基于FFT和共軛梯度法的近場(chǎng)診斷方法

杜 柏，李建新，2，丁 解

(1.南京電子技術(shù)研究所， 南京210039;2.天線與微波技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南京210039)

0 引言

作為一種能夠從近場(chǎng)的平面區(qū)域測(cè)量到的數(shù)據(jù)準(zhǔn)確地計(jì)算出遠(yuǎn)場(chǎng)輻射特性的方法，平面近場(chǎng)測(cè)量系統(tǒng)被廣泛采用。近場(chǎng)測(cè)量除了能成功計(jì)算天線的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射性能參數(shù)［1］，還可以確定天線的口徑場(chǎng)以實(shí)現(xiàn)對(duì)天線口徑面的診斷［2-4］。在實(shí)際測(cè)量中，如果使用探頭緊貼被測(cè)天線(Antenna Under Test，AUT)的方法診斷天線口徑面，會(huì)由于探頭與AUT之間的耦合以及多次反射，測(cè)量誤差較大，造成測(cè)量結(jié)果的不準(zhǔn)確，只能粗略地估計(jì)天線陣面的失效單元或者奇異區(qū)域的位置，而不能對(duì)其進(jìn)行精確地定位。為了消除探頭與AUT之間的耦合和多次反射造成的影響，一般在距離天線口徑面3至10個(gè)波長(zhǎng)的距離對(duì)AUT進(jìn)行測(cè)量，再對(duì)測(cè)得的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，反演得到天線口徑面電場(chǎng)的切向分量，進(jìn)而得到口徑場(chǎng)的幅相分布。

常用的口徑場(chǎng)反演數(shù)據(jù)處理方法有平面波譜模式展開法和等效流法。基于平面波譜模式展開的口徑場(chǎng)變換技術(shù)發(fā)展較早，引入快速傅里葉變換(FFT)技術(shù)，運(yùn)算速度快，工程實(shí)用性強(qiáng)。但此方法將平面波譜帶寬限制在了可見(jiàn)域，忽略了衰減波的效應(yīng)。而且，近場(chǎng)測(cè)量的采樣間隔必須滿足Nyquist定理，將采樣面限定在有限尺寸也引入了截?cái)嗾`差，制約了診斷精度［3，5］。另一種基于等效磁流的口徑場(chǎng)變換技術(shù)從場(chǎng)和源的角度出發(fā)，將天線的口徑場(chǎng)等效為口徑面上的磁流分布，通過(guò)計(jì)算該等效磁流的積分方程，反演出口徑場(chǎng)的數(shù)據(jù)。由于此種方法可以完整考慮整個(gè)平面波的波譜，所以其診斷精度要高于模式展開法［6-8］。

探頭補(bǔ)償技術(shù)是近場(chǎng)測(cè)量中較為關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。在實(shí)際測(cè)量即非理想情況中，測(cè)量所用的探頭都會(huì)有自己的方向圖，也就是說(shuō)，測(cè)量得到的數(shù)據(jù)都是被探頭方向圖影響過(guò)的，并不是采樣平面真實(shí)的電場(chǎng)。所以，為了消除探頭對(duì)采樣數(shù)據(jù)的影響以提高診斷精度，必須引入探頭補(bǔ)償技術(shù)。傳統(tǒng)的模式展開法由于發(fā)展時(shí)間較早，而且作為理論基礎(chǔ)的洛倫茲定理與最早出現(xiàn)的探頭補(bǔ)償理論契合度較高，探頭補(bǔ)償技術(shù)在該方法中發(fā)展較為成熟。而本文所采用的等效磁流法由于出現(xiàn)時(shí)間較晚，先前的研究中并未與探頭補(bǔ)償技術(shù)結(jié)合到一起，制約了診斷精度［6-9］。

本文提出的口徑場(chǎng)診斷方法結(jié)合了以上兩種方法的優(yōu)點(diǎn)，將探頭補(bǔ)償技術(shù)應(yīng)用于等效磁流法中。首先，采用一種新的“探頭平方根法”探頭補(bǔ)償技術(shù)，去除測(cè)量數(shù)據(jù)中探頭造成的影響;然后，將AUT前半空間輻射表示為天線口徑面上等效面磁流的分布，獲得一個(gè)以磁流分布為待求函數(shù)的積分方程;最后，引入矩量法，將積分方程轉(zhuǎn)化為矩陣方程，應(yīng)用共軛梯度法求解該矩陣方程獲得天線口徑面的磁流分布，進(jìn)而得到天線口徑面的幅相分布。為了驗(yàn)證本文方法的正確性及實(shí)用性，在微波暗室中對(duì)某相控陣天線進(jìn)行了測(cè)量，并對(duì)比了有無(wú)探頭補(bǔ)償對(duì)反演結(jié)果的影響，獲得了較好的結(jié)果。

