(jìn)行周期再提取時(shí)，二次處理結(jié)果在第一周期處的極值顯著性要明顯強(qiáng)于在各分頻處的極值顯著性。為了進(jìn)一步增強(qiáng)這種效果，對(duì)二次處理的AMDF函數(shù)進(jìn)行了歸一化修正，使處理后的結(jié)果只在第一周期處有一個(gè)比較顯著的峰值。該方法不但克服了分頻的影響，而且能夠有效抑制噪聲和倍頻帶來的干擾。實(shí)驗(yàn)表明，該方法在信噪比低、目標(biāo)平動(dòng)的情況下仍能準(zhǔn)確估計(jì)出進(jìn)動(dòng)周期。

1 基于AMDF和AUTOC的進(jìn)動(dòng)周期估計(jì)

AMDF和AUTOC是提取序列周期常用的兩種方法。設(shè)彈頭窄帶雷達(dá)回波序列為X(n)，n=1，2，…，N，則平均幅度差函數(shù)可表示為

從P(k)中提取周期有兩種常用方法:

1)在最值處提取周期。估計(jì)函數(shù)可設(shè)為

式中:kmin、kmax是預(yù)先設(shè)定的最大、最小步長(zhǎng)。則有T=Δk/fs，其中fs為樣本采樣頻率。該方法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單，但缺點(diǎn)也很明顯。假設(shè)目標(biāo)的進(jìn)動(dòng)周期為T0，則在 k=nT0，n∈N*，函數(shù)同樣會(huì)出現(xiàn)谷值，并且由于目標(biāo)的雷達(dá)回波不可避免地將受到噪聲的干擾，因此在實(shí)際的計(jì)算過程中會(huì)出現(xiàn)分頻或倍頻誤差。并且隨著k值的增加，求和項(xiàng)逐漸減少，函數(shù)會(huì)出現(xiàn)多個(gè)谷值。仿真實(shí)驗(yàn)表明，該方法的誤判率隨著信噪比(SNR)的降低而迅速提高。

2)依據(jù)AMDF和X(n)具有相同周期的特點(diǎn)，以兩個(gè)極值的間隔作為周期。即Δk=kmin2-kmin1，其中kmin1、kmin2分別是函數(shù)(1)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的步長(zhǎng)，則有T=Δk/fs。該方法的性能同樣會(huì)受到噪聲造成的虛假峰值的嚴(yán)重影響。

自相關(guān)函數(shù)是另外一種計(jì)算序列周期的有效方法。函數(shù)可表示為

基于該函數(shù)的周期估計(jì)同樣有兩種常用方法。一種設(shè)周期估計(jì)函數(shù)為

另外一種Δk=kmax2-kmax1，則有T=Δk/fs。該方法同樣存在和AMDF一樣的不足。

由函數(shù)特性可知，AUTOC表征的是X(i)與延時(shí)為k的信號(hào)X(i+k)之間的相似程度，其峰值顯著性容易受到數(shù)據(jù)平均幅值變化的影響;AMDF計(jì)算的是信號(hào)X(i)與延時(shí)為k的信號(hào)X(i+k)之間的幅度差，其谷值的顯著性對(duì)噪聲的影響比較敏感。仿真結(jié)果表明:在SNR比較高的情況下，AMDF的估計(jì)精度較AUTOC更為精確，AUTOC對(duì)回波數(shù)據(jù)的平均幅值的變化比較敏感，如圖1所示，而實(shí)際中雷達(dá)回波的平均幅度由于導(dǎo)彈的平動(dòng)作用而不斷變化。但是在SNR較低(小于5 dB)且不考慮平動(dòng)或平動(dòng)較小的情況下，AMDF幾乎失效，而AUTOC仍能保持一定的準(zhǔn)確性，如圖2所示。

為了增強(qiáng)兩種函數(shù)在峰值和谷值處的大小，文獻(xiàn)［9］采用AUTOC和AMDF的倒數(shù)相乘的辦法，即

圖1 不加噪聲對(duì)平均幅值斜率-0.2數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果

圖2 低SNR時(shí)計(jì)算結(jié)果

在此基礎(chǔ)上，為了減少由于k的增加、求和項(xiàng)減少而造成的函數(shù)值的衰減，文獻(xiàn)［10］采用循環(huán)平均幅度差函數(shù)(CAMDF)的倒數(shù)和循環(huán)自相關(guān)函數(shù)(CAUTOC)相乘的方法，即

這兩種方法雖然能在一定程度上加強(qiáng)峰值的顯著性，但是同樣存在虛假峰值(如圖3、圖4所示，T=2 s，f=10 Hz)和函數(shù)幅值隨著步長(zhǎng)的增加而衰減的現(xiàn)象。在低SNR情況下，這些不足依然會(huì)導(dǎo)致較高的分頻和倍頻錯(cuò)誤。

