基于“幾何畫(huà)板”的數(shù)學(xué)探究教學(xué)的實(shí)證研究

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是指恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立操作實(shí)踐、自主探究、合作交流，從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出猜想、驗(yàn)證猜想、概括猜想，并創(chuàng)造性地解決問(wèn)題的一種教學(xué)活動(dòng)。目前，網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)已經(jīng)成為探究性學(xué)習(xí)的有效切入點(diǎn)，也是未來(lái)數(shù)學(xué)教學(xué)模式發(fā)展的方向之一。

幾何畫(huà)板是一個(gè)小巧、功能強(qiáng)大且使用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具，具有簡(jiǎn)明樸素、短小精悍的特點(diǎn)。用幾何畫(huà)板做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)花時(shí)少、收效好，在對(duì)各種圖形或數(shù)量進(jìn)行變換的操作中，可以動(dòng)態(tài)地保持?jǐn)?shù)量與數(shù)量、圖形與圖形、數(shù)量與圖形之間的關(guān)系，并能展示其中某些恒定不變的規(guī)律。通過(guò)動(dòng)態(tài)演示數(shù)學(xué)變化規(guī)律，有助于引導(dǎo)學(xué)生厘清數(shù)和形的辯證關(guān)系，形成動(dòng)態(tài)觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的思想方法。

一、基于“幾何畫(huà)板”的數(shù)學(xué)探究教學(xué)的操作程序

基于“幾何畫(huà)板”的數(shù)學(xué)探究教學(xué)的研究立足于高中數(shù)學(xué)課堂，以問(wèn)題或任務(wù)為載體，創(chuàng)設(shè)一種類(lèi)似于科學(xué)研究的情境，讓學(xué)生通過(guò)自主探究活動(dòng)回答問(wèn)題或完成任務(wù)，并在此過(guò)程中了解知識(shí)的來(lái)龍去脈，獲得知識(shí)和技能，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思考過(guò)程，提高綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。其操作程序包括5個(gè)環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題→探究實(shí)驗(yàn)、提出猜想→師生合作、驗(yàn)證猜想→繼續(xù)實(shí)驗(yàn)、深層探究→總結(jié)概括、形成結(jié)論。在一次具體的探究學(xué)習(xí)活動(dòng)中，上述5個(gè)環(huán)節(jié)一般是先后執(zhí)行，但這5個(gè)環(huán)節(jié)往往不是一次性的線(xiàn)性的過(guò)程，而是一個(gè)反復(fù)循環(huán)、螺旋式上升的過(guò)程。在“創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題”環(huán)節(jié)，教師用“幾何畫(huà)板”創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，推動(dòng)學(xué)生的認(rèn)知沖突，啟發(fā)思維，引出問(wèn)題；在“探究實(shí)驗(yàn)、提出猜想”環(huán)節(jié)，學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，借助“幾何畫(huà)板”進(jìn)行探究性實(shí)驗(yàn)，比如，對(duì)各個(gè)數(shù)學(xué)元素進(jìn)行有序的控制操作、變換情境，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，合情推理，歸納猜想；在“師生合作、驗(yàn)證猜想”環(huán)節(jié)，學(xué)生在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，對(duì)所得出的猜想進(jìn)行驗(yàn)證，即通過(guò)演繹推理等方法來(lái)驗(yàn)證猜想是否正確，或通過(guò)舉出反例的方法來(lái)否定猜想；在“繼續(xù)實(shí)驗(yàn)、深層探究”環(huán)節(jié)，在得出結(jié)論的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生進(jìn)一步探究，進(jìn)而獲取真正的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，而非抽象的數(shù)學(xué)結(jié)論；在“總結(jié)概括、形成結(jié)論”環(huán)節(jié)，學(xué)生通過(guò)自主探究，對(duì)新知識(shí)已經(jīng)有了零碎或粗淺的認(rèn)識(shí)后，需要在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下進(jìn)行概括、整理、歸納、總結(jié)，將各個(gè)知識(shí)點(diǎn)整理成為有條理有層次且準(zhǔn)確系統(tǒng)的知識(shí)。

二、“幾何畫(huà)板”應(yīng)用于探究教學(xué)的教學(xué)模式

通過(guò)實(shí)踐，我校數(shù)學(xué)課題組已初步構(gòu)建起三種常用的教學(xué)模式。

1.以教師為主導(dǎo)的“指導(dǎo)—探究”課堂教學(xué)，它是指教師根據(jù)教材的知識(shí)結(jié)構(gòu)和學(xué)生的思維特點(diǎn)，對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)思路的引導(dǎo)，針對(duì)學(xué)生求知過(guò)程中產(chǎn)生的疑點(diǎn)，啟發(fā)學(xué)生思考，幫助學(xué)生掌握知識(shí)規(guī)律，并在實(shí)踐和探究中提高運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。由于我們?nèi)粘５慕虒W(xué)任務(wù)比較重，經(jīng)常拿出一整節(jié)課進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究不太現(xiàn)實(shí)，在這種情況下，采用“指導(dǎo)一探究”的教學(xué)模式能較好地將教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)用形象直觀的動(dòng)態(tài)畫(huà)面演示出來(lái)，變抽象的內(nèi)容為形象直觀的知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。