1 主要理論及公式

1.1 探頭補(bǔ)償理論

圖1為近場(chǎng)測(cè)量的示意圖?？疾煲粋€(gè)位于z＜0的任意口徑形狀的天線，設(shè)其口徑面與z=0平面重合，如圖1所示，近場(chǎng)掃描面位于z=d平面。

圖1 近場(chǎng)測(cè)量示意圖

根據(jù)平面波譜展開理論以及互易原理，探頭補(bǔ)償?shù)鸟詈戏匠蹋?0］為

式中:Pγ(x，y，d)為探頭采樣到的幅相分布;A(k)為AUT在坐標(biāo)系中的波譜函數(shù);B(k')為探頭在o-x'y'z'坐標(biāo)系中的遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖矢量。也就是說(shuō)對(duì)于近場(chǎng)測(cè)量系統(tǒng)，在采樣面測(cè)量到的電場(chǎng)的波譜可以看成是AUT的發(fā)射波譜與探頭的接收波譜的乘積，即P(kx，ky)=A(kx，ky)·B(kx，ky)?？梢宰⒁獾?，在天線的收發(fā)過(guò)程中，發(fā)射/接收可以看成一個(gè)互易的過(guò)程，即發(fā)射和接收之間可以相互轉(zhuǎn)換。在理想情況下，我們期望得到的是未經(jīng)探頭影響過(guò)的AUT的波譜，所以，探頭補(bǔ)償?shù)淖饔镁褪窃谟?jì)算AUT得到發(fā)射波譜時(shí)將探頭所造成的影響去除掉。通常的探頭補(bǔ)償方法是計(jì)算實(shí)驗(yàn)所用的開口波導(dǎo)的遠(yuǎn)場(chǎng)方向圖來(lái)建立方程計(jì)算探頭的理論波譜，然后將得到的B(kx，ky)去掉，這樣就可以確保P(kx，ky)中只有AUT的成分。

但是這種探頭補(bǔ)償方法所要求的近場(chǎng)校準(zhǔn)條件是理想的，例如，必須保證探頭開口平面與天線口徑面是平行的。而目前的近場(chǎng)測(cè)試系統(tǒng)并不能保證如此高的精度，而且，如果探頭的極化程度不是特別高，此種方法需要將探頭旋轉(zhuǎn)90°做兩次測(cè)量，較為繁瑣。所以，需要一種更為實(shí)用的方法。

假設(shè)在實(shí)驗(yàn)中AUT是固定不動(dòng)的，本文采用了一種探頭平方根法來(lái)進(jìn)行探頭補(bǔ)償［11］。將一個(gè)與實(shí)驗(yàn)所采用的探頭完全相同的探頭放置于AUT的位置上，這意味著在此測(cè)量系統(tǒng)中，發(fā)射波譜與接收波譜是相同的，也就是說(shuō)，可以通過(guò)測(cè)得的波譜解出探頭單獨(dú)的波譜，即

這種方法的優(yōu)點(diǎn)是只要在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中保持AUT的位置不動(dòng)，就可以應(yīng)用此種方法將探頭對(duì)波譜的影響去除掉。這種方法還有一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，就是由于探頭補(bǔ)償與近場(chǎng)測(cè)量是在同一個(gè)測(cè)量系統(tǒng)中進(jìn)行的，這種解平方根的方法還可以消除測(cè)量過(guò)程中由于測(cè)量機(jī)制所產(chǎn)生的誤差。

這樣，由式(1)可以看出，探頭所測(cè)量到的采樣面電場(chǎng)的切向分量與AUT的波譜函數(shù)和探頭的接收波譜的乘積是一對(duì)二維傅里葉變換對(duì)，因此，在工程應(yīng)用中，可以使用FFT來(lái)進(jìn)行運(yùn)算。

