不同支撐方式的滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)靜/動剛度分析＊

馮裕海 蘇 芳 趙 聰 王晨升

（①山西大同大學(xué)煤炭工程學(xué)院，山西 大同 037003；山西大同大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，山西 大同 037003；山西大同大學(xué)建筑與測繪工程學(xué)院，山西 大同 037003）

滾珠絲杠傳動系統(tǒng)因其精度高、傳動扭矩小、效率高和穩(wěn)定性能好等特性，在數(shù)控機(jī)床線性進(jìn)給系統(tǒng)中發(fā)揮巨大優(yōu)勢。為適應(yīng)復(fù)雜結(jié)構(gòu)零件加工需求急劇增加的趨勢，高檔數(shù)控機(jī)床的精度和效率急需進(jìn)一步提升，進(jìn)而要求進(jìn)給系統(tǒng)在高速、高加速工況下，保持高的運(yùn)動精度和穩(wěn)定性[1-3]。靜/動剛度對滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)運(yùn)動精度和穩(wěn)定性有重要影響[4-5]。

結(jié)構(gòu)在靜載荷作用下變形情況可反映其靜剛度，結(jié)構(gòu)固有頻率反映其動剛度。合理匹配靜剛度，可使進(jìn)給系統(tǒng)在磨損、誤差、穩(wěn)定性和使用壽命中實現(xiàn)平衡。較高的動剛度可有效降低振動和噪音，減小進(jìn)給系統(tǒng)動態(tài)誤差。史盼盼[6]開展了進(jìn)給系統(tǒng)間耦合剛度建模和靜剛度匹配設(shè)計研究，并利用有限元仿真驗證了結(jié)果正確性。陳勇將等[7]建立了非均勻載荷分布的滾珠絲杠靜接觸剛度模型，分析了接觸角和接觸力的分布不均勻性對軸向靜接觸剛度的影響。楊俊杰等[8]考慮速度、加速度對載荷的影響，建立了滾珠絲杠副軸向動態(tài)接觸變形模型，開展工況和參數(shù)對其影響的研究。楊小娟等[9]從滾珠絲杠副安裝方式和維護(hù)、絲杠選型、計算和校驗等方面進(jìn)行論述，系統(tǒng)地介紹了滾珠絲杠副的選用方法。吳沁等[10]采用粒子群遺傳混合算法識別出滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)軸向動態(tài)特性參數(shù)。徐曉華等[11]對兩種常用絲杠支承系統(tǒng)的絲杠-軸承進(jìn)行整體描述和綜合分析。蘇芳等[12]構(gòu)建了滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的機(jī)電耦合動力學(xué)仿真模型，分析了慣量比對系統(tǒng)動態(tài)誤差的影響規(guī)律。王晨升等[13]研究了工件質(zhì)量及放置位置對滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)動態(tài)特性的影響規(guī)律。Stoica A[14]研究了滾珠絲杠剛度對裝有間接式測量系統(tǒng)的數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)定位精度的影響。Wang K 等[15]基于預(yù)緊力與摩擦力矩的相關(guān)性，建立接觸剛度模型研究預(yù)緊滾珠絲杠的靜剛度波動。

綜上所述，國內(nèi)外學(xué)者將滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)靜/動剛度及動態(tài)特性作為科研熱點且研究從未停歇，但值得注意的是在實際加工過程中，支撐方式的不同對滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)靜/動剛度特性有重要影響，靜/動剛度又是衡量進(jìn)給系統(tǒng)傳動中各構(gòu)件是否具有良好的抗彎曲扭轉(zhuǎn)變形能力，對加工工件的質(zhì)量和機(jī)床壽命有重要影響，因此急需對其深入研究，本文對比研究兩種不同支撐方式的滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)靜/動剛度特性。一種為滾珠絲杠兩端軸承固定；另一種為滾珠絲杠電機(jī)端軸承固定，遠(yuǎn)離電機(jī)端軸承浮動。若能通過對比進(jìn)行驗證，對提高滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的加工精度與效率有重要作用。

