巧添輔助線，妙解幾何題

在解幾何題時(shí)，除常見的連接、延長、作平行線、作垂線等輔助線作法之外，還有一種作輔助線的思路，就是通過巧妙的幾何變換，構(gòu)造出全等或特殊圖形。這種類型的輔助線我們通常稱為構(gòu)造性輔助線。下面介紹幾種作構(gòu)造性輔助線的方法，讓同學(xué)們在解幾何題時(shí)思路更開闊。

一、翻折構(gòu)造

例1 在等腰直角[△ABC]的斜邊AB上，取兩點(diǎn)M和N，使∠MCN=45°，記AM=m，[MN=x]，[BN=n].則以[x]，[m]，[n]為邊長的三角形的形狀是（ ）.

A.銳角三角形 B.直角三角形

C.鈍角三角形 D.隨x，m，n變化而變化

【分析】首先，要明確判斷以[x]，[m]，[n]為邊長的三角形的形狀，關(guān)鍵是要設(shè)法將這三條線段集中到同一個(gè)三角形中；其次，用好∠MCN=45°這一已知條件，并及時(shí)聯(lián)想到∠ACM+∠BCN=45°；最后，為將長為x，m，n的三條線段集中，可考慮將△ACM沿CM翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)P重合（如圖1），這樣可將長為m和x的兩條線段集中在一個(gè)角中。再連接PN，若能證明PN=BN，則長為x，m，n的三條線段就集中到了△PMN中.

解：∵∠ACM+∠BCN=45°，∠PCM+∠PCN=45°，∠ACM=∠PCM，

∴∠BCN=∠PCN，可證△BCN≌△PCN，PN=BN=n，

∴∠MPC=∠A=45°，∠NPC=∠B=45°.

∴∠MPN=∠MPC+∠NPC=90°.

∴以x，m，n為邊長的三角形的形狀是直角三角形，故答案為B.

【小結(jié)】當(dāng)要證的結(jié)論需集中某些線段，且圖形中出現(xiàn)了等量角、角的平分線等條件時(shí)，可考慮翻折構(gòu)造.

二、旋轉(zhuǎn)構(gòu)造

例2 已知O是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠AOB，∠BOC和∠AOC的度數(shù)之比為6∶5∶4，在以O(shè)A，OB，OC為邊的三角形中，此三邊所對的角的度數(shù)分別是多少？

【分析】首先，解決此題的關(guān)鍵依然是要將OA，OB和OC三條線段集中到同一個(gè)三角形中；其次，考慮到等邊三角形的特點(diǎn)，若將△AOB繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°（如圖2），此時(shí)，AB與AC重合，點(diǎn)O與點(diǎn)M重合，可得到△AMC，因?yàn)椤鰽OM為等邊三角形，MO=AO，又OB=MC，則OA，OB和OC就集中到了△COM中.故求OA，OB，OC三邊所對的角即為求△COM的三個(gè)內(nèi)角.

解：由∠AOB，∠BOC，∠AOC的度數(shù)之比為6∶5∶4，設(shè)∠AOB=6x，∠BOC=5x，∠AOC=4x.

則有6x+5x+4x=360°，x=24°，∠AMC=∠AOB=6x=144°，∠AOC=4x=96°，

∵∠AOM=∠AMO=60°，

∴∠MOC=∠AOC-∠AOM=96°-60°=36°；

∠OMC=∠AMC-∠AMO=144°-60°=84°；

∠OCM=180°-（∠MOC+∠OMC）=180°-36°-84°=60°.

∴以O(shè)A，OB，OC為邊的三角形三邊所對的度數(shù)分別為：60°，36°，84°.

【小結(jié)】旋轉(zhuǎn)構(gòu)造一般多用于等邊三角形、正方形、等腰直角三角形中，主要是應(yīng)同時(shí)考慮到旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)邊能夠重合、旋轉(zhuǎn)角度能構(gòu)成特殊角等兩個(gè)條件.

三、軸對稱構(gòu)造

例3 ∠AOB=45°，角內(nèi)有點(diǎn)P，PO=10，在兩邊OA，OB上有點(diǎn)Q，R（均不與點(diǎn)O重合），則△PQR的周長的最小值是多少？

【分析】首先，要確定△PQR的周長的最小值，關(guān)鍵是確定Q，R的位置，而只有利用軸對稱將折線段化為直線段才能求出最小值；其次，已知條件中∠AOB=45°，如果分別作P關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)M，N，連接OM，ON，根據(jù)軸對稱性質(zhì)則有∠MON=90°，可構(gòu)造出直角三角形（如圖3）.

解：分別作P關(guān)于OA，OB的對稱點(diǎn)M，N，連接MN，與OA，OB交于點(diǎn)Q′，R′，由軸對稱性質(zhì)可知PQ′=MQ′，同理PR′=NR′.

因?yàn)榫€段MN的長度等于MQ′+Q′R′+NR′，即MN的長度正好等于△PQ′R′的周長.

由兩點(diǎn)之間線段最短這一定理，易得出△PQ′R′是點(diǎn)P與∠AOB兩邊上的Q，R兩點(diǎn)構(gòu)成的三角形中周長最小的三角形.所以問題中的Q，R與Q′，R′重合時(shí)△PQR的周長值最小，而其值正等于線段MN的長度.

連接OM，ON，由軸對稱性質(zhì)可知，OM=OP=ON=10，且∠MON=90°，

∴ MN=[102]，

∴△PQR的周長的最小值是[102].

【小結(jié)】一般來說，求幾條折線段之和的問題通常考慮作軸對稱點(diǎn)，將折線段轉(zhuǎn)化為直線段.

四、特殊構(gòu)造

例4 在四邊形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD.求證：BD2=AB2+BC2.

【分析】首先，由所求證的關(guān)系為平方形式，聯(lián)想到勾股定理，進(jìn)而思考如何構(gòu)造直角三角形求證.如圖4，已知∠ABC=30°，以BC為邊向外作等邊三角形BCE，則可得到∠ABE=90°，BC=BE，可將AB2+BC2轉(zhuǎn)化為直角三角形ABE中的AB2+BE2.這樣只需證明AE=BD即可.其次，由∠ADC=60°，AD=CD，連接AC，則△ADC為等邊三角形.易證△DCB≌△ACE，于是AE=BD.

解：略.

【小結(jié)】當(dāng)題設(shè)的條件中出現(xiàn)特殊角時(shí)，利用其再構(gòu)造特殊圖形如等邊三角形、直角三角形、正方形等，這也是幾何證明中常用的輔助線作法.