例如：我校周小英老師在講解某些特殊的高次不等式（x-x1）（x-x2）…（x-xn）>0（或<0）的解法時(shí)，采取的教學(xué)設(shè)計(jì)是“提出問(wèn)題—轉(zhuǎn)化探究—改變條件—探求新知—?dú)w納總結(jié)”，具體操作如下：

首先是“提出問(wèn)題”環(huán)節(jié)：求不等式y(tǒng)=（x+3）（x+2）（x-1）（x-2）>0的解集。

其次是“轉(zhuǎn)化探究”環(huán)節(jié)：師生對(duì)函數(shù)、方程、不等式三者間的關(guān)系進(jìn)行討論后，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=（x+3）（x+2）（x-1）（x-2）>0的圖像在x軸上方的部分的橫坐標(biāo)的集合，因此，求不等式的解集，關(guān)鍵在于了解函數(shù)圖像。如圖2，學(xué)生通過(guò)作圖，觀察后發(fā)現(xiàn)了函數(shù)y=（x-x1）（x-x2）…

（x-xn）的圖像規(guī)律。

圖2

第三個(gè)環(huán)節(jié)是“改變條件”：若方程（x-x1）（x-x2）…（x-xn）=0有重根，圖像還相同嗎？

第四個(gè)環(huán)節(jié)是“探求新知”：學(xué)生利用“幾何畫(huà)板”開(kāi)展實(shí)驗(yàn)探究，歸納出兩種情形：①方程有奇數(shù)個(gè)重根的情況，如圖3、圖4。

圖3

圖4

②方程有偶數(shù)個(gè)重根的情況，如圖5、圖6。

圖5

圖6

最后是“歸納總結(jié)”環(huán)節(jié)：y=0時(shí)的n個(gè)根將x軸分為n+1個(gè)區(qū)間，最右一個(gè)區(qū)間f（x）>0，其余區(qū)間函數(shù)值的符號(hào)從右到左“負(fù)正相間”，有重根時(shí)，圖像的特點(diǎn)是奇數(shù)根處圖像穿過(guò)根，偶數(shù)根處圖像不穿過(guò)根（簡(jiǎn)記為“奇穿偶不穿”）。

周小英老師對(duì)題目的改造，使數(shù)學(xué)問(wèn)題變得更具吸引力和探究性，較好地激發(fā)了學(xué)生的好奇心和探究欲，培養(yǎng)了學(xué)生的探究意識(shí)和能力。

又如，正態(tài)曲線(xiàn)就是函數(shù)f（x）=■■的圖像。面對(duì)如此復(fù)雜的函數(shù)，在傳統(tǒng)的教學(xué)中，教師往往依照教科書(shū)的三個(gè)圖形畫(huà)出草圖，然后告知學(xué)生正態(tài)曲線(xiàn)的所有性質(zhì)。實(shí)際上，大多數(shù)學(xué)生根本無(wú)法從僅有的幾個(gè)圖像中真正理解這些性質(zhì)。對(duì)正態(tài)曲線(xiàn)性質(zhì)的理解成了傳統(tǒng)教學(xué)中學(xué)生一直無(wú)法克服的難點(diǎn)，而在實(shí)驗(yàn)探究教學(xué)中，學(xué)生能夠主動(dòng)地利用信息技術(shù)具有動(dòng)態(tài)性的優(yōu)點(diǎn)來(lái)研究函數(shù)圖像（如圖7、圖8），通過(guò)觀察圖像的位置和形狀的變化，輕而易舉地得出正態(tài)曲線(xiàn)的性質(zhì)，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)這些性質(zhì)的理解。

圖7

圖8

2.以學(xué)生為主體的“情境—探究”課堂教學(xué)，這種教學(xué)模式由教師預(yù)先設(shè)計(jì)好需要探究的問(wèn)題或情境，學(xué)生直接進(jìn)行探究。課前，學(xué)生向老師提出感興趣的問(wèn)題或教師根據(jù)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和教學(xué)需要確定課堂教學(xué)探究的主題，編寫(xiě)探究導(dǎo)學(xué)，探究導(dǎo)學(xué)的內(nèi)容包括探究的主題和探究的目標(biāo)任務(wù)。教師將探究導(dǎo)學(xué)提前兩至三天發(fā)給學(xué)生，要求學(xué)生課前認(rèn)真閱讀探究導(dǎo)學(xué)，明確目標(biāo)任務(wù)，復(fù)習(xí)相關(guān)知識(shí)，進(jìn)行思考研究。課中，學(xué)生成立實(shí)驗(yàn)小組，根據(jù)教師創(chuàng)設(shè)的學(xué)習(xí)情境進(jìn)行觀察，同時(shí)結(jié)合自己的課前研究和思考與同伴展開(kāi)交流，進(jìn)行操作實(shí)踐，驗(yàn)證猜想是否正確，然后在教師的指導(dǎo)下把思考的過(guò)程和實(shí)踐的結(jié)果進(jìn)行歸納和總結(jié)。

