化歸與轉(zhuǎn)化思想的數(shù)學(xué)能力統(tǒng)領(lǐng)功能探析

所謂的化歸與轉(zhuǎn)化思想，是指在研究或解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，借助觀察、聯(lián)想、分析、類比等思維方式，將問(wèn)題變換歸結(jié)為已經(jīng)解決或者比較容易解決的問(wèn)題，進(jìn)而使原問(wèn)題得到解決的一種解題策略.

運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想求解問(wèn)題時(shí)，必須依托對(duì)問(wèn)題的條件和結(jié)論所進(jìn)行的觀察、分析，發(fā)現(xiàn)二者的聯(lián)系，進(jìn)而合理地將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為其它可以解決的問(wèn)題，并最終解決原問(wèn)題.顯而易見，這一過(guò)程必須以較高的數(shù)學(xué)思維能力、敏銳的數(shù)學(xué)判斷能力以及全面的數(shù)學(xué)知識(shí)遷移能力為基礎(chǔ)的.這無(wú)疑意味著，化歸與轉(zhuǎn)化思想的合理與正確運(yùn)用是以“空間想像能力”、“抽象概括能力”、“推理論證能力”、“運(yùn)算求解能力”、“數(shù)據(jù)處理能力”、“應(yīng)用意識(shí)”以及“創(chuàng)新意識(shí)”等數(shù)學(xué)能力的合理與正確運(yùn)用為基礎(chǔ)的.

換言之，化歸與轉(zhuǎn)化思想當(dāng)可視為上述各種數(shù)學(xué)能力的“統(tǒng)領(lǐng)者”，其運(yùn)用當(dāng)可作為上述各種數(shù)學(xué)能力運(yùn)用的 “共生體”.

1 化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能有效涵蓋空間想象能力的運(yùn)用

在求解立體幾何問(wèn)題時(shí)，無(wú)論圖形是否已經(jīng)給出，解題者都必須根據(jù)已知條件，通過(guò)想像將文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，進(jìn)而在大腦中得到圖形中的幾何元素的正確位置關(guān)系及彼此之間存在的數(shù)量關(guān)系，并據(jù)此對(duì)圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q.這一過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)學(xué)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)與形、形與形的相互轉(zhuǎn)化，因而能夠同時(shí)有效地體現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化思想和空間想像能力的運(yùn)用.

應(yīng)該注意到，這些轉(zhuǎn)化過(guò)程沒(méi)有較高的空間想像能力是難以進(jìn)行的，而依據(jù)題意對(duì)圖形進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，正是空間想像能力的高層次表現(xiàn).

2 化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能有效涵蓋抽象概括能力的運(yùn)用

抽象概括能力就是從具體的、生動(dòng)的實(shí)例，在抽象概括的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象的本質(zhì)；從給定的大量信息材料中，概括出一些結(jié)論，并能應(yīng)用于解決問(wèn)題或作出新的判斷.它包含對(duì)數(shù)學(xué)模式和方法的概括能力，以及從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中概括出具體的數(shù)學(xué)模型的能力.

本題求解所需的主要思維方式是探索性思維，化一般為特殊，進(jìn)而在動(dòng)手操作的過(guò)程中尋找規(guī)律，其思路的隱蔽性很高，考查了考生的直覺(jué)思維和邏輯思維，體現(xiàn)了從一般到特殊、從抽象到具體的思維過(guò)程，也同時(shí)體現(xiàn)了考生推理論證能力的水平.

4 化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能有效涵蓋運(yùn)算求解能力的運(yùn)用

運(yùn)算求解能力的運(yùn)用，主要體現(xiàn)在運(yùn)算方法的合理性、運(yùn)算過(guò)程的簡(jiǎn)捷性和運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確性等方面上，這就使得運(yùn)算求解能力的運(yùn)用必然伴隨著數(shù)與形關(guān)系的發(fā)現(xiàn)、函數(shù)與方程聯(lián)系的挖掘、以及恰當(dāng)變形方向的確定.而這也就意味著運(yùn)算求解能力的運(yùn)用必然和化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用相伴隨.

若能注意到f（ x ）有零點(diǎn)1和？1，則由其圖象關(guān)于直線x =？2對(duì)稱，可知另兩個(gè)零點(diǎn)必為？3和？5，從而f（ x ） =？（x+1）（x？1）（x+3）（x+5）.

在求函數(shù)f（ x ）的最大值時(shí)，常規(guī)的工具是直接對(duì)函數(shù)f（ x ）求導(dǎo)，但于本題而言，此法難行，原因在于如此得出的方程f′（ x ）=0很難求解.

本題充分體現(xiàn)了多思少算的解題策略，不僅可以考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，而且可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維，在解題過(guò)程中運(yùn)用了特殊化、平移、等價(jià)轉(zhuǎn)化等策略，從而縮短運(yùn)算過(guò)程或改變運(yùn)算方式，使復(fù)雜的運(yùn)算問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，達(dá)到多思少算的良好效果.這解題過(guò)程都需要解題者在腦海中思考并搜索平時(shí)所學(xué)的知識(shí)方法尋找最可行、最有效的運(yùn)算途徑，求解結(jié)果正確與否無(wú)疑與解題者運(yùn)算求解能力的高低、化歸與轉(zhuǎn)化思想理解程度的高低成正相關(guān)關(guān)系.

5 化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能有效涵蓋數(shù)據(jù)處理能力的運(yùn)用

數(shù)據(jù)處理能力包含“會(huì)收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，能從大量數(shù)據(jù)中抽取對(duì)研究問(wèn)題有用的信息，并作出判斷.”這種能力體現(xiàn)了從特殊到一般，具體到抽象、或然到必然的轉(zhuǎn)化過(guò)程，還蘊(yùn)含著對(duì)數(shù)學(xué)模型的判斷和擬合的化歸過(guò)程.

