“幾何概型”概念教學(xué)的對(duì)比分析

概念基本教學(xué)的方式主要有兩種，一種是概念的同化，即學(xué)習(xí)者利用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的觀念來(lái)理解接納新概念；另一種是概念的形成，即從大量的具體例子出發(fā)，歸納概括出一類(lèi)事物的共同本質(zhì)屬性.對(duì)于認(rèn)知水平較高的學(xué)生，可以用概念的同化方式來(lái)獲得概念，對(duì)于認(rèn)知水平稍低的學(xué)生，用概念的形成可能更加合適.而這兩種概念教學(xué)的方式最終目標(biāo)都是掌握同類(lèi)事物的關(guān)鍵屬性，使學(xué)生在頭腦里建構(gòu)起良好的概念認(rèn)知圖式[1].本文將以“幾何概型”為例，對(duì)這兩種概念教學(xué)方式進(jìn)行分析和對(duì)比，探求“幾何概型”教學(xué)的本質(zhì)所在.

1 “幾何概型”概念教學(xué)設(shè)計(jì)及分析

“幾何概型”是課標(biāo)課程的新增內(nèi)容，是用于計(jì)算等可能事件概率的一種概型，是高中概率模型的重要組成部分，其概念的學(xué)習(xí)在教學(xué)中占據(jù)重要地位.

生：射中圓盤(pán)上的任意一點(diǎn).

師：是否等可能？有幾個(gè)？

生：等可能，有無(wú)限多個(gè).

師：射中圓盤(pán)陰影區(qū)域的事件有多少個(gè)？

生：也是無(wú)數(shù)多個(gè).

師：都是無(wú)數(shù)多個(gè)，怎么辦？

教師呈現(xiàn)圖3，并作如下小結(jié)：在這個(gè)問(wèn)題中，我們把向圓盤(pán)投擲飛鏢的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在平面區(qū)域內(nèi)取點(diǎn)的問(wèn)題，取到每個(gè)點(diǎn)的機(jī)會(huì)都是一樣的，事件A發(fā)生可視為恰好取到陰影區(qū)域中的點(diǎn)，這樣我們就可以用陰影區(qū)域的面積比上總面積得到結(jié)果.事件A發(fā)生的概率只與陰影區(qū)域的面積有關(guān)，面積越大，概率越大，與陰影區(qū)域的位置和形狀無(wú)關(guān).

接著，教師提出問(wèn)題2：取一根長(zhǎng)度為3m的繩子，拉直后（如圖4）在任意位置剪斷，記“剪得的兩段的長(zhǎng)都不小于1m”為事件A，那么事件A發(fā)生的概率是多少？

同樣提問(wèn)：基本事件是什么？是否等可能？有多少個(gè)？如何解決這一問(wèn)題？

生：用長(zhǎng)度比.

教師繼續(xù)提出問(wèn)題3：在一個(gè)邊長(zhǎng)為20cm盛滿水的正方體容器中，一只小蟲(chóng)在容器中游動(dòng)，記“它所在的位置距離正方體中心不超過(guò)10cm”為事件A，那么事件A發(fā)生的概率是多少？

同樣提問(wèn)后，讓學(xué)生自己嘗試求其概率.

最后，教師總結(jié)得出幾何概型的定義，如下：

設(shè)D是一個(gè)可度量的區(qū)域（例如線段、平面圖形、立體圖形等），每個(gè)基本事件可以視為從區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都是一樣，隨機(jī)事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)地某個(gè)指定區(qū)域d中的點(diǎn).這時(shí)，事件A發(fā)生的概率與d的測(cè)度（長(zhǎng)度、面積、體積等）成正比，與d的形狀與位置無(wú)關(guān).我們把滿足這種條件的概率模型稱(chēng)為幾何概型.

教師乙講解三道例題及其對(duì)應(yīng)練習(xí)或變式.其中，例2的一題多解強(qiáng)調(diào)研究對(duì)象的不同導(dǎo)致基本事件不同，選擇的幾何對(duì)象亦不同.例3則突出幾何概型中所選研究對(duì)象必須滿足“等可能發(fā)生”這一基本要求.

