考慮荷載隨機性的人行橋人致振動計算方法研究

基金項目：國家自然科學基金重點資助項目（50738002）

作者簡介：李紅利（1979-），男，湖北紅安人，湖南大學博士研究生

摘要：隨著人行橋大跨輕柔化的發(fā)展趨勢，行人動力荷載逐漸攀升為人行橋設計中的控制荷載.然而，受行人荷載隨機性的影響，如何計算人行橋的人致振動響應卻成為橋梁工程設計人員最為棘手的問題.為了建立準確實用的人行橋人致振動響應計算方法，首先提出了改進后的基于瞬時步行參數(shù)的行人步行力隨機性時域模型，并通過實測手段系統(tǒng)地研究了模型中包括個體間差異性以及個體內(nèi)部變異性在內(nèi)的行人步行參數(shù)的分布規(guī)律.在此基礎上闡述了行人流步行過程模態(tài)力的集成，建立了行人作用下的人行橋人致振動的模態(tài)疊加分析法.本文以43#人行橋為例，將數(shù)值模擬結(jié)果與人致振動試驗數(shù)據(jù)以及現(xiàn)有各國人行橋設計規(guī)范進行了綜合的對比分析，驗證了考慮隨機性后的人行橋人致振動時域分析法的可靠性與實用性.

關(guān)鍵詞：人行橋人致振動；模態(tài)疊加分析法；隨機性行人步行力模型；行人步行參數(shù)

中圖分類號：U448.11文獻標識碼：A

隨著現(xiàn)代人行橋逐漸向著大跨輕柔化的方向發(fā)展，人行橋在結(jié)構(gòu)動力性能方面呈現(xiàn)出輕質(zhì)、低頻、弱阻尼等動力特征.在行人動荷載激勵下，具有這類動力特征的人行橋更易出現(xiàn)大幅振動現(xiàn)象.因此，人行橋人致振動計算已被列入現(xiàn)代人行橋設計過程中的主要驗算內(nèi)容之一.

在人行橋人致振動計算中，行人步行力模型是基礎，其中又以單人步行力模型為核心.當前，單人步行力模型主要包括時域模型與頻域模型兩大類，其中，前者通常采用以動載因子為主導的傅立葉級數(shù)形式進行描述，后者則通常采用步行力功率譜密度函數(shù)的形式進行描述.人群步行力模型則多以單人步行力模型為基準、從等效觀點出發(fā)引入橋面有效行人數(shù)n′的概念，并提出人群作用下的橋梁響應為單人作用效應的n′倍[2].

根據(jù)行人步行力模型作用方式的不同，人行橋人致振動時域分析法大致可以分為集中荷載跨中作用法[3]、集中荷載勻速移動法、集中荷載等步長邁進法[5]以及均布荷載模態(tài)振型加載法[6]等簡化計算方法.人行橋人致振動頻域分析法則采用經(jīng)典隨機振動理論，從行人步行力功率譜出發(fā)直接計算人行橋人致振動加速度均方值[7].相比較而言，頻域分析法則廣為國內(nèi)學者所采用，如宋志剛[8]、陳宇[9]等人分別提出了大跨度樓板的最大加速度響應譜以及均方根加速度響應譜計算方法，李泉[10]等人則結(jié)合虛擬激勵荷載法提出了人行橋均方根加速度響應譜.

然而，與實際行人作用效應相比，上述步行力模型及人致振動分析方法主要存在以下方面的不足：（?。┈F(xiàn)有步行力模型忽視了行人步行力的隨機性影響，進而將其描述成一完全的周期性荷載.事實上，行人步行力的隨機性不僅表現(xiàn)在不同行人間的步行力不相同，而且即便是同一步行主體，其每一步的步行力也存在些許差異；（ⅱ）無論是集中荷載勻速移動法、集中荷載等長邁進法，還是連續(xù)分布荷載作用法，它們對行人步行力作用方式的描述都不夠準確.行人步行力的根本特征在于荷載大小連續(xù)變化而作用點位置則發(fā)生階躍性突變，而受行人步長隨機性的影響，這種步行力作用點的階躍大小同樣具有隨機性.這些特點決定了行人步行力荷載處理起來既不同于移動車輛荷載，也不同于風荷載；（ⅲ）對人群荷載缺乏真實的反映.對于規(guī)模大小為n的人群，其步行力荷載作用既不同于n個完全一致的行人步行力效應，也不同于上述文獻中通常所假設的步頻相同、相位服從均勻分布的n個互不相干的行人步行力效應