下面以陳清卓老師的一個(gè)實(shí)驗(yàn)課為例作具體說(shuō)明：

實(shí)驗(yàn)課題：f（x）=x+■函數(shù)的圖像和性質(zhì)。

實(shí)驗(yàn)背景：函數(shù)f（x）=x+■蘊(yùn)含極大的教學(xué)價(jià)值。表現(xiàn)在：它是一個(gè)正比例函數(shù)與一個(gè)反比例函數(shù)之和通過(guò)變量替換而得到的函數(shù)；它是一個(gè)奇函數(shù)；把它用在（0，+∞）上的單調(diào)性可以解決函數(shù)的一類(lèi)最值問(wèn)題，特別是在“均值不等式”中不能取得等號(hào)時(shí)求最值的問(wèn)題；當(dāng)k≠0時(shí)其圖像為雙曲線(xiàn)。

實(shí)驗(yàn)工具：幾何畫(huà)板GPS（4.01）。

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模禾骄亢瘮?shù)f（x）=x+■的圖像和性質(zhì)（單調(diào)性和奇偶性）。

實(shí)驗(yàn)要求：1.把學(xué)生分成若干小組，每個(gè)小組4人；2.各小組寫(xiě)出實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?shí)驗(yàn)方法、實(shí)驗(yàn)步驟；3.各小組按計(jì)劃開(kāi)展實(shí)驗(yàn)；4.全班交流實(shí)驗(yàn)結(jié)果；5.撰寫(xiě)實(shí)驗(yàn)報(bào)告。

實(shí)驗(yàn)步驟：

1.打開(kāi)幾何畫(huà)板，進(jìn)入函數(shù)編輯功能。

2.輸入函數(shù)f（x）=x+■（k=-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4……）。

3.不斷改變k的值，觀察函數(shù)圖像（如圖9、圖10）的變化規(guī)律，記錄下觀察到的現(xiàn)象，填寫(xiě)表2。

4.根據(jù)觀察到的現(xiàn)象，猜想函數(shù)f（x）=

x+■的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）。

5.檢驗(yàn)猜想的正確性。

圖9

圖10

實(shí)驗(yàn)報(bào)告：

1.實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象記錄。不斷改變k值時(shí)，觀察到的現(xiàn)象是：隨著k值的不斷減小，分布在1、3象限的兩條曲線(xiàn)逐漸靠近。當(dāng)k值為正數(shù)時(shí)，圖像在第一象限內(nèi)“先減后增”，在第三象限內(nèi)“先增后減”；當(dāng)k為0時(shí)，兩條曲線(xiàn)變?yōu)橐粭l直線(xiàn)y=x；當(dāng)k值為負(fù)值時(shí)，若x>0，函數(shù)為增函數(shù)，若x<0也是增函數(shù)。在整個(gè)函數(shù)圖像的變化過(guò)程中，函數(shù)圖像都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。（教師用幾何畫(huà)板演示）

2.猜想。

猜想①：函數(shù)f（x）=x+■為奇函數(shù)。

猜想②：當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)f（x）=x+■在x>0時(shí)單調(diào)遞增，在x<0時(shí)也單調(diào)遞增。

猜想③：當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)f（x）=x+■在第一象限“先減后增”，在第三象限“先增后減”。

3.證明猜想①、猜想②；猜想③中的增與減的分界點(diǎn)難以確定。

4.尋找函數(shù)f（x）=x+■（k>0）的單調(diào)區(qū)間：①打開(kāi)“幾何畫(huà)板”；②當(dāng)k取不同的值時(shí)，作出函數(shù)f（x）=x+■（x>0）的圖像，并觀察函數(shù)取最小值時(shí)x的值（見(jiàn)圖11），填寫(xiě)表3；③由表3猜想函數(shù)f（x）=x+■（x>0）取得最小值時(shí)x的值中所蘊(yùn)含的規(guī)律；④對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證；⑤證明猜想的正確性。

