淺談對(duì)稱思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

【摘要】數(shù)學(xué)問題中，對(duì)稱是一類較常見的問題。如數(shù)的對(duì)稱、式的對(duì)稱、圖形的對(duì)稱，而利用對(duì)稱的性質(zhì)來解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題又是數(shù)學(xué)思想方法的重要體現(xiàn)。教學(xué)中常常啟發(fā)學(xué)生用對(duì)稱思想思考數(shù)學(xué)問題，對(duì)增強(qiáng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，啟迪心智，大有裨益。

【關(guān)鍵詞】對(duì)稱思想；數(shù)學(xué)；教學(xué)；解題思想

對(duì)稱是自然界和人類社會(huì)中普遍存在的形式之一，是其運(yùn)動(dòng)、變化和發(fā)展的規(guī)律之一。人們?cè)谡J(rèn)識(shí)和解決具有對(duì)稱或?qū)Φ纫约胺磳?duì)等性的問題過程中產(chǎn)生和形成的思想、方法，我們稱之為對(duì)稱思想方法；數(shù)學(xué)家們用數(shù)學(xué)的思想、方法解決這類問題所產(chǎn)生和形成的思想與方法，我們稱之為數(shù)學(xué)對(duì)稱思想方法。

對(duì)一個(gè)整體，若存在可互換的諸部分，在數(shù)學(xué)上稱為“對(duì)稱”。

用“對(duì)稱”的原理去解決某些數(shù)學(xué)問題稱為“對(duì)稱的思想方法”。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，主要有四種對(duì)稱形式：①關(guān)于某個(gè)點(diǎn)的中心對(duì)稱；②關(guān)于某條直線的軸對(duì)稱；③關(guān)于某個(gè)平面的平面對(duì)稱；④多項(xiàng)式對(duì)稱?，F(xiàn)在的各類考試中經(jīng)常有這類的求解，下面筆者結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)際，談?wù)剬?duì)稱的思想方法在數(shù)學(xué)解題中的一些具體應(yīng)用。

一、求已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的問題

⑴點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于點(diǎn)（a，b）的對(duì)稱點(diǎn)P'（x'，y'），可由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得：

⑵點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)P'（x'，y'），可由PP'及PP'的中點(diǎn)在直線上，得到關(guān)于x'，y'的方程組：

由此解得：

特別地，點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于①x軸和y軸的對(duì)稱點(diǎn)分別是P'（x0，-y0）和P'（-x0，y0）；②關(guān)于直線x=a和y=a的對(duì)稱點(diǎn)分別是P'（2a-x0，y0）和P'（x0，2a-y0）；③關(guān)于直線y=x和y=-x的對(duì)稱點(diǎn)分別是P'（y0，x0）和P'（-y0，-x0）。熟記這些結(jié)論，可以簡化運(yùn)算，提高解題速度。

例1：已知長方形的四個(gè)頂點(diǎn)A（0，0）、B（2，0）、c（2，1）、D（0，1），一質(zhì)點(diǎn)從AB的中點(diǎn)P0沿與AB夾角為的方向射到BC上的點(diǎn)P1后，依次反射到CD、DA、和AB上的點(diǎn)P2、P3和P4（入射角等于反射角）。設(shè)P4的坐標(biāo)為（x4，0），若1

分析：借助對(duì)稱進(jìn)行轉(zhuǎn)化，兼用一般化與特殊法。注意到當(dāng)P4點(diǎn)P0與重合時(shí)，則點(diǎn)P3、P2、P1應(yīng)為DA、CD、BC的中點(diǎn)，此時(shí)，點(diǎn)P1的坐標(biāo)為，則，所以，選項(xiàng)中只有（C）符合條件，所以選（C）。

反思：依據(jù)單選題的特點(diǎn)，將點(diǎn)P4特殊化為P0（1，0），將P0鏡面反射回到P0，由此得到tan取值區(qū)間的右端點(diǎn)為，四個(gè)選項(xiàng)中只有C有此端點(diǎn)，所以選（C）

例2：原點(diǎn)關(guān)于直線8x+6y=25的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）。

分析：設(shè)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），其兩點(diǎn)連線的斜率與直線8x+6y=25斜率互為負(fù)倒數(shù)

解一：只需解方程組：

解得：

故對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），所以選（D）。

解二：用點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)公式，得：

即對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，3），所以應(yīng)選（D）。

二、求二次曲線上點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的問題

二次曲線的弦的兩端點(diǎn)是關(guān)于該弦的中心對(duì)稱的，利用這種對(duì)稱性，可以將弦的中點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到弦的兩端點(diǎn)上來考慮，從而給出與二次曲線弦中點(diǎn)有關(guān)問題的簡捷解法。若二次曲線F（x，y）=0的弦PQ的中點(diǎn)為M（x，y），則可設(shè)P（x+a，y+b）、Q（x-a，y-b），當(dāng)弦PQ的斜率k存在時(shí)，，進(jìn)而知P（x+a，y+ka），Q（x-a，y-ka）這樣就將弦中點(diǎn)坐標(biāo)轉(zhuǎn)移到了弦的端點(diǎn)上，只要將P、Q的坐標(biāo)代入F（x，y）=0中，由于坐標(biāo)的對(duì)稱性會(huì)給求解帶來極大的方便。

例3：已知定長為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線y2=x上移動(dòng)，記線段AB中點(diǎn)為M。求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)。

分析：依據(jù)二次曲線上點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），則A（x+a，y+b），B（x-a，y-b）。

