數(shù)形結(jié)合在2013年高考選擇、填空題中的應(yīng)用舉例

“數(shù)與形本是兩依倚，焉能分作兩邊飛，數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.”在這首詩中華羅庚先生指出了數(shù)與形相互之間的關(guān)系，揭示了數(shù)形結(jié)合思想方法的本質(zhì)和重要性.數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中七個(gè)常用基本思想方法之一，在高考數(shù)學(xué)試題中，數(shù)形結(jié)合的滲透是方方面面.題目主要出現(xiàn)在集合、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、解析幾何及不等式最值等題目上，把圖象作為工具、載體，不僅可以直觀，而且易于尋找解題的途徑和突破口，以此尋求解題思路或制定解題方案，能避免繁雜的計(jì)算和推理，簡化解題過程，尤其在解選擇或填空題時(shí)其優(yōu)越性更加突出.

從近年高考課標(biāo)卷來看，對(duì)數(shù)形結(jié)合等思想方法的考查，是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次的抽象和概括能力的考查，是對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能的考查，是課標(biāo)課程高考明確的一個(gè)命題方向.本文從五方面結(jié)合2013年相關(guān)高考試題談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想方法在解選擇或填空題時(shí)的應(yīng)用.

解析 因?yàn)锳={x | x<0或x >2}，利用數(shù)軸非常直觀的得出答案A∪B= R，故選答案B.

點(diǎn)評(píng) 不等式型集合的交、并、補(bǔ)通常可以利用數(shù)軸直觀進(jìn)行，有時(shí)解題還要注意驗(yàn)證區(qū)間端點(diǎn)是否符合題意.

點(diǎn)評(píng) 本題如果直接計(jì)算，涉及到弦長公式、點(diǎn)到直線距離公式以及求最大值等問題，運(yùn)算繁瑣，得不償失.此題運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理，大大簡化了解題過程，從而能極大的提高解題效率.

點(diǎn)評(píng) 本題本質(zhì)上是把方程實(shí)根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，本題考查了函數(shù)的極值點(diǎn)、方程的根、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，綜合了二次函數(shù)的基本性質(zhì)等，難度比較大，綜合性很強(qiáng)，對(duì)考生的能力要求非常高.一般從“形”入手更為直觀，利用其圖象特征，就可以找到解題思路，利用圖象進(jìn)行分析.當(dāng)然不是只用圖象解出，還需相應(yīng)的數(shù)學(xué)具體變形與運(yùn)算，這樣才體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，爭取做到胸中有圖，見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野.

數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想：包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，其應(yīng)用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動(dòng)性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的.數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖象結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.總而言之，數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用是有條件的，若問題所涉及的“數(shù)”具有“形”的特征，或“形”具有“數(shù)或式”的特征，則可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解之，當(dāng)然這種特征要依賴于基本的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)概念，依賴于良好的思維品質(zhì)和一定想像力這一前提.

《考綱》指出“數(shù)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想思想方法的考查，注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查”， 數(shù)形結(jié)合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以有效提升思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能.從目前高考“重視思想方法，注重通法，淡化技巧”的命題原則來看，我們在教學(xué)上要更加重視學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的思想方法上的訓(xùn)練.