1 動力學(xué)建模

系統(tǒng)將聯(lián)軸器作為永磁同步電機(jī)與絲杠的傳動媒介。絲杠螺母副將絲杠轉(zhuǎn)動位移轉(zhuǎn)換為螺母軸向位移使得運(yùn)動部件完成軸向進(jìn)給工作。滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)核心部件有電機(jī)、端部軸承、工作臺、絲杠、螺母副和鋼導(dǎo)軌。

建立滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)動力學(xué)模型，需將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)研究與實踐經(jīng)驗相結(jié)合，考慮各構(gòu)件對進(jìn)給系統(tǒng)工作時整體運(yùn)動精度的影響，將軸承、絲杠-螺母、聯(lián)軸器和導(dǎo)軌-滑塊動結(jié)合部視為無質(zhì)量彈簧單元；根據(jù)絲杠螺母位置將絲杠等效為3 個質(zhì)量塊，其中絲杠與螺母接觸并軸向移動部位視為一個質(zhì)量塊，另兩個質(zhì)量塊的變化由絲杠螺母位移決定，3 個質(zhì)量塊通過無質(zhì)量彈簧單元連接；由于工作臺結(jié)構(gòu)簡單質(zhì)量大，將工作臺視為剛體。此建模方法可在保證模型精度的前提下盡可能簡化結(jié)構(gòu)提高效率，進(jìn)給系統(tǒng)簡化模型如圖1 所示。

圖1 滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)簡化模型等效

當(dāng)兩端軸承同時固定時，兩軸承均有徑向載荷與軸向載荷，裝配圖如圖2 所示；當(dāng)電機(jī)端軸承固定時，軸承有徑向載荷與軸向載荷，遠(yuǎn)離電機(jī)端軸承浮動且軸向載荷與剛度為零，裝配圖如圖3 所示。

圖2 兩端固定支撐進(jìn)給系統(tǒng)裝配圖

以拉格朗日方程為理論基礎(chǔ)，采用集中參數(shù)法進(jìn)行系統(tǒng)機(jī)械結(jié)構(gòu)動力學(xué)建模。

（1）系統(tǒng)動能

將絲杠分為左段絲杠、中間絲杠以及右段絲杠三部分，三者動能之和為絲杠總動能，由絲杠總動能和工作臺動能得到系統(tǒng)總動能。系統(tǒng)總動能為

式中：T為系統(tǒng)總動能；Ti為結(jié)構(gòu)件i動能。

左段絲杠動能：

式中：ms1是左段絲杠的質(zhì)量矩陣，ms1=diag(ms1,ms1,ms1)；xs1是左段絲杠的線位移，xs1=(xs1x,xs1y,xs1z)；Js1是左端絲杠的轉(zhuǎn)動慣量，Js1=diag(Js1x,Js1y,Js1z)；θs1是左段絲杠的角位移，θs1=(θs1x,θs1y,θs1z)。

中間絲杠動能：

式中：ms2是左段絲杠的質(zhì)量矩陣，ms2=diag(ms2,ms2,ms2)；xs2是左段絲杠的線位移，xs2=(xs2x,xs2y,xs2z)；Js2是左端絲杠的轉(zhuǎn)動慣量，Js2=diag(Js2x,Js2y,Js2z)；θs2是左段絲杠的角位移，θs2=(θs2x,θs2y,θs2z)。

右段絲杠動能：

式中：ms3是左段絲杠的質(zhì)量矩陣，ms3=diag(ms3,ms3,ms3)；xs3是左段絲杠的線位移，xs3=(xs3x,xs3y,xs3z)；Js3是左端絲杠的轉(zhuǎn)動慣量，Js3=diag(Js3x,Js3y,Js3z)；θs3是左段絲杠的角位移，θs3=(θs3x,θs3y,θs3z)。

工作臺的動能：

式中：mt是左段絲杠的質(zhì)量矩陣，mt=diag(mt,mt,mt)；xt是左段絲杠的線位移，xt=(xtx,xty,xtz)；Jt是左端絲杠的轉(zhuǎn)動慣量，Jt=diag(Jtx,Jty,Jtz)；θt是左段絲杠的角位移，θt=(θtx,θty,θtz)。