受以上問題的影響，不同計算方法得到人行橋人致振動往往相差較大，并且大幅偏離實測值[11-12].本文從行人步行參數(shù)入手，對行人步行力時域隨機模型進行了局部的改進，利用模態(tài)疊加法建立了與行人步行過程相一致的人行橋人致振動時域分析框架，并以43#人行橋為例，通過數(shù)值模擬與試驗結(jié)果相比較，說明了該方法的實用性與可靠性.

1行人步行力模型及行人步行參數(shù)研究

1.1改進后的步行力隨機性時域模型

由于步行力曲線的非規(guī)則性，步行力一般難以用初等函數(shù)表示.因此，在行人步行力時域模型中，步行力通常采用以下傅立葉級數(shù)的形式進行描述[13]，

Ft=W1+∑ns=1αssin 2πsfpt-θs.（1）

式中：fp為行人步頻，Hz；αs為行人步行荷載第s階諧波動載系數(shù)，定義為αs=AsW，其中，As為第s階諧波動荷載幅值，W為行人自重，一般取值為700～800 N，本文在計算中取W=750 N；θs為第s階諧波動荷載的初相位，來自于實測觀測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計值；n為計算中所采用諧波項數(shù)，取決于模擬荷載所需要達到的近似程度，一般情況下取到n=3即可滿足工程精度需求.

對于式（1）中諧波動載系數(shù)以及初相位的取值，當前可供參考的研究成果頗多，其中諧波動載系數(shù)以Young[14]的研究成果最為突出，Young從統(tǒng)計角度指出諧波動載系數(shù)為行人平均步頻的函數(shù)，如表1中第2列所示.此外，通過對比眾多學者的研究結(jié)論[15]可以發(fā)現(xiàn)，諧波初相位的分布具有相當?shù)碾x散性，這恰好驗證了Zivanovic關(guān)于步行力諧波初相位服從均勻分布的研究結(jié)論，如表1中的第3列所示.

1.2行人步行參數(shù)研究

1.2.1人群步行參數(shù)分布特性

1）行人流觀測方案

湖南大學風工程試驗研究中心于2008年9月期間對人群步行參數(shù)進行了現(xiàn)場觀測研究，觀測對象主要為在校青年學生，觀測地點選擇在教學樓中樓入口處（與人行橋情況相似，這里沒有車輛經(jīng)過，并且雙向人流量較大，便于得到較多的觀測樣本），觀測區(qū)域長為12.75 m、寬約4 m，觀測方法采用高分辨率攝像機在觀測區(qū)域范圍內(nèi)對行人步行全過程進行秘密拍攝，從而避免拍攝過程中影響到行人固有步行特征，觀測時段選取在每天學生上下課進出教學樓高峰期，整個觀測過程前后歷時約一個月.

2）人群步行參數(shù)統(tǒng)計分析

拍攝完畢后，將錄像資料陸續(xù)導入PC進行播放，通過控制播放器的暫停與開始功能，記錄每個行人進入和離開觀測區(qū)域的時間以及整個過程需要的步行數(shù)，進而得到單個行人走過觀測段的總時間，然后根據(jù)關(guān)系式：步長= 觀測段長度/步數(shù)、步頻=步數(shù)/時間，分別計算行人平均步長及對應步長頻率.

按照上述方法，逐個提取所有樣本的步行參數(shù)，拍攝全過程累計樣本數(shù)最終多達12 293個.對樣本空間進行統(tǒng)計分析，圖1（a），（b）分別為行人平均步頻、步長參數(shù)直方分布圖.為方便起見，各圖右軸中均疊加了各組樣本的正態(tài)分布擬合概率密度曲線

從圖中不難看出，各組樣本對應的直方分布圖與擬合出的概率密度曲線吻合程度相當好，表明人群步行參數(shù)整體上符合正態(tài)分布，其中，行人平均步長服從參數(shù)為N（0.715，0.078） m的正態(tài)分布；行人平均步頻則服從參數(shù)為N（1.825，0.221） Hz的正態(tài)分布.