在去除掉探頭的影響后，根據(jù)平面波譜展開理論可以得出進(jìn)行探頭補(bǔ)償之后的采樣面上的切向電場(chǎng)為

1.2 等效磁流模型

對(duì)于一個(gè)任意口徑的天線，根據(jù)電磁場(chǎng)理論中的等效原理，可以將天線所在的自由空間分成兩部分，如圖2所示。

圖2 等效磁場(chǎng)模型

假設(shè)z＜0的區(qū)域是無(wú)源的，那么在z＞0的區(qū)域內(nèi)的任意位置輻射場(chǎng)可以完全看成是在z=0平面上的等效磁流所產(chǎn)生的。設(shè)將一理想導(dǎo)電體置于x-y平面上，即該無(wú)限大平面上切向電場(chǎng)為0，則該等效磁流為

式中:Es1為平面S1上的切向電場(chǎng);n為平面S1的法向矢量。根據(jù)鏡像原理，z＞0區(qū)域任意位置的電場(chǎng)可以看成是等效磁流

產(chǎn)生的。則在z＞0區(qū)域的任意一點(diǎn)的場(chǎng)為

取AUT的口徑面為矩形區(qū)域:|x|≤Wx/2，|y|≤Wy，Wx和Wy的選取原則是確保在該矩形區(qū)域外的口徑場(chǎng)近似為0。將口徑面分為Nx×Ny個(gè)矩形小塊，則各小塊之間的間距為Δx=Wx/Nx，Δy=Wy/Ny，各小塊的中心點(diǎn)坐標(biāo)為

在近場(chǎng)測(cè)量中，由于選取的采樣面一般滿足d?max(Δx，Δy)，所以引入矩量法，將口徑面上的等效磁流分解成Nx×Ny個(gè)矩形小塊上的二維脈沖函數(shù)的線性組合，即

式中:αij和βij為待求系數(shù)，即口徑場(chǎng)等效面磁流的幅相分布。

對(duì)于位于z=d處的采樣平面，設(shè)采樣點(diǎn)數(shù)為Mx×My，1≤k≤Mx，1≤l≤My，則各采樣點(diǎn)的坐標(biāo)為(xk，yl，d)。為了便于計(jì)算，重新設(shè)置角標(biāo)，令 N=NxNy，M=MxMy，n=i+(j-1)Nx，m=k+(l-1)M，應(yīng)用點(diǎn)匹配法，將式(9)帶入式(7)中，只考慮平面上的切向電場(chǎng)，得到

其中

從上面的分析中，通過(guò)一系列的數(shù)學(xué)變換，將基于等效磁流的積分方程轉(zhuǎn)化成矩陣方程，下面將應(yīng)用共軛梯度法求解該矩陣方程。

1.3 共軛梯度法

假設(shè)A為M×N矩陣，X和Y分別為N階和M階列向量，一般M＞N切矩陣均為復(fù)數(shù)。具體過(guò)程為:選定初始值X0=0，定義殘差向量R0=Y-AX0，P0=AHR0，a0=‖AHR0‖2/‖AHP0‖2，c0=a0‖AHAP0‖2-‖AAHR0‖2，b0=c0/‖A P0‖2，對(duì)于 i=1，2，…，n，則有

為了獲得指定的精度，定義f(Xi)=‖Ri‖/‖Y‖，當(dāng)f(Xi)≤e(e為要求的診斷精度)時(shí)，則認(rèn)為序列Xi(i=1，2，3，…)收斂到方程的解。

2 實(shí)測(cè)診斷試驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文口徑場(chǎng)診斷技術(shù)的有效性和實(shí)用性以及探頭補(bǔ)償技術(shù)的必要性，在微波暗室中對(duì)某X波段相控陣天線進(jìn)行了近場(chǎng)掃描診斷測(cè)試，利用測(cè)得的近場(chǎng)數(shù)據(jù)對(duì)天線口徑場(chǎng)進(jìn)行反演和診斷。

2.1 無(wú)探頭補(bǔ)償技術(shù)平面相控陣天線的口徑場(chǎng)反演

實(shí)驗(yàn)采樣的相控陣天線由256個(gè)天線單元按16×16的結(jié)構(gòu)排列，工作頻率為9.6 GHz，天線單元為縫隙波導(dǎo)，天線由同軸電纜通過(guò)功分網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行饋電。實(shí)驗(yàn)采用的探頭為X波段標(biāo)準(zhǔn)開口波導(dǎo)，采樣面距離天線口徑120 mm，沿水平方向采樣點(diǎn)數(shù)為63，采樣間隔為9.375 mm，沿垂直方向采樣點(diǎn)數(shù)為64，采樣間隔為10.937 5 mm。