圖3 AUTOC/AMDF仿真結(jié)果

綜上分析，利用AMDF和AUTOC提取進(jìn)動(dòng)周期的關(guān)鍵就在于如何從處理結(jié)果的眾多虛假峰值中提取出準(zhǔn)確的峰值。解決的最好辦法就是只保留第一個(gè)周期處的極值，設(shè)法消掉其他極值，特別是由于分頻而引起的極值，這樣就能更加準(zhǔn)確地提取出進(jìn)動(dòng)周期。

圖4 CAUTOC/CAMDF仿真結(jié)果

2 基于DAMDF的進(jìn)動(dòng)周期提取算法

由函數(shù)性質(zhì)可知，周期序列X(n)用AMDF和AUTOC的處理結(jié)果P(k)和D(k)與原數(shù)據(jù)具有相同的周期性，并且函數(shù)幅值由于步長(zhǎng)的增加而逐漸衰減。因此，P(k)和D(k)單個(gè)周期的顯著性要明顯大于多個(gè)周期的顯著性，可用AMDF對(duì)其進(jìn)行二次處理，削弱其在第一周期處極值外的其他極值，使對(duì)周期峰值的檢測(cè)更加準(zhǔn)確和方便。

設(shè)函數(shù)f(x)是周期為T0的實(shí)函數(shù)，a為大于零的實(shí)數(shù)，稱為衰減因子，則稱函數(shù)

為周期衰減函數(shù)。以f(x)=sin(2πx)，a=0.1為例，其函數(shù)曲線如圖5所示。

圖5g(x)函數(shù)曲線

對(duì)g(x)利用平均幅度差函數(shù)提取周期，并將函數(shù)除以求和項(xiàng)數(shù)進(jìn)行歸一化修正，即

式中:fs為采樣頻率。令Δfk(i/fs)=f(i/fs)-f((i+k)/fs)，則P'(k)可表示為

由AMDF的函數(shù)性質(zhì)可知，P'(k)將在k=nT0fs(n∈N*)處有極小值，設(shè)其為mink，則有

由此可見，第一個(gè)極小值要比第n個(gè)極小值小n倍。第一個(gè)周期處極值比較顯著，其他極值以aT0的速度迅速增強(qiáng)。

影響P'(k)幅值的因素主要有兩個(gè):

1)受步長(zhǎng)k的影響。當(dāng)k比較小時(shí)，P'(k)受Δfk(i)的周期性的影響比較顯著，這時(shí)隨著k的變化極值表現(xiàn)比較明顯。當(dāng)k較大時(shí)，極值嚴(yán)重衰減，Δfk(i)的變化對(duì)P'(k)的影響可以忽略，此時(shí)P'(k)主要受ak的影響，近似成線性遞增。對(duì)圖5所示函數(shù)利用式(8)進(jìn)行計(jì)算并求倒數(shù)得到的結(jié)果如圖6所示。

圖6 對(duì)g(x)=sin(2πx)-0.2x求1/AMDF

2)受衰減因子a的影響。設(shè)周期函數(shù)f(x)的幅度為b，則稱S=|a/b|為g(x)的顯著系數(shù)。當(dāng)S較小時(shí)，衰減因子a相對(duì)較小，由式(10)可知，此時(shí)各極值的遞增速度較慢，但是對(duì)結(jié)果求倒數(shù)后各峰值以1/aT0的速度迅速衰減，第一周期處極值的顯著性不受影響。當(dāng)S較大時(shí)，衰減因子a相對(duì)較大，此時(shí)函數(shù)迅速衰減，g(x)的周期特性被衰減特性覆蓋，利用式(8)進(jìn)行處理時(shí)幾乎不會(huì)有極值出現(xiàn)。仿真實(shí)驗(yàn)表明，當(dāng)S＜1時(shí)，第一周期處極值的顯著性比較明顯。當(dāng)S＞1時(shí)，處理結(jié)果幾乎不存在峰值特性。圖7給出了當(dāng)S取不同值時(shí)，對(duì)g(x)=sin(2 πx)-ax利用P'(k)處理并求倒數(shù)后的結(jié)果。

圖7 不同S下P'(k)的圖像

由式(1)、式(3)可知，由于分頻作用，P(k)和D(k)呈現(xiàn)出和雷達(dá)回波序列X(n)相同的周期性，在k=nT0，n∈N*處函數(shù)將出現(xiàn)極值。并且隨著k值的增加，求和項(xiàng)逐漸減少，P(k)和D(k)的平均幅值將出現(xiàn)近似線性的衰減，由于k的變化范圍很大，使得這種衰減的衰減因子相對(duì)其平均幅值很小，S遠(yuǎn)小于1。