綜上，系統(tǒng)總動能為

（2）系統(tǒng)勢能

由絲杠主體分為三部分，所以要計算左段絲杠勢能、右段絲杠勢能與絲杠螺母接觸的中間絲杠勢能，還需計算傳動部位和工作臺的勢能。

式中：V為系統(tǒng)總勢能；Vi為結(jié)構(gòu)件i勢能。

左段絲杠勢能：

式中：Kc是聯(lián)軸器扭轉(zhuǎn)剛度；θm是電機(jī)軸角位移；Kb1是軸承1 線剛度，Kb1=(Kb1x,Kb1y,Kb1z)；Kbb1是軸承1 扭轉(zhuǎn)剛度轉(zhuǎn)動剛度，Kbb1=(Kbb1x,Kbb1y,Kbb1z)；Ks1是左段絲杠的線剛度，Ks1=(Ks1x,Ks1y,Ks1z)；Kss1是左段絲杠的角剛度，Kss1=(Kss1x,Kss1y,Kss1z)。

中間絲杠勢能：

式中：Kn是絲杠-螺母副線剛度，Kn=(Knx,Kny,Knz)；Knn是絲杠-螺母副角剛度，Knn=(Knnx,Knny,Knnz)；Ks2是右段絲杠的線剛度，Ks2=(Ks2x,Ks2y,Ks2z)；Kss2是分段滾珠右段絲杠角剛度，Kss2=(Kss2x,Kss2y,Kss2z)；Ph是絲杠導(dǎo)程；Q是軸向角位移矩陣[θs2x,0,0]。

右段絲杠勢能：

式中：Kb2是軸承2 線剛度，Kb2=(Kb2x,Kb2y,Kb2z)；Kbb2是軸承2 角剛度，Kbb2=(Kbb2x,Kbb2y,Kbb2z)。

工作臺勢能：

式中：Kt是導(dǎo)軌滑塊副線位移剛度，Kt=(Ktx,Kty,Ktz)；Ktt是導(dǎo)軌–滑塊副角剛度，Ktt=(Kttx,Ktty,Kttz)。

式中：xtxi、xtyi、xtzi表示在工作臺重心坐標(biāo)系中導(dǎo)軌滑塊各向坐標(biāo)值，由工作臺表面參數(shù)與絲杠螺母副至工作臺臺面中心點之距決定。改變工件質(zhì)量與放置位置會改變工作臺重心位置，進(jìn)而影響連體坐標(biāo)系原點位置并導(dǎo)致系統(tǒng)位移變化。

當(dāng)滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)為兩端固定支撐方式時：軸承1、2 軸向剛度相同即Kb1x=Kb2x；當(dāng)滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)為一端固定一端浮動支撐方式時：軸承2 軸向剛度為零，即Kb2x=0。

（3）絲杠等效剛度計算

由于滾珠絲杠被分為三部分無耦合單元，不考慮各向變形耦合情況下基于材料力學(xué)公式計算等效剛度。

絲杠各向線剛度和角剛度分別為

式中：E為材料彈性模量；I為慣性矩；G為剪切模量；l為各段絲杠長度。

根據(jù)拉格朗日方程，系統(tǒng)總動能、總勢能的關(guān)系為

忽略阻尼后系統(tǒng)動力學(xué)方程為

式中：M為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣；q為系統(tǒng)位移矩陣[xti,θti] ；K為系統(tǒng)剛度矩陣。

基于此建模方法，確定絲杠等效質(zhì)量并計算等效剛度可有效提高絲杠運(yùn)動時的準(zhǔn)確度，減少誤差的同時提高建模效率。

2 靜剛度對比分析

為驗證所建進(jìn)給系統(tǒng)動力學(xué)模型精度，并開展靜剛度對比分析，利用商用有限元軟件建立滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)有限元模型，開展不同支撐方式的滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)靜剛度對比分析。通過SolidWorks 建立滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)簡化模型三維模型，轉(zhuǎn)換為x_t 格式，并導(dǎo)入Workbench 中。設(shè)定滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)材料為結(jié)構(gòu)鋼，使用自動劃分法對所建的模型進(jìn)行網(wǎng)格分割，在運(yùn)動副連接處用Bushing 單元模擬，在工作臺中心位置施加單位軸向載荷。

滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)各零部件參數(shù)見表1，結(jié)合部剛度參數(shù)見表2，支撐方式為兩端固定時，系統(tǒng)模型軸向靜剛度與仿真對比結(jié)果如圖4 所示，計算結(jié)果對比見表3，仿真結(jié)果如圖5 所示。支撐方式為一端固定一端浮動時，遠(yuǎn)離電機(jī)端的軸承軸向剛度為0，系統(tǒng)模型軸向靜剛度與仿真對比結(jié)果如圖6所示，計算結(jié)果對比見表4，仿真結(jié)果如圖7 所示。

表1 進(jìn)給系統(tǒng)各零部件參數(shù)

表3 兩端固定支撐系統(tǒng)軸向靜剛度計算結(jié)果對比

表4 一端固定一端浮動支撐系統(tǒng)軸向靜剛度計算結(jié)果對比

圖4 兩端固定支撐系統(tǒng)軸向靜剛度

圖6 一端固定一端浮動支撐系統(tǒng)軸向靜剛度

圖7 一端固定一端浮動支撐軸向靜剛度仿真結(jié)果

結(jié)果表明：對于兩端軸承固定的支撐形式，螺母在遠(yuǎn)離電機(jī)的行程中，軸向靜剛度先減小后增大，中間位置軸向靜剛度最?。粚τ谳S承一端固定一端浮動的支撐形式，螺母離電機(jī)越遠(yuǎn)，軸向靜剛度越低。

3 動剛度對比分析

本節(jié)對比研究工件質(zhì)量與放置位置一致時，不同支撐方式進(jìn)給系統(tǒng)動剛度，以系統(tǒng)首階固有頻率為表征。本文研究對象的系統(tǒng)首階固有頻率為軸向動剛度?；谏鲜鏊鶚?gòu)建滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)動力學(xué)模型，計算滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)固有頻率，并通過有限元分析軟件進(jìn)行驗證，完成不同支撐方式滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)模態(tài)分析。不同支撐方式數(shù)值模型與有限元仿真模型的系統(tǒng)首階固有頻率計算結(jié)果對比見表5 和表6，仿真模型如圖8 和圖9 所示。

表5 兩端固定支撐系統(tǒng)首階固有頻率

表6 一端固定一端浮動支撐系統(tǒng)首階固有頻率

圖8 兩端固定支撐固有頻率仿真結(jié)果

圖9 一端固定一端浮動支撐固有頻率仿真結(jié)果

模型計算值及仿真值對比如圖10 和圖11 所示，支撐方式為兩端固定時，滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)首階固有頻率隨行程的增加先降低后增高，行程中間位置固有頻率最低。當(dāng)支撐方式為一端固定一端浮動時，滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)首階固有頻率隨行程的增加而降低。

圖10 兩端固定支撐系統(tǒng)首階固有頻率

圖11 一端固定一端浮動支撐系統(tǒng)首階固有頻率

4 動剛度對工件質(zhì)量和位置敏感性分析

4.1 動剛度對工件質(zhì)量的敏感性分析

基于上述所建立滾珠絲杠系統(tǒng)動力學(xué)模型，將絲杠螺母副位置固定在距電機(jī)1.25 m 處，將工件置于工作臺中心并改變其質(zhì)量（0～200 kg）。不同支撐方式滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)工件質(zhì)量對固有頻率影響，如圖12 所示。