為了驗(yàn)證算法的正確性，先只對(duì)陣列中的上數(shù)第二行波導(dǎo)進(jìn)行供電，然后，通過(guò)對(duì)近場(chǎng)數(shù)據(jù)進(jìn)行采樣，重構(gòu)出口徑場(chǎng)的幅相分布。采樣到的近場(chǎng)幅相分布如圖3和圖4所示。

圖3 單根波導(dǎo)供電情況下的近場(chǎng)幅度分析

圖4 單根波導(dǎo)供電情況下的近場(chǎng)相位分布

從測(cè)得的近場(chǎng)數(shù)據(jù)中很難看出這是在只有一排單元供電情況下的天線近場(chǎng)分布，此時(shí)，運(yùn)用本文的重構(gòu)方法對(duì)天線口徑場(chǎng)進(jìn)行反演。由于對(duì)一排波導(dǎo)中的每個(gè)天線單元的供電在幅度和相位上都是均勻的，所以在理想情況下，我們會(huì)得到一個(gè)矩形的幅度和相位分布。結(jié)果如圖5和圖6所示。

圖5 單根波導(dǎo)供電情況下重構(gòu)的口徑場(chǎng)幅度分布

圖6 單根波導(dǎo)供電情況下重構(gòu)的口徑場(chǎng)相位分布

從結(jié)果可以看出，反演得到的幅度比較符合預(yù)期，得到了一個(gè)矩形的輻射集中區(qū)，與試驗(yàn)中采用的單根波導(dǎo)形狀相一致。而反演出的相位則與預(yù)期存在一定差異。可以清晰的看到，反演出的相位沿著圖中輻射集中區(qū)的X方向有一定程度的漸變，與試驗(yàn)中采用的均勻幅度分布不符。此相位失真就是引入了探頭的方向圖造成的。可以看到，沿著此列波導(dǎo)，反演出的相位差達(dá)到了75°，可見(jiàn)引入探頭補(bǔ)償?shù)谋匾浴?/p>

2.2 引入探頭補(bǔ)償技術(shù)平面相控陣天線的口徑場(chǎng)反演

為了消除探頭對(duì)采樣數(shù)據(jù)的影響，提高診斷精度，本文在等效磁流法的基礎(chǔ)上，引入了探頭補(bǔ)償技術(shù)。

首先，在放置AUT的位置放置一個(gè)與測(cè)量所用探頭一樣的探頭，對(duì)其進(jìn)行掃描。按照前文的方法，可以得出此探頭的方向圖。然后，在對(duì)AUT的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行反演前，將探頭對(duì)數(shù)據(jù)造成的影響移除，得到采樣面真實(shí)的電磁場(chǎng)。

重復(fù)上一個(gè)實(shí)驗(yàn)，測(cè)量對(duì)象為該相控陣天線陣面的單根波導(dǎo)，對(duì)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行探頭補(bǔ)償處理以及口徑場(chǎng)反演，得到的結(jié)果與前文無(wú)探頭補(bǔ)償?shù)目趶綀?chǎng)反演結(jié)果對(duì)比如圖7所示。

圖7 探頭補(bǔ)償前后幅度相位的對(duì)比

可以看出，采用探頭補(bǔ)償前后，反演得到的幅度無(wú)明顯差別，但是相位的反演結(jié)果差別較大。由于波導(dǎo)上的輻射單元是通過(guò)同一根波導(dǎo)供電的，所以反演的相位理論上應(yīng)該是均勻的?？梢悦黠@看到，引入探頭補(bǔ)償技術(shù)后，相位反演結(jié)果中的梯度被消除了，也就是說(shuō)，利用此探頭平方根算法可以去除測(cè)試探頭本身的方向圖對(duì)采樣數(shù)據(jù)造成的偏差，從而有效地提高反演精度，優(yōu)化診斷效果。

2.3 平面相控陣天線的口徑場(chǎng)診斷

為進(jìn)一步驗(yàn)證該口徑場(chǎng)診斷方法的準(zhǔn)確性，對(duì)該陣列天線的整個(gè)陣面進(jìn)行診斷試驗(yàn)。首先，對(duì)全陣面進(jìn)行均勻供電，以同樣的采樣距離和采樣間隔對(duì)整個(gè)陣面進(jìn)行測(cè)量，經(jīng)探頭補(bǔ)償和口徑場(chǎng)反演處理后，得到的結(jié)果如圖8和圖9所示。