顯然，以上結(jié)論僅是從整體的角度描述了行人的兩個步行參數(shù)，它還不足以說明單個行人的步行參數(shù)特征，如步長與步頻之間的匹配關(guān)系、步長/步頻與步行速度之間的協(xié)調(diào)問題等.為了考慮這一問題，圖2為觀測樣本中步長/步頻數(shù)據(jù)對的散點分布情況.根據(jù)關(guān)系式：步行速度=步長×步頻，圖中一并示出了步行速度位于0.638～2.550 m/s之間的等速步行線.此外，在橫坐標步頻軸上，圖中還示出了0.8～2.8 Hz范圍內(nèi)、以0.4 Hz增量為區(qū)間長度的各子區(qū)間范圍內(nèi)的步長分布直方圖.

首先，結(jié)合圖中的步頻/步長散點分布情況以及各等速步行曲線的覆蓋范圍，直觀上可以發(fā)現(xiàn)，隨著步行速度的增加，行人步頻、步長均呈現(xiàn)出同步增長的趨勢.其次，觀察所有步頻子區(qū)間內(nèi)的步長分布直方圖可以發(fā)現(xiàn)，隨著步頻的增長，區(qū)間內(nèi)步長平均值整體上有向上增長的趨勢.

為了準確地描述以上規(guī)律，進一步揭示行人步行參數(shù)間的內(nèi)在關(guān)系，圖3為處理后的行人步長/步頻-步行速度關(guān)系曲線圖，其中，步長/步頻數(shù)據(jù)點（包含均值及標準差）均基于對應等速步行曲線統(tǒng)計得到，并分別以符號“□”，“○”加以標示，粗實線/粗虛線分別為采用冪函數(shù)形式擬合出的步頻/步長步行速度關(guān)系曲線.

至此，在行人基本步行參數(shù)的3個統(tǒng)計量中，只要任意給出其中一個（通常為步頻），就可以按照式（3）～（6）計算出與其相互協(xié)調(diào)的其它兩個參數(shù)（如步長及步行速度）.

1.2.2個體步行參數(shù)分布特性

利用了集成化的加速度計量儀（下文簡稱為Logger）對行人步行過程進行跟蹤測試，并對加速度信號進行峰值識別處理后最終獲取了行人瞬時步頻

1）個體步行過程跟蹤測試

步行跟蹤測試中所用到的Logger裝置如圖5所示，其核心部件為電容式加速度計，當其運動發(fā)生改變時，電容信號依次經(jīng)過放大、A/D轉(zhuǎn)換后最終輸出數(shù)字化加速度信號.該裝置體積小、攜帶方便，它不僅能夠采集、存儲3個相互垂直方向的加速度信號，而且還可以通過網(wǎng)絡通訊接口進行高精度（0.001 s）的時間同步設置；裝置具有定時開啟與手動控制兩種數(shù)據(jù)采集模式，兩種模式的最高數(shù)據(jù)采集頻率均為1 000 Hz，并配有兩種可供選擇的最大量程范圍

2）個體步行參數(shù)提取及分析

眾所周知，行人步行過程由若干個步行周期組成，每個步行周期又包含若干個步行特征動作（如腳跟著地、腳尖離地等等），步行過程中任意特征動作前后兩次出現(xiàn)的時間間隔即為行人步行周期.與步行特征動作相類似，在一個步行周期范圍內(nèi)，行人步行加速度信號同樣展現(xiàn)出若干項特征，如圖6所示，其中以y軸（豎向）、z軸（行進方向）加速度波形特征最為明顯，分別表現(xiàn)為正峰值單M型、負峰值雙M型，x軸（行人側(cè)向）波形相對復雜，但仔細觀察后仍然可以發(fā)現(xiàn)，其準半周期正峰值特性亦較為突出.

因此，行人瞬時步頻還可以從步行加速度信號中獲取，即提取步行加速度波形圖中相鄰特征點（正/負峰值）在時間上的間隔.以此為依據(jù)，在跟蹤測試過程結(jié)束后，將Logger中的加速度數(shù)據(jù)導入計算機，并利用自編程序PeakDetect進行相應信號峰值識別處理及行人瞬時步行參數(shù)計算.