1.2 對(duì)比分析

兩位教師都是從學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，結(jié)合學(xué)生的實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，從學(xué)生熟悉的生活事物中找數(shù)學(xué)的應(yīng)用，并先復(fù)習(xí)之前學(xué)習(xí)過(guò)的古典概型，再開(kāi)始講授新課，讓學(xué)生建立起有意義學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，與新課程中“強(qiáng)調(diào)的以學(xué)生的發(fā)展為主，貼近學(xué)生的實(shí)際”理念相符.

1.2.1 概念引入的對(duì)比分析

可以看出，教師甲的教學(xué)設(shè)計(jì)運(yùn)用概念形成的方式，側(cè)重概念的形成過(guò)程.從多個(gè)不同的例子出發(fā)，讓學(xué)生在頭腦中形成對(duì)幾何概型的初步感知，最終歸納得出幾何概型的準(zhǔn)確定義.

教師乙僅用兩個(gè)與幾何概型相關(guān)的問(wèn)題作為引入，過(guò)程中沒(méi)有過(guò)多強(qiáng)調(diào)對(duì)引例與古典概型的本質(zhì)區(qū)別.筆者認(rèn)為這種教學(xué)方式屬于概念同化，教師先給出幾何概型的定義后，在后續(xù)的例題辨析這一概念的本質(zhì)屬性，逐步深化學(xué)生對(duì)這一概念的理解.

兩種概念的引入方式并無(wú)優(yōu)劣之分.對(duì)于這兩堂課所教的學(xué)生來(lái)說(shuō)，由于學(xué)生的認(rèn)知水平較高，因此，兩種方式都適用，學(xué)生也能較好掌握.但對(duì)于層次稍低的學(xué)生而言，教師甲的引入方式應(yīng)該更容易讓學(xué)生接受，更有利于學(xué)生有效內(nèi)化所學(xué)知識(shí).

1.2.2 概念定義方式的對(duì)比分析

筆者發(fā)現(xiàn)兩位教師給出的幾何概型的定義有所不同，教師甲是用高等數(shù)學(xué)中的“測(cè)度”來(lái)定義幾何概型，而教師乙則是按照人教版教科書(shū)中的定義.由于授課班級(jí)學(xué)生水平較好，因此教師甲的定義方式學(xué)生能充分理解，而且用測(cè)度的定義更加準(zhǔn)確.

例如，兩位教師都出現(xiàn)了教師乙中例3的題目，該題與教材定義中所講的“長(zhǎng)度、面積、體積”無(wú)關(guān)，而與角度有關(guān)，但此題的確屬于幾何概型，如果根據(jù)課本中的定義，那么學(xué)生的思維就被局限，若采用“測(cè)度”來(lái)定義幾何概型，學(xué)生可以更好理解本質(zhì)內(nèi)涵，而不是僅僅知道可用長(zhǎng)度、面積、體積來(lái)表示.

1.2.3 概率計(jì)算公式合理性驗(yàn)證的對(duì)比分析

在給出幾何概型的概率計(jì)算公式后，教師甲利用了Excel軟件對(duì)該公式所求得的概率的準(zhǔn)確性進(jìn)行了多次試驗(yàn)，并得到驗(yàn)證；教師乙則沒(méi)有采取驗(yàn)證準(zhǔn)確性這一做法.

由于概率是由無(wú)數(shù)多次試驗(yàn)所得結(jié)果的頻率估計(jì)得到的，而現(xiàn)實(shí)中卻不存在“無(wú)數(shù)次試驗(yàn)”的情況，因此，學(xué)生對(duì)該概率計(jì)算公式的合理性抱有一定的懷疑態(tài)度.學(xué)生心中若對(duì)這個(gè)公式的合理性產(chǎn)生疑慮，那必然導(dǎo)致學(xué)生不能真正接受這一知識(shí)，無(wú)法完成對(duì)知識(shí)的建構(gòu).就算學(xué)生接受了這一知識(shí)，也只是機(jī)械地習(xí)得這一概念，并不能充分了解其內(nèi)涵.