得：

①

②

③

由①-②，得a=2by

由①+②，得b2=x-y2 ④

從而有a2=4y2（x-y2） ⑤

將④、⑤代入③，整理得點(diǎn)M的軌跡方程為。

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)成立。

故點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離為，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為。

三、求已知曲線的對(duì)稱曲線的問題

在求已知曲線F（x，y）=0（關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線）的對(duì)稱曲線方程時(shí)，只要用曲線F（x，y）=0上任意一點(diǎn)（x，y）（關(guān)于已知點(diǎn)或已知直線）的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)替換方程F（x，y）=0中相應(yīng)的坐標(biāo)即得。

（1）知曲線F（x，y）=0關(guān)于點(diǎn)（x，y）對(duì)稱的曲線方程為F（2x0-x，2y0-y）=0

（2）已知曲線關(guān)于直線f（x，y）=Ax+By+C=0對(duì)稱的曲線方程為：

特別地，對(duì)曲線F（x，y）=0

①其關(guān)于x軸和y軸的對(duì)稱的曲線方程分別是F（x，-y）=0和F（-x，y）=0

②其關(guān)于直線x=a和y=a的對(duì)稱曲線方程分別是分別F（2a-x，y）=0和F（x，2a-y）=0

③其關(guān)于直線y=x和y=-x的對(duì)稱曲線方程是F（y，x）=0和F（-y，-x）=0

例4：如果函數(shù)y=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，那么a等于 。

分析：運(yùn)用對(duì)稱的思想方法解。

設(shè)：F（x，y）=sin2x+acos2x-y=0

由于曲線F（x，y）=0關(guān)于直線對(duì)稱，所以曲線F（x，y）=0上的點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)必在曲線F（x，y）=0上，于是有，解得，a=-1。

例5：已知橢圓C與橢圓關(guān)于直線x+y=1對(duì)稱，則橢圓C的方程是 。

分析：運(yùn)用對(duì)稱的思想方法，在橢圓C上任取一點(diǎn)（x，y），關(guān)于直線x-y=1對(duì)稱的點(diǎn)（-y，-x）在已知橢圓上，即，所以橢圓C的方程為。

四、求奇、偶函數(shù)的有關(guān)對(duì)稱的問題

眾所周知，一個(gè)函數(shù)是奇（或偶）函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點(diǎn)（或）對(duì)稱。由此還可以得到一個(gè)有用的性質(zhì)：奇函數(shù)在和上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在和上具有相反的單調(diào)性。

例6：已知函數(shù)是奇函數(shù)，并且在上（0，a）是減函數(shù)，判斷函數(shù)在上（-a，0）的增減性，并加以證明。

分析：依據(jù)奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱這一性質(zhì)，由已知可畫出草圖，根據(jù)圖象可作出直觀判斷，進(jìn)而作邏輯證明。

解：∵在（0，a）上是減函數(shù)，依據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

∴在（-a，0）上也是減函數(shù)。

證明：設(shè)x1，x2∈（-a，0）且x1

∵在（0，a）上是減函數(shù)

∴

又∵是奇函數(shù)

∴

∴，∴

∴在（-a，0）上是減函數(shù)。

五、求互為反函數(shù)的有關(guān)對(duì)稱問題

由互為反函數(shù)的函數(shù)和的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱可知，若點(diǎn)（a，b）在函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)（b，a）必在其反函數(shù)的圖象上，反之亦然，這是解題中的一個(gè)有用的性質(zhì)。

例7：將y=2的圖象（ ）。

A、先向左平移1個(gè)單位 B、先向右平移1個(gè)單位

C、先向上平移1個(gè)單位 D、先向下平移1個(gè)單位

再作關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖象，可得到函數(shù)y=log2（x+1）的圖象

分析：運(yùn)用對(duì)稱方法進(jìn)行求解。因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，其圖象是關(guān)于直線y=x對(duì)稱的，而y=log2（x+1）的反函數(shù)為，所以y=log2（x+1）關(guān)于直線y=x對(duì)稱的函數(shù)是y=2x-1，所以答案為（D）。

六、結(jié)語

每種現(xiàn)象的一切方面（而且歷史在不斷地揭示出新的方面）相互依存，極其密切而不可分地聯(lián)系在一起，這種聯(lián)系形成統(tǒng)一的、有規(guī)律的世界運(yùn)動(dòng)過程。因此，站在對(duì)稱思想的哲學(xué)高度去研究解決這類問題的規(guī)律和數(shù)學(xué)方法，有利于認(rèn)識(shí)、分析相關(guān)問題，達(dá)到遵循對(duì)稱規(guī)律、簡化問題、縮短解決問題的進(jìn)程之目的

數(shù)學(xué)對(duì)稱不僅僅是邏輯推理的工具和計(jì)算工具，它更是一種思想工具，有著哲學(xué)方法論的深遠(yuǎn)意義：教學(xué)中充分發(fā)揚(yáng)其思想方法論的價(jià)值，學(xué)生在學(xué)習(xí)中就會(huì)獲得高層次的數(shù)學(xué)能力、具備較高綜合素質(zhì)；利用其思想方法去搞其他研究、分析和解決實(shí)際問題，將會(huì)獲得豐厚的收益。自然界中許多事物都呈現(xiàn)對(duì)稱性，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中更是如此。重視對(duì)稱性的應(yīng)用并且恰當(dāng)?shù)乩脤?duì)稱性，可以為我們提供解題思路，幫助我們簡化數(shù)學(xué)中的計(jì)算和證明。

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作者簡介：吳建濤（1970—），男，無錫機(jī)電高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校講師，主要研究方向：高職數(shù)學(xué)教學(xué)。