一道課本例題的研究性學(xué)習(xí)

1 問題的提出師：誰能說說你是怎么求解的？理由是什么？生1：利用平面幾何圖形的特征，先求出圓心到直線的距離3d =，從而得到最小值為1dr？=，最大值為5dr+ =.

師：很好！能否從代數(shù)方面嚴格證明這個結(jié)論呢？

師：回答得很完整，很到位！他先通過畫圖，尋找到思路后再通過代數(shù)方法進行論證，說理很充分！那解決這個問題就有上面的三個方法了，大家比較一下，哪一種方法更為方便？哪一種方法又是解決圓錐曲線和直線位置關(guān)系問題的通性通法呢？

生4：對圓與直線的位置關(guān)系問題方法1較為方便，但方法2和3不僅可以適用于圓和直線，還適用于橢圓、雙曲線、拋物線和直線的相關(guān)問題.

師：總結(jié)得漂亮！以后我們要針對不同問題選用恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，這樣有助于簡化解題過程和節(jié)約解題時間.由上面的討論，我們知道圓上的點到直線的距離在1到5之間，不存在小于1或大于5的點.

如果把題目的條件和結(jié)論稍作變動，你會有何發(fā)現(xiàn)呢？

（問題提得比較發(fā)散.教師的本意是想讓學(xué)生把圓或直線這兩個定曲線變成動曲線來研究.）

生：發(fā)現(xiàn)？！

（在學(xué)生看來，這是一個非常簡單的問題，運用平幾知識一解了之，題目沒有任何新意，學(xué)生對此本沒有什么興致.然經(jīng)老師這一問“有何發(fā)現(xiàn)”，精神為之一振.教學(xué)中非常重要的問題之一是：在無疑處生疑，想方設(shè)法調(diào)動學(xué)生思維的積極性.）

師：對，只要認真觀察、思考，必有重大發(fā)現(xiàn)！

（為進一步激發(fā)學(xué)生思維的積極性，教師有意夸大其辭.）

師：平面上到直線l距離等于1的點在哪里？這類題目能不能換個角度來思考？

生7：平面上到直線l距離等于1的點在與直線l平行的兩條直線12， l l上，圓上有幾個點到直線l的距離這個問題，就可以轉(zhuǎn)化為研究動圓和直線12， l l的位置關(guān)系.

師生：太棒了！有效合理地轉(zhuǎn)化，是解決數(shù)學(xué)問題的有效途徑.

師：剛才是固定直線和圓的圓心位置不動，改變圓的半徑，能否固定圓不動，改變直線的位置呢？

又經(jīng)過幾分鐘的觀察、思考后，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)（讓有所發(fā)現(xiàn)的學(xué)生逐個報告發(fā)現(xiàn)的結(jié)果）

生8：（題3）已知圓224xy+=上到直線30 xyC？+=距離等于1的點有1個，則實數(shù)C的值為________.

生9：（題4）已知圓224xy+=上到直線30 xyC？+=距離等于1的點有2、3、4個，則實數(shù)C的取值范圍為______.

師：你們真的太棒了！竟然連高考題都編得出來呀！

（題5）在平面直角坐標系xoy中，已知圓上有且僅有四個點到直線1250xyc？+ =的距離為1，則實數(shù)C的取值范圍是_____.

師：現(xiàn)在大家把剛才改編的題目1—5完成以下.（大約5分鐘，幾乎全部同學(xué)都完成了，而且正確率很高.學(xué)生的情緒因成功的喜悅越來越高漲?。?/p>

師：刻畫直線的位置關(guān)系需要哪幾個要素？

生：兩個點或一個點加斜率.

師：剛才所給的直線是斜率確定的一組平行直線系，如果改成過定點的直線系，情況如何？

（題6）若圓22（2）（2）18xy？+？=上至少有三個不同點到直線：0l ax by+=的距離為2 2，則直線l的傾斜角的取值范圍為______.

師：題6的關(guān)鍵在哪兒？

生10：關(guān)鍵在于如何畫圖.