Fig.6Typical back accelerationpattern for human walking

以行人步行豎向加速度分量為例，圖7和圖8說明了個體步行參數(shù)的提取過程.其中，圖7為39號試驗者豎向步行加速度的峰值識別情況，從隨機抽取的樣本圖（分別為446～451 s，1 339～1 344 s之間）中可以看出，PeakDetect程序既能夠準確地捕捉到行人步行加速度中的所有特征峰值，同時還完全拒絕了其它非特征性峰值，說明了行人步行加速度特征峰值識別算法的可靠性.圖8為基于豎向行人步行加速度特征峰值識別結(jié)果的39號行人瞬時步頻直方圖分布情況，圖的右軸部分疊加了正態(tài)分布擬合概率密度曲線，從瞬時步頻直方分布圖與概率密度曲線的吻合程度可以看出，以正態(tài)分布函數(shù)描述行人瞬時步頻的分布情況具有一定的合理性.因此，下文均以正態(tài)分布參數(shù)作為衡量行人瞬時步頻分布特征的主要統(tǒng)計量.

分析表明，39號行人的平均步頻為1.900 9 Hz，標準差為0.090 8 Hz.事實上，39號行人在步行測試過程中前100步用時52′46″，對應的平均步頻為1.906 Hz，這與基于豎向步行力加速度得到的平均步頻1.900 9幾乎完全一致.

圖9為所有參與試驗者的瞬時步頻統(tǒng)計參數(shù)分布圖，其中，圖左邊表示行人瞬時步頻標準差散點圖，“*”與“o” 分別表示該行人瞬時步頻是以步行加速度豎/縱向分量計算得到，而連接“*”與“o”的短橫線表示該行人瞬時步頻時的計算同時用到豎/縱向分量；圖右邊為行人瞬時步頻標準差的直方分布圖.

仔細觀察圖9可以發(fā)現(xiàn)，行人瞬時步頻標準差的兩個特點：（ⅰ）其大小與行人步頻平均值無明顯關(guān)聯(lián)趨勢；（ⅱ）其數(shù)值分布相對均勻.此外還可以看出，不同的加速度分量計算出的行人瞬時步行參數(shù)統(tǒng)計值也稍有差別，原因可能是由于在固定行人背部的加速度Logger裝置時，其y軸并沒有調(diào)到嚴格意義上的鉛直方向所致.

基于上述分析，可以對行人瞬時步頻作出以下結(jié)論，行人瞬時步頻總體上符合正態(tài)分布，其方差大小均勻分布在區(qū)間[0.06，0.12] Hz，與步頻均值無關(guān)

2人行橋人致振動時域分析

2.1行人步行模態(tài)力

與其它類型的動荷載（如單點正弦激勵荷載、隨機風荷載）相比，行人步行力荷載的最大特點是時空雙重變化性，如圖10所示，即行人荷載隨著時間的變化一方面表現(xiàn)為荷載在數(shù)值上發(fā)生連續(xù)變化，另一方面體現(xiàn)在步行力荷載作用點位置發(fā)生間歇性的跳躍性變化，其中后一點使得行人動力荷載在本質(zhì)上區(qū)別于車輛活載.這種集時空兩重性、離散連續(xù)性于一體的荷載多變性，使得行人動力荷載模態(tài)力的集成方式不同于一般動荷載作用下的模態(tài)力計算

2.1.2人群步行過程模態(tài)力集成

在行人單步模態(tài)力的基礎上，人群步行過程模態(tài)力的集成主要涉及兩方面的問題.首先對于單個行人而言，模態(tài)力計算式（10）中的時間t與步行荷載作用點位置Xkj均是相對于該行人的第k步而言，因此行人每向前邁進一步，時間t的取值范圍以及步行荷載作用點位置Xkj都要進行相應的更新；其次對于人群而言，還需要記錄下每一個行人進入、走出橋面的具體時間，實時監(jiān)測橋面總行人數(shù)的變化情況.在此基礎上，人群步行過程的模態(tài)力可按以下基本步驟進行計算.

3人行橋人致振動響應計算算例

3.1人行橋人致振動現(xiàn)場試驗

43#人行橋是某高速公路的跨線人行橋，結(jié)構(gòu)形式為預應力混凝土四跨連續(xù)梁，全長80.03 m（11.4+24.58+32.65+10.95），橋面凈寬4.0 m，主梁截面形式為淺肋板式，橫截面積A=1.82 m2，截面抗彎慣性矩EI=2.80×109 Nm2，主梁線密度=4 556 kg/m.根據(jù)有限元分析以及現(xiàn)場測試結(jié)果，該人行橋僅有前兩階豎向振動頻率fd<5 Hz，其對應模態(tài)振型及參數(shù)分別如圖11和表2所示，其中，模態(tài)質(zhì)量對應于最大振型分量為1的模態(tài)振型，模態(tài)阻尼比為實測平均值.