基于以上分析，對(duì)雷達(dá)回波數(shù)據(jù)X(n)利用AMDF和AUTOC進(jìn)行預(yù)處理后的序列P(k)和D(k)滿足式(7)的形式，因此可以利用式(8)進(jìn)行二次處理，削弱除第一極值之外的其他極值。同時(shí)，為了進(jìn)一步增強(qiáng)第一極值的顯著性，將二次處理后的DP'(k)和PP'(k)相乘后取倒數(shù)。仿真實(shí)驗(yàn)表明SNR較低時(shí)，DP'(k)仍有比較明顯的峰值特征，而P(k)的周期特征很弱，PP'(k)主要受ak的影響，導(dǎo)致其幾乎呈線性遞增(如圖8所示)，但是這反而會(huì)加強(qiáng)DP'(k)第一極值的顯著性，從而大大提高低SNR時(shí)周期提取的準(zhǔn)確性和穩(wěn)定性。這樣不僅能利用在高信噪比情況下AMDF的精確性，同樣可以利用信噪比較低時(shí)AUTOC的穩(wěn)定性。

圖8 SNR=2 dB時(shí)AMDF-AMDF和AUTOC-AMDF的計(jì)算結(jié)果

利用DAMDF進(jìn)行進(jìn)動(dòng)周期提取的步驟可歸納如下:

步驟1:分別利用AMDF和AUTOC對(duì)雷達(dá)回波序列X(n)進(jìn)行預(yù)處理，得到P(k)和D(k)。

步驟2:對(duì)P(k)和D(k)利用式(7)進(jìn)行二次處理，得到PP'(k)和DP'(k)。

步驟3:把DP'(k)和PP'(k)相乘，得到函數(shù)φ(k)=DP'(k)·PP'(k)。

步驟4:對(duì)φ(k)求倒數(shù)，取 φ(k')=φmax(k')時(shí)的km=k'，則 T=km/fs。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

設(shè)目標(biāo)為平底錐，高h(yuǎn)=1.6 m，底面半徑R=0.3 m，利用FEKO軟件測(cè)得目標(biāo)全姿態(tài)角下窄帶雷達(dá)回波序列W(n)，當(dāng)目標(biāo)受到第一節(jié)描述的情景時(shí)將產(chǎn)生進(jìn)動(dòng)，設(shè)進(jìn)動(dòng)周期T=2 s，進(jìn)動(dòng)角θ=10°，對(duì)彈道導(dǎo)彈軌道進(jìn)行建模，設(shè)定采樣頻率為10 Hz，利用仿真出的實(shí)時(shí)姿態(tài)角提取39.7 s的動(dòng)態(tài)回波X(n)，如圖9所示。

圖9 雷達(dá)動(dòng)態(tài)回波序列

分別利用 AUTOC/AMDF、CAUTOC/CAMDF，時(shí)頻分析法和DAMDF在SNR=20 dB和SNR=2 dB時(shí)的仿真結(jié)果，如圖10所示。

圖10 SNR=20 dB時(shí)四種方法的比較

從圖10，圖11中可以看出，DAMDF幾乎消除了除第一峰值之外的其他峰值。

圖11 SNR=2 dB時(shí)四種方法的比較

每次方法重復(fù)試驗(yàn)50次，三種方法利用式(4)進(jìn)行周期提取的情況下，受不同信噪比影響的正確率，如圖12所示。

圖12 不同SNR情況下各方法性能對(duì)比

仿真實(shí)驗(yàn)表明:DAMDF不僅使周期提取變得更加容易，而且通過對(duì)原有數(shù)據(jù)的兩次處理，使其具有了比其他幾種方法更好的抗噪性。

4 結(jié)束語

本文對(duì)傳統(tǒng)周期提取方法進(jìn)行了分析，針對(duì)其存在的分頻和倍頻現(xiàn)象，以及由于步長(zhǎng)增長(zhǎng)造成的平均幅值的衰減特性，提出了一種基于雙重AMDF函數(shù)的周期提取方法DAMDF。該方法首先對(duì)回波數(shù)據(jù)利用AMDF和AUTOC進(jìn)行預(yù)處理，然后利用其衰減特性和改進(jìn)的AMDF進(jìn)行二次處理，使處理后的結(jié)果只有一個(gè)比較明顯的峰值。實(shí)驗(yàn)表明，在信噪比比較低的情況下，該方法的處理結(jié)果仍能保持很好的峰值效果，證明了該方法具有很好的抗噪性和穩(wěn)定性。

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