因此，筆者認(rèn)為，在概率的教學(xué)中，向?qū)W生說(shuō)明概率計(jì)算公式的合理性十分必要.考慮到課堂時(shí)間有限，不可能像數(shù)學(xué)家們一樣做無(wú)數(shù)次試驗(yàn)，因此，教師可以結(jié)合計(jì)算機(jī)，用產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的方法來(lái)驗(yàn)證這一結(jié)論的合理性.讓學(xué)生知其然亦知其所以然，真正地接納知識(shí)，建構(gòu)屬于自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

2 幾點(diǎn)啟示

2.1 根據(jù)學(xué)情，選用合適的概念教學(xué)方式

概念課的教學(xué)一般有概念的同化和概念的形成兩種教學(xué)方式，采用何種教學(xué)方式與學(xué)生的實(shí)際情況密切相關(guān).教師在進(jìn)行概念課的教學(xué)時(shí)，應(yīng)從學(xué)生的認(rèn)知水平和已有的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，根據(jù)不同的學(xué)生采用不同的引入方式，力求符合該年齡認(rèn)知發(fā)展階段或者某個(gè)認(rèn)知水平下要求.最終目的是為了盡量讓每個(gè)學(xué)生通過(guò)教師的引導(dǎo)能夠掌握同類(lèi)事物的關(guān)鍵屬性，在頭腦里建構(gòu)起良好的概念認(rèn)知圖式，最終形成良好的概念體系.

是否

2.2 打開(kāi)心理缺口，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)

根據(jù)試誤學(xué)習(xí)理論中的“準(zhǔn)備律”，在新知引入當(dāng)中，創(chuàng)設(shè)情境，引出讓學(xué)生在原有認(rèn)知的基礎(chǔ)上沒(méi)有辦法解決的問(wèn)題.能夠讓學(xué)生在動(dòng)機(jī)上做好準(zhǔn)備，對(duì)所學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生興趣，使學(xué)生在學(xué)習(xí)前處于對(duì)知識(shí)的“饑餓狀態(tài)”，產(chǎn)生一個(gè)心理“缺口”，從而激發(fā)學(xué)生產(chǎn)生彌合心理缺口的學(xué)習(xí)動(dòng)力[3].

另外，這樣的做法也能讓學(xué)生明白為什么要學(xué)習(xí)該知識(shí)，引出學(xué)習(xí)該知識(shí)的必要性.本文中兩位教師均從學(xué)生現(xiàn)階段無(wú)法解決的問(wèn)題出發(fā)，引出本節(jié)的所學(xué)內(nèi)容，打開(kāi)學(xué)生心理缺口，讓學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)失衡，再在新知的學(xué)習(xí)中重新獲得平衡，以此便形成了學(xué)生頭腦中新的知識(shí)結(jié)構(gòu).

2.3 將工具性理性提升至關(guān)系性理解

新概念教授時(shí)，除了剖析清楚概念本身所代表的含義之外，還需要理解獲取概念中符號(hào)代表意義的途徑，以及概念本身有效性的邏輯依據(jù)等.前者屬于工具性理解，后者屬于關(guān)系性理解，教學(xué)時(shí)應(yīng)從多個(gè)方面引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念的理解從工具性理解提升至關(guān)系性理解[2].

如本課中，利用計(jì)算機(jī)技術(shù)驗(yàn)證幾何概型概率計(jì)算方法的合理性，揭示該概念與知識(shí)的聯(lián)系，使學(xué)生了解新概念形成獲得的過(guò)程.這就有助于學(xué)生形成對(duì)概念的關(guān)系性理解.形成關(guān)系性理解，有助于學(xué)生建立起高質(zhì)量的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升解決綜合性問(wèn)題的能力.因此，關(guān)鍵還是形成學(xué)生對(duì)知識(shí)的關(guān)系性理解，這才是數(shù)學(xué)理解所追求的.