行星齒輪非線性振動(dòng)的模型建立

【摘要】本文從一對(duì)齒輪的齒輪副系統(tǒng)齒側(cè)間隙非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題展開(kāi)研究，重點(diǎn)探討了考慮行星齒輪齒側(cè)間隙的非線性動(dòng)力學(xué)的模型建立思路及方式。

【關(guān)鍵詞】行星齒輪；非線性振動(dòng)；齒側(cè)間隙

Abstract：In this paper，it is beginning researched from the composed of a pair of gears backlash issues of nonlinear dynamics.It mainly focused on the modeling of the nonlinear dynamic behavior of planetary gear system followed this way.

key words：Planetary gear train；Nonlinearity vibration；backlash

1.引言

齒輪傳動(dòng)作為精密傳動(dòng)的重要組成部分，越來(lái)越多的用于高速、高精度的控制系統(tǒng)和精密機(jī)器當(dāng)中。然而，在齒輪的制造、加工、安裝等環(huán)節(jié)中，不可避免的會(huì)出現(xiàn)各種誤差以及在后期齒輪傳動(dòng)的過(guò)程中出現(xiàn)的磨損，使得齒輪嚙合出現(xiàn)齒側(cè)間隙。這就使得國(guó)內(nèi)外的研究人員不得不開(kāi)始關(guān)注齒輪間隙的非線性問(wèn)題，本文從一對(duì)齒輪的非線性問(wèn)題出發(fā)，采用類(lèi)似辦法進(jìn)一步分析了單自由度行星齒輪非線性動(dòng)力學(xué)模型的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)特性，研究了齒輪副中的剛度、阻尼、載荷諸參數(shù)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。

2.齒輪系統(tǒng)的非線性振動(dòng)分析

在齒輪動(dòng)力學(xué)的研究當(dāng)中，一般情況下根據(jù)研究目的的不同，可以分為動(dòng)載系數(shù)模型；齒輪副扭轉(zhuǎn)振動(dòng)模型；傳動(dòng)系統(tǒng)模型；齒輪系統(tǒng)模型這四種研究模型。在齒輪系統(tǒng)模型的分析中，包含了若干非線性因素，比如傳動(dòng)誤差、齒側(cè)間隙和齒輪傳動(dòng)的其它間隙等。在這些因素當(dāng)中，尤其以齒輪嚙合剛度的時(shí)變性引起的振動(dòng)現(xiàn)象以及齒側(cè)間隙引起的非線性振動(dòng)問(wèn)題最為重要。而這兩個(gè)因素當(dāng)中，齒側(cè)間隙為強(qiáng)非線性，是典型的非線性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)是彈性機(jī)械系統(tǒng)，是在動(dòng)態(tài)激勵(lì)下產(chǎn)生動(dòng)態(tài)響應(yīng)的。而輪齒嚙合是隨時(shí)間周期性變化的，那么齒側(cè)間隙的非線性就是一種不連續(xù)、不可微的函數(shù)，代表了較強(qiáng)的非線性。在工程實(shí)際的求解中，這種強(qiáng)的非線性往往是不可解的，一般采用近似解來(lái)解決。所以，輪齒彈性變形和嚙合剛度周期變化的研究是齒輪系統(tǒng)非線性分析的基礎(chǔ)。

3.一對(duì)嚙合齒輪的非線性振動(dòng)模型

針對(duì)一對(duì)正確嚙合的定軸齒輪傳動(dòng)，不僅能夠應(yīng)用于一般定軸齒輪傳動(dòng)，而且對(duì)行星齒輪傳動(dòng)的分析和模型建立也具有一定的指導(dǎo)意義。國(guó)內(nèi)外的現(xiàn)有相關(guān)文獻(xiàn)中指出：關(guān)于直齒齒輪齒側(cè)間隙非線性振動(dòng)的研究是在假設(shè)剛性支撐和忽略輸入輸出慣量的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，在這種假設(shè)的基礎(chǔ)上，就可以將其簡(jiǎn)化為單自由度振動(dòng)模型。但是，較為完整的模型應(yīng)該包含時(shí)變嚙合剛度、傳動(dòng)誤差，再就是上文提到的齒輪齒側(cè)間隙的非線性因素。