5.討論：函數(shù)f（x）=x+■的性質(zhì)。

①函數(shù)f（x）=x+■是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；②當(dāng)k<0時(shí)，x在（-∞，0）上函數(shù)為增函數(shù)，x在（0，+∞）上函數(shù)也是增函數(shù)；③當(dāng)k>0時(shí)，x在（-∞，■），（■，+∞）上的函數(shù)是增函數(shù)；x在（-■，0），（0，■）上的函數(shù)是減函數(shù)。若x>0，當(dāng)x=■時(shí)，ymin=2■；x<0，當(dāng)x=-■時(shí)，ymax=-2■.④當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)為y=x，是一次函數(shù)。

這是一節(jié)探究實(shí)驗(yàn)課，教學(xué)設(shè)計(jì)的宗旨是讓學(xué)生利用信息技術(shù)開(kāi)展教學(xué)實(shí)驗(yàn)，根據(jù)原始的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸納整理，觀察實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，從中猜想出函數(shù)的性質(zhì)，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)過(guò)程來(lái)驗(yàn)證猜想的正確性，利用函數(shù)的性質(zhì)特點(diǎn)來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題，培養(yǎng)科學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法，學(xué)會(huì)撰寫(xiě)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告，促進(jìn)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。

3.以學(xué)生“自主—探究”為主的研究性學(xué)習(xí)，是指讓學(xué)生根據(jù)自身的經(jīng)驗(yàn)、技能，以個(gè)體自學(xué)為主進(jìn)行自主選擇、自主探究、自主發(fā)展。除課堂內(nèi)的探究性活動(dòng)，教師還可以利用課外時(shí)間教給學(xué)生操作幾何畫(huà)板的簡(jiǎn)單知識(shí)，讓學(xué)生利用計(jì)算機(jī)做實(shí)驗(yàn)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。對(duì)那些較為抽象的或幾何圖形變化較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)，我們可以將它設(shè)計(jì)為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)具體化，把靜止的圖形動(dòng)態(tài)化，讓學(xué)生動(dòng)手做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，在實(shí)驗(yàn)中了解知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，掌握知識(shí)的變化規(guī)律，理解數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，真正實(shí)現(xiàn)在“做中學(xué)”。

三、確定探究實(shí)驗(yàn)教學(xué)的整合點(diǎn)，建立與探究教學(xué)相配套的教學(xué)資源庫(kù)

在數(shù)學(xué)探究教學(xué)過(guò)程中，要有效地發(fā)揮“幾何畫(huà)板”在數(shù)學(xué)探究教學(xué)中的作用，關(guān)鍵是要準(zhǔn)確診斷出教學(xué)內(nèi)容的整合點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上研究如何合理運(yùn)用“幾何畫(huà)板”。以“導(dǎo)數(shù)”這一章節(jié)教學(xué)內(nèi)容為例，我們對(duì)教材進(jìn)行了認(rèn)真分析，找出了利用“幾何畫(huà)板”進(jìn)行探究實(shí)驗(yàn)教學(xué)的整合點(diǎn)。比如：在導(dǎo)數(shù)的概念這節(jié)內(nèi)容中，動(dòng)態(tài)演示■的變化過(guò)程，對(duì)■的值進(jìn)行測(cè)量、通過(guò)動(dòng)態(tài)演示來(lái)明確切線(xiàn)與曲線(xiàn)交點(diǎn)的問(wèn)題、通過(guò)測(cè)量明確導(dǎo)函數(shù)的值與曲線(xiàn)圖像性質(zhì)的關(guān)系等內(nèi)容，教學(xué)時(shí)采取以教師為主導(dǎo)的探究教學(xué)模式。對(duì)于一元三次函數(shù)的圖像性質(zhì)這一內(nèi)容，讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)方案繪制出有代表性的函數(shù)圖像，通過(guò)探究活動(dòng)，明確一元三次函數(shù)的圖像性質(zhì)。含參數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)這部分內(nèi)容，采用以學(xué)生為主體的探究教學(xué)模式，而函數(shù)圖像和它導(dǎo)函數(shù)圖像的關(guān)系，需要通過(guò)觀察圖像找到它們之間的聯(lián)系，然后撰寫(xiě)相應(yīng)的研究報(bào)告，進(jìn)行課題匯報(bào)，在課堂中進(jìn)行展示交流，這部分內(nèi)容采用以學(xué)生探究性學(xué)習(xí)為主的教學(xué)模式。

構(gòu)建與探究教學(xué)內(nèi)容相配套的教學(xué)資源庫(kù)，從一定程度上改變了教師備課的方式。教師可以從素材庫(kù)中選取授課時(shí)所需要的教學(xué)資源，在較短的時(shí)間內(nèi)制作出教學(xué)所需要的教案或課件，這種做法在將教師從繁重的備課中解脫出來(lái)后，能把更多的精力放在鉆研教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)設(shè)計(jì)上。而資源庫(kù)中的成品課件，可以供學(xué)生使用，在豐富課程資源的同時(shí)，也為學(xué)生提供了廣闊的探究空間。（責(zé)編 歐孔群）