為了測量橋梁在隨機人群荷載作用下的豎向振動響應，試驗前首先將三軸加速度傳感器固定在人行橋右主跨跨中橋面上.試驗中共有41名行人參與橋面步行過程，所有參與者均要求以適合自己的步行方式重復性地從橋梁一側(cè)走過并從另一側(cè)返回，最終形成閉合、穩(wěn)定的行人流.與此同時，操作人員使用機械計數(shù)器記錄下每10 s內(nèi)通過左側(cè)邊墩墩頂?shù)耐敌腥藬?shù)ni，以便確定橋面雙向行人流強度及分布.

3.2人行橋人致振動數(shù)值分析

以43#人行橋為例，采用本文的計算方法對該橋的人致振動響應進行數(shù)值模擬，其中橋梁基本參數(shù)見表2所示，行人流強度行人流強度.由于第三、四階模態(tài)頻率（分別為5.72 Hz，10.08 Hz）遠高于行人步頻，因此人行橋人致振動模態(tài)疊加響應計算中僅采用前兩階豎向振動模態(tài).圖13為橋面行人隨時間的變化情況以及第三

跨跨中加速度響應的數(shù)值模擬結(jié)果，其中，橋面平均行人數(shù)約為40人，加速度最大值，與實測值非常吻合.

為了便于進一步比較，表3依次列出了按照歐洲規(guī)范EuroCode5、法國規(guī)范Setra2006、歐盟設計指南HIVOSS2008、英國國家補充規(guī)范UKNA以及國際標準組織ISO10137等計算出的43#人行橋跨中加速度響應.

從表中的比較結(jié)果中可以看出，無論是加速度峰值還是均方值，本文提出的人行橋人致振動計算

方法均能夠給出滿意的計算結(jié)果.相比較而言，法國Setra2006指南、英國UKNA也值得推薦.至于兩者計算結(jié)果具有一定差異，其主要原因在于兩者所采用的峰值置信度水平不一致，其中前者對應于4倍標準差，后者則對應于2.5倍標準差.對于其它規(guī)范，如歐洲規(guī)范EC5、歐盟HIVOSS2008的譜方法、國際標準組織ISO10137的簡化分析法等，其計算結(jié)果誤差則相對較大，其中EC5，ISO10137高估橋梁加速度響應的直接原因在于這些規(guī)范采用了行人共振步行力模型，忽略了荷載隨機性的影響；有趣的是，同樣基于共振力模型，HIVOSS2008譜方法給出的計算結(jié)果卻大幅偏小，其可能原因在于該方法是一種基于特定數(shù)值模擬結(jié)果的經(jīng)驗模型，對于不同橋梁結(jié)構(gòu)具有很大的局限性.

4結(jié)論

為了真實模擬行人步行荷載效應，考慮行人荷載隨機性的影響，本文從行人步行力模型入手，以實際觀測為主要手段，系統(tǒng)研究了模型中行人步行參數(shù)的分布特征，著重闡述了行人步行過程模態(tài)力的集成方法，建立了人行橋人致振動的理論分析框架，并以43#人行橋為例，通過與現(xiàn)場試驗結(jié)果對比，證實了本文計算方法的準確性.

1）以瞬時步行參數(shù)為參量的行人步行力模型能夠全面反映行人步行力的雙重隨機性，即個體間差異性以及個體內(nèi)部變異性.

2）人群步行參數(shù)整體上服從正態(tài)分布，其中，平均步長及步頻分別服從參數(shù)為N（0.715，0.078）m以及參數(shù)為N（1.825，0.221）Hz的正態(tài)分布，但對于個體而言，兩者間仍需要滿足步長步頻協(xié)調(diào)條件，即滿足表達式Ls=3.659f-1.266s.

3）單個行人瞬時步頻總體也服從正態(tài)分布，但其方差大小與步頻均值無關(guān)，均勻分布在區(qū)間[0.06，0.12] Hz

4）行人步行過程模態(tài)力的集成既不同于移動車輛荷載，也不同于其它分布性荷載（如風荷載），需要充分考慮到其間斷性的跳躍特征.