在模型的建立過(guò)程當(dāng)中，應(yīng)假設(shè)采用質(zhì)量集中的方法建立齒輪系統(tǒng)模型，這樣建立可以重點(diǎn)考慮齒側(cè)間隙的非線性，而且也可以兼顧時(shí)變嚙合剛度的周期性激勵(lì)作用。另外，根據(jù)國(guó)內(nèi)外關(guān)于齒輪齒側(cè)的定義中指出：“裝配好的齒輪副，當(dāng)一個(gè)齒輪固定時(shí)，另一個(gè)齒輪的圓周晃動(dòng)量，應(yīng)以分度圓的弧長(zhǎng)來(lái)計(jì)算；在齒輪動(dòng)力學(xué)模型中，由于是基于嚙合線上的運(yùn)動(dòng)來(lái)分析的，因此這里的齒側(cè)間隙是指嚙合線上度量的側(cè)隙。根據(jù)以上假設(shè)，我們分析得到，一對(duì)嚙合齒輪的齒側(cè)間隙函數(shù)應(yīng)具有以下特點(diǎn)：①由于齒輪嚙合是沿嚙合線進(jìn)行的，嚙合力和嚙合位移都發(fā)生在嚙合線上，因此，應(yīng)選取嚙合線位移作為廣義坐標(biāo)；②嚙合剛度是時(shí)間的參數(shù)，方程應(yīng)該是變參數(shù)微分方程；③齒側(cè)間隙是強(qiáng)非線性的，因此它所帶來(lái)的彈性恢復(fù)力也應(yīng)該是強(qiáng)非線性的；④齒側(cè)間隙函數(shù)應(yīng)該是單自由度的動(dòng)力學(xué)模型方程，是關(guān)于側(cè)隙位移量的分段函數(shù)。

4.行星齒輪的非線性振動(dòng)模型

行星齒輪系統(tǒng)具有結(jié)構(gòu)緊湊、體積小、傳動(dòng)比大等優(yōu)點(diǎn)，是一種目前市面上應(yīng)用較為廣泛的齒輪傳動(dòng)形式，尤其在高速、高精度的控制系統(tǒng)和機(jī)器當(dāng)中。在這些工況下，行星齒輪往往是在輕載的高速運(yùn)行下，同時(shí)，還常常處于頻繁啟動(dòng)、制動(dòng)的工作條件下，所以，齒側(cè)間隙的非線性振動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響顯著提高。

本文以最基本的2K-H行星齒輪系統(tǒng)為例進(jìn)行分析，并建立其非線性動(dòng)力學(xué)模型。在模型中主要考慮齒輪副間隙的非線性影響，得到一個(gè)多間隙、變參數(shù)、彎扭耦合的多自由度非線性方程組。行星輪系即存在行星輪的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度，又存在中心太陽(yáng)輪的位移，為統(tǒng)一建模，可將構(gòu)建的角速度轉(zhuǎn)化成相應(yīng)嚙合線上的等價(jià)位移量。然后利用一對(duì)嚙合齒輪的建模思路，將其轉(zhuǎn)化為具有7個(gè)回轉(zhuǎn)自由度的模型；再加之，由于行星輪不可避免的加工以及裝配誤差，各行星輪所受到的實(shí)際載荷又是不完全相等的，在不均勻的力的作用下，最終使得太陽(yáng)輪不會(huì)靜止在幾何中心，必會(huì)有平面的位移產(chǎn)生，即就是2個(gè)平移自由度的動(dòng)力學(xué)模型。最終可以得到一個(gè)關(guān)于系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度以及齒側(cè)間隙的非線性函數(shù)的方程通式。

基于以上分析不難發(fā)現(xiàn)，建立的方程式9個(gè)自由度的變參數(shù)、強(qiáng)非線性的方程組，這種方程很難直接求解。首先，方程的建立是選取了9個(gè)不同的廣義坐標(biāo)；其次，齒側(cè)間隙的非線性函數(shù)是關(guān)于行星輪自身坐標(biāo)以及齒側(cè)等價(jià)位移量的多元函數(shù)；最后，該方程存在著彈性的弱非線性恢復(fù)力以及線性恢復(fù)力，參量無(wú)法統(tǒng)一，難以實(shí)現(xiàn)求解分析。

5.結(jié)論

本文從齒輪動(dòng)力學(xué)的現(xiàn)狀入手，指出了齒側(cè)間隙研究的必要性。從一對(duì)嚙合齒輪的齒側(cè)間隙進(jìn)行分析建模，進(jìn)一步推廣到行星齒輪齒側(cè)間隙的非線性動(dòng)力學(xué)的分析建模工作，得到了行星齒輪的非線性函數(shù)的方程通式。但是，方程的求解問(wèn)題難以解決，有待后續(xù)進(jìn)一步研究解決。

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作者簡(jiǎn)介：孔琳（1982—），女，2007年碩士研究生畢業(yè)于景德鎮(zhèn)陶瓷學(xué)院，2012年西安理工大學(xué)博士研究生在讀，西安航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院航空制造工程系計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與制造教研室助教。