圖8 全陣面供電情況下重構(gòu)的口徑場(chǎng)幅度分布

圖9 全陣面供電情況下重構(gòu)的口徑場(chǎng)相位分布

可以看出，反演結(jié)果中的幅度和相位分布都是均勻的，與預(yù)期相吻合。

然后，對(duì)該天線陣面進(jìn)行失效單元診斷，驗(yàn)證整排天線單元失效的情況。使天線陣列上數(shù)第4，5和13行波導(dǎo)接負(fù)載，通過(guò)使陣列上方兩排天線單元以及下方一排天線單元失效來(lái)進(jìn)行診斷測(cè)量，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10所示。

圖10 整排天線單元失效診斷口徑場(chǎng)的幅度分布

從圖中可以清晰地看出，天線的口徑場(chǎng)在上下兩部分各有一塊明顯的不連續(xù)區(qū)域，上面的區(qū)域較寬，約為下方區(qū)域的兩倍，與理論相符。結(jié)果表明:本文所提出的診斷方法可以對(duì)天線陣面的失效或不連續(xù)區(qū)域進(jìn)行診斷。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了一種基于等效磁流與平面波譜模式展開法的相控陣天線口徑場(chǎng)診斷方法，并對(duì)其進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。通過(guò)對(duì)距離天線口徑面四個(gè)波長(zhǎng)的平面上的場(chǎng)進(jìn)行采樣，重構(gòu)出相控陣天線的口徑場(chǎng)對(duì)其進(jìn)行診斷。既考慮了近場(chǎng)測(cè)量中重要的探頭補(bǔ)償，又通過(guò)等效磁流的積分方程計(jì)算出真實(shí)的口徑場(chǎng)，得到了很好的結(jié)果。

［1］Kerns D M.Plane-wave scattering-matrix theory of antennas and antenna-antenna interactions［M］.Washington:United States Department of Commerce，1981.

［2］Petre P，Sarkar T K.Planar near-field to far-field transformation using an array of dipole probes［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1994，42(4):534-537.

［3］Lee J J，F(xiàn)erren E M，Woollen D P，et al.Near-field probe used as a diagnostic tool to locate defective elements in an array antenna［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1988，36(6):884-889.

［4］Jensen F.Electromagnetic near-field far-field correlations［D］.Copenhagen:Technical University of Denmark，1970.

［5］胡鴻飛，高 雪，傅德民.基于FFT的近場(chǎng)-口徑場(chǎng)變換方法［J］.微波學(xué)報(bào)，2001，17(2):1-6.Hu Hongfei，Gao Xue，F(xiàn)u Demin.A transformation technique from near-field to aperture-field based on FFT［J］.Journal of Microwaves，2001，17(2):1-6.

［6］Petre P，Sarkar T K.Planar near-field to far-field transformation using an equivalent magnetic current approach［J］.IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1992，40(11):1348-1356.

［7］Taaghol A，Sarkar T K.Near-field to near/far-field transformation for arbitrary near-field geometry，utilizing an equivalent magnetic current［J］.IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility，1996，38(3):536-542.

［8］胡鴻飛，傅德民，李 勇.基于等效磁流的近場(chǎng)診斷方法［J］.西安電子科技大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2001，28(1):52-56.Hu Hongfei，F(xiàn)u Demin，Li Yong.A near-field diagnostic method based on equivalent magnetic currents［J］.Journal of Xidian University，2001，28(1):52-56.

［9］陳 瑞，胡明春，李建新.平面近場(chǎng)測(cè)量中一種口徑場(chǎng)重構(gòu)技術(shù)研究［J］.現(xiàn)代雷達(dá).2010，32(6):67-72.Chen Rui，Hu Mingchun，Li Jianxin.A study on aperture field reconstruction technology in planar near-field measurements［J］.Modern Radar.2010，32(6):67-72.

［10］Leach W M，Paris D T.Probe-compensated near-field measurements on a cylinder［J］.IEEE Transactions on Antennas Propagation，1973，21(4):435-445.

［11］Masters G F.Probe-correction coefficients derived from near-field measurements［C］//AMTA Conference.Carson，CA:AMTA Press，1991.