5）本文提出的人行橋人致振動時域分析法完全考慮了行人步行荷載各種隨機性的影響，并且該方法不受橋梁結(jié)構(gòu)形式限制，應用面廣.對43#橋而言，其計算結(jié)果較部分規(guī)范更為可靠，但其普適性有待更多試驗進行驗證.

參考文獻

[1]ZIVANOVIC S， PAVIC A， REYNOLDS P. Vibration serviceability of footbridges under humaninduced excitation： a literature review[J].Journal of Sound and Vibration， 2005， 279（1/2）：1-74.

[2]MATSUMOTO Y， NISHIOKA T， SHIOJIRI H， et al.Dynamic design of footbridges [C]// Proceedings of IABSE， Zurich： 1978.

[3]ALLEN D E， MURRAY T M. Design criterion for vibrations due to walking[J]. Engineering Journal， 1993， 30（4）：117-129.

[4]BLANCHARD J， DAVIES B L， SMITH J W. Design criterion and analysis for dynamic loading of footbridges [C]//Proceedings of the DOE and DOT TRRL Symposium on Dynamic Behavior of Bridge. Crownthorne： 1997.

[5]袁旭斌.人行橋人致振動特性研究[D].上海：同濟大學土木工程學院，2006：14-78.

YUAN Xubin.Research on pedestrianinduced vibration of footbridge[D].Shanghai： School of Civil Engineering， Tongji University， 2006：14-78.（In Chinese）

[6]HIVOSS. Human induced vibrations of steel structures：design of footbridges guideline[R]. 2008：1-31.

[7]BROWNJOHN JMW， PAVIC A， OMENZETTER P. A spectral density approach for modeling continuous vertical forces on pedestrian structures due to walking[J]. Canadian Journal of Civil Engineering， 2004， 34（1）：67-77.

[8]宋志剛，金偉良.行走激勵下大跨度樓板振動的最大加速度響應譜方法[J].建筑結(jié)構(gòu)學報，2004，25（2）：57-63.

SONG Zhigang， JIN Weiliang. Peak acceleration response spectrum of long span floor vibration by pedestrian excitation[J]. Journal of Building Structures， 2004，25（2）： 57-63.（In Chinese）

[9]陳宇.步行荷載激勵下大跨人行橋的振動研究和減振研究[D].北京：清華大學土木工程系，2007.

CHEN Yu. Vibration study and control on long span footbridge under humaninduced load[D].Beijing：Department of Civil Engineering， Tsinghua University， 2007.（In Chinese）

[10]李泉，樊健生，聶建國.多人隨機行走激勵下人行橋振動分析[J].計算力學學報，2010，27 （5）：815-821.

LI Quan，F(xiàn)AN Jiansheng，NIE Jianguo.Vibrationrespons analysis of longspan footbridge to random walking loads generated by crowds[J].Chinese Journal of Computational Mechanics，2010， 27 （5）：815-821.（In Chinese）

[11]ZIVANOVIC S， PAVIC A， INGOLFSSON E T. Modelling spatially unrestricted pedestrian traffic on foot bridges[J]. ASCE Journal of Structural Engineering， 2010，136 （10）：1296-1308.

[12]PAVIC A. Vertical crowd dynamic action on footbridges： Review of design guidelines and their application[C]//Footbridge 20114th International Conference. Wroclaw： Wroclaw University of Technology， 2011.

[13]BACHMANN H， PRETLOVE A J， RAINER J. Dynamic forces from rhythmical human body motions [C]//BACHMANN H， AMMANN WJ， DEISCHL F， et al.Vibration Problems in Structures： Practical Guidelines.Berlin：Birkhuser Verlag AG，1995.

[14]YOUNG P. Improved floor vibration prediction methodologies [C]//Proceedings of Arup Vibration Seminar on Engineering for Structure VibrationCurrent Developments in Research and Practice. London： 2001.

[15]陳政清，華旭剛.人行橋的振動與動力設計[M].北京：人民交通出版社，2009：1-283.

CHEN Zhengqing， HUA Xugang. Vibration and dynamic design of footbridges[M].Beijing：China Communication Press， 2009：1-283.（In Chinese）