圖12 工件質(zhì)量對不同支撐方式系統(tǒng)固有頻率影響

為判斷兩支撐方式動剛度對工件質(zhì)量的敏感性，設(shè)Δmwi為相對工件質(zhì)量，Δfai、Δfbi為兩支撐方式相對固有頻率，Hai、Hbi為動剛度對工件質(zhì)量的敏感度，不同支撐方式動剛度對工件質(zhì)量的敏感性對比分析見表7 和表8，分別計算其敏感度均值，可知，即兩端固定支撐方式的滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)動剛度對工件質(zhì)量的敏感性相對較高。

表7 兩端固定支撐系統(tǒng)首階固有頻率對工件質(zhì)量的敏感度

表8 一端固定一端浮動支撐系統(tǒng)首階固有頻率對工件質(zhì)量的敏感度分析

4.2 動剛度對工件位置敏感性對比分析

如圖13 所示，將邊長為354 mm 質(zhì)量為200 kg的正方體鈦合金工件與工作臺5 個位置分別配合，轉(zhuǎn)為x_t 格式輸入有限元分析軟件中并將接觸面以Bushing 彈簧連接，改變工件放置位置導(dǎo)致滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)運(yùn)動部件重心位置發(fā)生變化。

圖13 工件質(zhì)量及位置對工作臺重心位置影響

工作臺重心可通過表示為

式中：a、b表示工件與工作臺位置關(guān)系；c為工件邊長；mw、mt分別為工件質(zhì)量、工作臺質(zhì)量；Qw、Qc分別為工件重心、工作臺臺面中心；Qt、Q為工作臺放置工件前后的重心。

工作臺轉(zhuǎn)動慣量可表示為

放置工件后滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)各結(jié)合部坐標(biāo)為

將式（20）、式（21）代入滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)動力學(xué)模型并分析其動態(tài)特性。不同支撐方式系統(tǒng)中改變工件放置位置系統(tǒng)首階固有頻率仿真結(jié)果見表9。設(shè)兩端固定支撐方式系統(tǒng)固有頻率為Fai，則系統(tǒng)動剛度對工件放置位置的敏感度為La=Fa(max)-Fa(min)=0.252；設(shè)一端固定一端浮動支撐方式系統(tǒng)固有頻率為Fbi，則系統(tǒng)動剛度對工件放置位置的敏感度為Lb=Fb(max)-Fb(min)=0.107。由La﹥Lb，可知兩端固定支撐方式的滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)動剛度對工件放置位置的敏感性相對較高。

表9 不同支撐方式系統(tǒng)首階固有頻率對工件位置的敏感性分析

5 結(jié)語

在加工過程中，滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的性能從基礎(chǔ)上保證了機(jī)床工作精度和穩(wěn)定性。考慮實際應(yīng)用中，滾珠絲杠的支撐方式并不相同，本文以兩端固定和一端固定一端浮動支撐方式的滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)為研究對象，采用集中參數(shù)法分別建立其動力學(xué)模型，開展靜/動剛度對比分析研究。靜剛度對比分析結(jié)果顯示：兩端軸承固定時，螺母離電機(jī)越遠(yuǎn)，系統(tǒng)軸向靜剛度先減小后增大；遠(yuǎn)離電機(jī)端軸承浮動時，螺母離電機(jī)越遠(yuǎn)，系統(tǒng)軸向靜剛度越低。動剛度對比分析結(jié)果顯示：兩端軸承固定時，滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)首階固有頻率隨行程的增加先降低后增高且行程中間位置固有頻率最低；一端固定一端浮動時，滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)首階固有頻率隨行程的增加而降低。

全行程中，兩端固定支撐方式的滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)與一端固定一端浮動支撐方式的滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)相比，其軸向靜剛度較高，首階固有頻率即系統(tǒng)結(jié)構(gòu)軸向動剛度亦相對較高，抗振性能更好，加工性能與穩(wěn)定性較好。同時考慮了工件質(zhì)量與放置位置對系統(tǒng)軸向動剛度的影響，對比分析表明：兩端軸承固定支撐方式的系統(tǒng)在工件質(zhì)量增加與調(diào)換工件放置位置時變化相對顯著，敏感性較高。以上對滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)的配置設(shè)計與實際加工過程中工件的位置安裝與質(zhì)量控制有重要指導(dǎo)意義。