例5（2012年高考新課標(biāo)全國(guó)卷·理18）某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理.

（I）看花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)y （單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：枝，n∈N）的函數(shù)解析式.

（Ⅱ）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.

（?。┤艋ǖ暌惶熨?gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，x表示當(dāng)天的利潤(rùn)（單位：元），求x的分布列，數(shù)學(xué)期望及方差；

（ⅱ）若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？

評(píng)析 本題以具有現(xiàn)實(shí)性的問(wèn)題情境為背景，平和地將分段函數(shù)與概率知識(shí)的交匯在一起.解題時(shí)必須能夠洞察具體的數(shù)據(jù)之中所蘊(yùn)含的信息，并將其轉(zhuǎn)化為解決問(wèn)題的工具.顯見，這種“感知數(shù)據(jù)”、“認(rèn)識(shí)數(shù)據(jù)”、“探索與發(fā)現(xiàn)規(guī)律”的過(guò)程，不僅可以體現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化思想在概率與統(tǒng)計(jì)中的實(shí)際應(yīng)用，還同時(shí)體現(xiàn)解題者數(shù)據(jù)處理能力的高低.

6 化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能有效涵蓋應(yīng)用意識(shí)的運(yùn)用

應(yīng)用意識(shí)的主要體現(xiàn)是依據(jù)現(xiàn)實(shí)的生活背景，提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并加以解決.這里隱含著將普通語(yǔ)言理解、抽象并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言的能力，及將應(yīng)用問(wèn)題化歸為某個(gè)數(shù)學(xué)模型并解決問(wèn)題的能力.

（Ⅱ）該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d（單位：m），使α與β之差較大，可以提高測(cè)量精確度.若電視塔的實(shí)際高度為125m，試問(wèn)d為多少時(shí)，αβ？最大？

評(píng)析 本題是解三角形、不等式等知識(shí)的交匯，且在應(yīng)用題的背景下，需要解題者自行建立模型，并正確發(fā)掘等量關(guān)系，進(jìn)而合理實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的化歸.

應(yīng)該注意到，如若利用直角三角形建立平面直角坐標(biāo)系，進(jìn)而運(yùn)用解析幾何的方法也可完成此題，且方法并不單一.顯然，這有助于解題者明了，在現(xiàn)實(shí)生活中，真正的應(yīng)用問(wèn)題正是各種數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用，而不是單一的某一數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用.數(shù)學(xué)化意識(shí)是未來(lái)公民必備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng).

7 化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用能有效涵蓋創(chuàng)新意識(shí)的運(yùn)用

“創(chuàng)新意識(shí)是理性思維的高層次表現(xiàn).”“能發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，綜合與靈活地應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法，選擇有效的方法和手段分析信息，進(jìn)行獨(dú)立的思考、探索和研究，提出解決問(wèn)題的思路，創(chuàng)造性地解決問(wèn)題.”“對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移、組合、融會(huì)的程度越高，顯示出的創(chuàng)新意識(shí)也就越強(qiáng).”應(yīng)該認(rèn)為，其中的“遷移、組合、融會(huì)”就是化歸與轉(zhuǎn)化思想的深層次體現(xiàn).

評(píng)析 本題以近世代數(shù)中的“保序同構(gòu)”為背景，考查考生閱讀理解、提取相關(guān)信息以解決新情境的能力.考生要理解“保序”即符合單調(diào)遞增，“同構(gòu)”是滿足滿射（即一一映射），結(jié)合平時(shí)的經(jīng)驗(yàn)，或列舉出滿足條件的具體函數(shù)，或只需根據(jù)兩個(gè)集合的條件，將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何直觀圖形即可使問(wèn)題迎刃而解.

本題建立在高等數(shù)學(xué)的背景下，但考生卻無(wú)需利用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)（可列、稠密等概念），需要的是考生能從已知條件中抽取出問(wèn)題的本質(zhì)，理解“保序同構(gòu)”的概念，進(jìn)而結(jié)合自身已有的知識(shí)儲(chǔ)備，為選項(xiàng)尋找相對(duì)應(yīng)的函數(shù).對(duì)考生自學(xué)能力的要求較高，考生需具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才可完成求解，從分析到解決問(wèn)題，沒(méi)有規(guī)定的模式，完全由學(xué)生獨(dú)立完成.是解題者化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用層次的不斷提升，也同時(shí)是解題者將知識(shí)遷移到不同情境中去的能力、解題者個(gè)體理性思維的廣度和深度、以及學(xué)習(xí)潛能的有效體現(xiàn).

作為結(jié)束，有必要再次提及：由于沒(méi)有高水平的數(shù)學(xué)能力就無(wú)法正確而有效地進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化，而化歸與轉(zhuǎn)化思想的靈活運(yùn)用又是有較高數(shù)學(xué)能力的有效體現(xiàn)，這就必然地使得對(duì)化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用將始終地被以“能力提升”為基本追求的課標(biāo)課程所關(guān)注、所重視！

基于這樣的理解，以 “空間想像能力”、“抽象概括能力”、“推理論證能力”、“運(yùn)算求解能力”、“數(shù)據(jù)處理能力”、“應(yīng)用意識(shí)”以及“創(chuàng)新意識(shí)”等數(shù)學(xué)能力為視角，審視化歸與轉(zhuǎn)化思想的統(tǒng)領(lǐng)功能，并將這種統(tǒng)領(lǐng)功能切實(shí)的體現(xiàn)于日常的教學(xué)之中，其意義與價(jià)值應(yīng)該是顯見的.