淺談數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)

左廣蘭

創(chuàng)造性思維是人類(lèi)心理活動(dòng)的高級(jí)水平，是一種創(chuàng)造性活動(dòng)。創(chuàng)新思維主要是指歸納推理、類(lèi)比推理、發(fā)散思維、逆向思維等多種思維形式，是思維的深刻性、廣闊性、獨(dú)創(chuàng)性、敏捷性的綜合表現(xiàn)。

如何在新課程改革中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維？筆者結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，提出了數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的幾點(diǎn)方法。

一、歸納推理

歸納是從一類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某一屬性，而做出該類(lèi)事物都具有這一屬性的一般結(jié)論的推理方法。它的一般推理模式是：

S■具有（或不具有）性質(zhì)P；

S■具有（或不具有）性質(zhì)P；

……

S■具有（或不具有）性質(zhì)P；

（S■、S■、…S■是A類(lèi)事物的部分對(duì)象）

所以A類(lèi)事物具有（或不具有）性質(zhì)P.因此，歸納是從個(gè)別到一般的推理方法。比如，“等差數(shù)列”一節(jié)中通過(guò)觀察歸納幾個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)得出等差數(shù)列的概念；又如，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察下列式子：

a■=a■+d，a■=a■+d=a■+2d，a■=a■+d=a■+3d，…

歸納出數(shù)列a■■的項(xiàng)與數(shù)列的首項(xiàng)a■和公差d之間的關(guān)系：a■=a■+（n-1）d.

二、類(lèi)比推理

類(lèi)比推理是根據(jù)兩個(gè)或兩類(lèi)對(duì)象在某些屬性上相同，推斷出它們?cè)诹硗獾膶傩陨希ㄟ@一屬性已為類(lèi)比的一個(gè)對(duì)象所具有，另一個(gè)類(lèi)比的對(duì)象那里尚未發(fā)現(xiàn)）也相同的一種推理。

它的一般推理模式為

A類(lèi)事物具有性質(zhì)a■，a■，a■，a■，

B類(lèi)事物具有性質(zhì)a■，a■，a■，

所以，B類(lèi)事物可能具有性質(zhì)a■.因此，類(lèi)比是一種從個(gè)別到個(gè)別，或者是從一般到一般的推理。

波利亞指出：“類(lèi)比似乎在一切發(fā)現(xiàn)中有作用，在某些發(fā)現(xiàn)中它有最大的作用。”數(shù)學(xué)研究中，常用的類(lèi)比有數(shù)與形的類(lèi)比，平面與空間的類(lèi)比，一維與多維的類(lèi)比，低次與高次的類(lèi)比，相等與不等的類(lèi)比，有限與無(wú)限的類(lèi)比。在立體幾何教學(xué)過(guò)程中，往往通過(guò)與平面幾何的比較發(fā)現(xiàn)類(lèi)似之處，結(jié)論的形式類(lèi)似，解決問(wèn)題的方法類(lèi)似。如平面幾何中的等角定理可以推廣到立體幾何中：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。運(yùn)用類(lèi)比的方法，將平面幾何中的結(jié)論推廣到立體幾何中，然后再證明其是否成立。這樣會(huì)大大增加學(xué)生的知識(shí)量，使學(xué)生體會(huì)知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性。

三、發(fā)散思維和聚合思維

發(fā)散思維是沿著不同的方向去思考，對(duì)信息或條件加以重新組合，找出幾種可能的答案、結(jié)論或假設(shè)。聚合思維也叫集中思維。它是把問(wèn)題所提供的種種信息或條件朝著一個(gè)方向集中，從而得出一個(gè)正確的答案或一個(gè)最優(yōu)的解決問(wèn)題的方案。

在創(chuàng)新思維培養(yǎng)中，發(fā)散思維起主導(dǎo)作用。發(fā)散思維具有靈活性、獨(dú)特性。靈活性能突破思維定勢(shì)的限制、使人產(chǎn)生新的構(gòu)思，提出新的方法。獨(dú)特性能使思維產(chǎn)生新的成分，對(duì)問(wèn)題提出獨(dú)特的見(jiàn)解。教師在教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

教學(xué)中可以從以下幾方面入手：

1.消除思維定勢(shì)。思維定勢(shì)又稱(chēng)“習(xí)慣性思維”，是指人按照比較固定的、習(xí)慣的方法去考慮問(wèn)題和解決問(wèn)題，表現(xiàn)為在解決問(wèn)題過(guò)程中作特定方式的加工準(zhǔn)備。在學(xué)習(xí)過(guò)程中表現(xiàn)為，學(xué)生在解決一些常規(guī)問(wèn)題時(shí)常常采用已掌握的解決同類(lèi)問(wèn)題的方法，從而加速了問(wèn)題的解決，這種對(duì)問(wèn)題的解決實(shí)際是對(duì)先前已經(jīng)解決了的問(wèn)題的練習(xí)和鞏固。當(dāng)學(xué)生在解決新問(wèn)題時(shí)，采用一些已掌握、已熟悉的方法有時(shí)會(huì)使問(wèn)題的解決出現(xiàn)困難，從而阻礙學(xué)生創(chuàng)造性的發(fā)揮。因此，教師在教學(xué)中要幫助學(xué)生克服思維定勢(shì)的消極作用。如通過(guò)一題多解、一題多變等方法拓寬學(xué)生的思維空間，激發(fā)學(xué)生的探索興趣，幫助學(xué)生克服思維定勢(shì)。