師：那大家考慮一下，如何來畫圖？要注意一些特殊的要素?。ń?jīng)過了5分鐘）

3 教后反思

3.1 教材是開展研究性學(xué)習(xí)的藍本

高考命題“源于課本，高于課本”.課本是試題的根，在教學(xué)中，我們需要反思如何才能充分利用好課本例習(xí)題的功能.如何對例習(xí)題進行改編，從而放大課本經(jīng)典例習(xí)題的作用，加深學(xué)生對例習(xí)題的理解.以課本上的數(shù)學(xué)知識為內(nèi)容進行選題不僅可行，而且有效，教材是開展研究性學(xué)習(xí)的“資源庫”，這些材料可以是數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過程，結(jié)論的推導(dǎo)過程，知識的發(fā)生、發(fā)展和形成的過程，解題思路的探索過程，解題方法和規(guī)律的概括過程等.教師可以把這些知識形成過程的教學(xué)設(shè)計為學(xué)生再發(fā)現(xiàn)，再創(chuàng)造的研究性學(xué)習(xí)活動.

3.2 研究性學(xué)習(xí)的選題要注意平民化

著名數(shù)學(xué)教育家G·玻利亞指出：“拿一個有意義又不復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的領(lǐng)域.”由此可見選題的重要性.高中數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)的實施過程中，要考慮選題的起點不宜過高，要便于每個學(xué)生都能找到自己的切入口，都能在過程設(shè)計中體驗自己的參與，都能在自主探索、合作交流中展示自己的所長，體驗自身的價值，使不同水平的學(xué)生取得不同的提高，從而使絕大多數(shù)學(xué)生都能通過研究性學(xué)習(xí)樹立起自信和興趣.總的來講，選擇的問題難度盡可能處在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，以真正吸引學(xué)生參與到研究活動中，為促進全體學(xué)生全面發(fā)展，為學(xué)生終生學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ).

3.3 課堂教學(xué)應(yīng)是動態(tài)生成的

葉瀾教授曾經(jīng)指出：“課堂應(yīng)是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和風(fēng)景的因素，而不是一切都必須遵循固定路線而沒有激情的行程.”的確，課堂教學(xué)是一個漸進的、多層次和多角度的非線性序列，是師生及多種因素間動態(tài)的互相作用的推進過程.經(jīng)驗告訴我們：老師把學(xué)生看成了課堂學(xué)的主體，學(xué)生便成了課堂的思想者、活動者，課堂就充滿了智慧，充滿了生成，充滿了活力，學(xué)生會感受到成功的快樂，而這種快樂又會成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)更強的內(nèi)驅(qū)力，這就是我們期盼已久的動態(tài)的生命課堂.它是自主與引領(lǐng)統(tǒng)一、教與學(xué)和諧、預(yù)設(shè)與生成并重的教學(xué)過程，體現(xiàn)了學(xué)生的主動與老師的靈動，關(guān)注了師生的生命體驗，充滿了生命氣息與活力，使師生共同發(fā)展、和諧發(fā)展、持續(xù)發(fā)展成為可能.

3.4 學(xué)生的潛力是可以發(fā)掘的

數(shù)學(xué)新課程標準凸現(xiàn)了以人為本的教學(xué)理念，要求我們把課堂還給學(xué)生，讓學(xué)生變得更加好問，讓我們的課堂不再“安靜”，而是充滿活力和生機，讓課堂成為孩子創(chuàng)新的搖籃，讓學(xué)生真正成為課堂的主人.這節(jié)課事實證明：如果你相信學(xué)生，讓學(xué)生主動研究，充分發(fā)表意見，你就會發(fā)現(xiàn)學(xué)生蘊涵著無窮的創(chuàng)造力，你就會覺得自己實在沒有比學(xué)生太多的高明.教師只有充分尊重學(xué)生，耐心傾聽學(xué)生的想法，及時鼓勵點撥，適時提醒鞭策.營造一個寬松而又緊湊的、平和但又充滿挑戰(zhàn)的教學(xué)情境，使學(xué)生更加主動地參與到學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生的巨大潛力才能得到最大限度的開發(fā).很多事實證明，我們的學(xué)生都是好樣的，教師務(wù)必樹立這樣的觀念.

總而言之，研究性學(xué)習(xí)有利于新型師生關(guān)系的建立，有利于學(xué)生形成科學(xué)的思維品質(zhì)、培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力，有利于學(xué)生更主動、靈活地獲取知識，既夯實雙基，又提高綜合能力，為進一步的深入學(xué)習(xí)打下堅實基礎(chǔ).