2.鼓勵(lì)學(xué)生學(xué)會(huì)提出問(wèn)題。1994年，著名的美國(guó)教育家Silver論述了問(wèn)題提出在課程和教學(xué)中的重要作用：?jiǎn)栴}提出是創(chuàng)新式教學(xué)的一種重要標(biāo)志。

教師要盡可能地為學(xué)生提供“真實(shí)的”教學(xué)活動(dòng)場(chǎng)景，使他們?cè)诮處煹闹笇?dǎo)下以類(lèi)似數(shù)學(xué)家的活動(dòng)方式進(jìn)行數(shù)學(xué)的再創(chuàng)造，以便在積極參與數(shù)學(xué)知識(shí)的獲得過(guò)程中掌握探究技能，養(yǎng)成科學(xué)態(tài)度，形成創(chuàng)新意識(shí)。比如，在教學(xué)“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”一節(jié)時(shí)，首先給學(xué)生引入印度國(guó)際象棋發(fā)明者的故事，國(guó)王能否滿(mǎn)足象棋的發(fā)明人、宰相達(dá)依爾的要求呢？以此激發(fā)學(xué)生思考和探索的熱情，引導(dǎo)學(xué)生提出等比數(shù)列求和的問(wèn)題，并探索如何解決這一問(wèn)題。問(wèn)題是思維的起點(diǎn)，學(xué)生的創(chuàng)新思維在遇到了問(wèn)題才會(huì)引發(fā)出來(lái)的，這是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的重要途徑。

3.注重發(fā)散與聚合的統(tǒng)一。發(fā)散思維的最大特點(diǎn)是思考的方向多，面廣。盡管發(fā)散思維的產(chǎn)物多種多樣、千奇百怪，但它的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)都離不開(kāi)聚合思維所得的結(jié)論。因此，在訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散的同時(shí)，還要進(jìn)行思維的聚合，也就是對(duì)發(fā)散的結(jié)果進(jìn)行歸納和整理，找出共同的本質(zhì)特征，這是提高發(fā)散思維質(zhì)量的歸宿。實(shí)際上，創(chuàng)新思維的形成是發(fā)散思維和聚合思維協(xié)調(diào)統(tǒng)一、綜合運(yùn)用、辯證發(fā)展的結(jié)果，它們互為前提、互相促進(jìn)。

在實(shí)際教學(xué)中教師要有意識(shí)地培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維，在這一過(guò)程中教師要轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教育教學(xué)觀念，不能單純地傳授知識(shí)，把學(xué)生當(dāng)成是知識(shí)的接收器，要充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)主體的作用，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探索的興趣，教師不僅要采用靈活多變、富有創(chuàng)意的教學(xué)方法，還要?jiǎng)?chuàng)設(shè)刺激學(xué)生發(fā)散思維的情境，設(shè)計(jì)發(fā)散性的問(wèn)題。同時(shí)教師還要適時(shí)地進(jìn)行設(shè)問(wèn)、反問(wèn)、分析錯(cuò)因、反思結(jié)果，幫助并鼓勵(lì)學(xué)生大膽假設(shè)、善于質(zhì)疑，并將尋求結(jié)論的任務(wù)交給學(xué)生，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)期的鍛煉，有利于促進(jìn)學(xué)生發(fā)散思維習(xí)慣的形成，這就為創(chuàng)造性人才的培養(yǎng)奠定了基礎(chǔ)。

四、逆向思維

在許多的問(wèn)題解決中，需要將公式、法則逆用。學(xué)生缺乏這種自覺(jué)性和基本功，教學(xué)中應(yīng)注意這方面的培養(yǎng)和訓(xùn)練。

例如，應(yīng)用誘導(dǎo)公式求sin（-210°）。

做法一：sin（-210°）=sin180°■-（-210°）=sin390°=sin30°=■

做法二：sin（-210°）=-sin（210°）=-sin（180°+30°）=-（-sin30°）=■

做法一與做法二不同，做法一的sin（-210°）=sin180■°-（-210°）是逆用公式sin（180°■-α）=sinα體現(xiàn)了逆向思維過(guò)程。

教學(xué)中多注意對(duì)學(xué)生的逆向思維訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生做與習(xí)慣性思維相反的探索。證明題順證不行就逆證；直接解決不行就間接解決；正面解決不了就考慮反面解決；探索問(wèn)題的可能性有困難就探索其不可能性。

例如，一段線路中并聯(lián)著3個(gè)自動(dòng)控制的常開(kāi)開(kāi)關(guān)，只要其中有一個(gè)開(kāi)關(guān)能夠閉合，線路就能正常工作。假定在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)開(kāi)關(guān)能夠閉合的概率都是0.7，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率。

分析：如果線路正常工作，那么需要3個(gè)開(kāi)關(guān)中至少有一個(gè)能夠閉合，這包括恰有其中1個(gè)開(kāi)關(guān)閉合、恰有其中某2個(gè)開(kāi)關(guān)閉合、恰好有3個(gè)開(kāi)關(guān)閉合等幾種互斥的情況，逐一求其概率較為麻煩，為此，先求3個(gè)開(kāi)關(guān)都不閉合的概率，從而求其對(duì)立事件——3個(gè)開(kāi)關(guān)中至少有1個(gè)能夠閉合的概率。

總之，正確巧妙地運(yùn)用逆向轉(zhuǎn)換的思維方法解決問(wèn)題，常常使人茅塞頓開(kāi)，使問(wèn)題的解答變得簡(jiǎn)便，使思維進(jìn)入新的境界。

【責(zé)編 田彩霞】