分段函數(shù)分段點(diǎn)處可導(dǎo)性的討論

摘 要：分段函數(shù)是高等數(shù)學(xué)中一種重要的函數(shù)，該文討論了分段函數(shù)分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性，并給出了求分段函數(shù)分段點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾種方法。

關(guān)鍵詞：分段函數(shù) 分段點(diǎn) 可導(dǎo)

中圖分類號(hào)：O172.文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1674-098X（2013）05（C）-0168-02

函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象，分段函數(shù)也不例外。分段函數(shù)一般而言不是初等函數(shù)，但在教學(xué)過程中經(jīng)常涉及到。而導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性態(tài)的重要工具，因此分段函數(shù)分段點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性問題是高等數(shù)學(xué)教學(xué)中一重點(diǎn)，同時(shí)也是難點(diǎn)，討論分段函數(shù)分段點(diǎn)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性的題目也是各級(jí)各類考試中的常見題型。

1 分段函數(shù)分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性

根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義——函數(shù)增量與自變量增量的比值當(dāng)自變量增量趨于零時(shí)的極限，知一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)指的是函數(shù)在該點(diǎn)處的變化率問題，不是孤立的，與附近的函數(shù)關(guān)系有關(guān)。分段函數(shù)是在自變量的不同取值范圍內(nèi)函數(shù)的表達(dá)式不同，因此在分段函數(shù)分段點(diǎn)的兩側(cè)函數(shù)表達(dá)式不同，這時(shí)要考慮分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是就需求導(dǎo)數(shù)定義式的左、右極限，即左、右導(dǎo)數(shù)。由于左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等是導(dǎo)數(shù)存在的充分必要條件，因此若左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等則函數(shù)在分段點(diǎn)處可導(dǎo)，若左、右導(dǎo)數(shù)至少一個(gè)不存在，則函數(shù)在分段點(diǎn)處不可導(dǎo)。下面我們結(jié)合一些例子來討論分段函數(shù)分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。

2 分段函數(shù)分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)計(jì)算

2.1 用定義求分段函數(shù)分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

例1[1]設(shè)函數(shù)，求

錯(cuò)解1：當(dāng)時(shí)，，故

錯(cuò)解2：當(dāng)時(shí)，，故

分析：出現(xiàn)上述兩種錯(cuò)解的原因是學(xué)生沒有理解導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)含義。導(dǎo)數(shù)是運(yùn)動(dòng)的、變化的、相互聯(lián)系的量，不是孤立的，不只與一點(diǎn)處的函數(shù)值有關(guān)，因此解法一錯(cuò)。

函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，反映了函數(shù)相對(duì)于自變量的變化率，這個(gè)變化率是由函數(shù)與自變量的依賴關(guān)系（對(duì)應(yīng)法則）決定的。對(duì)于初等函數(shù)，這種依賴關(guān)系是一個(gè)數(shù)學(xué)式子給出的，所以求導(dǎo)數(shù)可按照初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則來求，而分段函數(shù)的分段點(diǎn)處附近表示函數(shù)與自變量依賴關(guān)系得數(shù)學(xué)式子不是一個(gè)，不能應(yīng)用導(dǎo)數(shù)公式、法則來求分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，應(yīng)考慮該點(diǎn)左右兩側(cè)的情況，因此要用導(dǎo)數(shù)的定義及左、右導(dǎo)數(shù)來確定分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是否存在。故解法二錯(cuò)。

正解：

，

不存在，不存在。

注：（1）本題也可以借助可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系來討論。

則，

所以函數(shù)在處不連續(xù)，因此函數(shù)在處不可導(dǎo)，即不存在。

（2）當(dāng)分段點(diǎn)左右兩側(cè)的表達(dá)式相同時(shí)可不分左、右導(dǎo)數(shù)來求，只需判別導(dǎo)數(shù)的定義式的極限的存在性。如：

例2設(shè)，求

解：

由以上兩個(gè)例子可以看出，用導(dǎo)數(shù)的定義式或左、右導(dǎo)數(shù)來判別分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性只需判別導(dǎo)數(shù)定義式的極限的存在性。但很多學(xué)生受中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)試教育的影響，會(huì)用公式、法則求導(dǎo)函數(shù)，但沒有較好的掌握導(dǎo)數(shù)的定義式，認(rèn)為定義太復(fù)雜而不習(xí)慣用定義討論，下邊介紹另外一種求分段函數(shù)分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法。

2.2 用導(dǎo)數(shù)極限定理求分段函數(shù)分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)極限定理[2]：若函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，，且為常數(shù)），則在處的右導(dǎo)數(shù)存在且等于

證明：取，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理得，至少存在一點(diǎn)，使得，

故

證畢。

類似地，對(duì)左導(dǎo)數(shù)也有相應(yīng)的結(jié)論：

推論：若函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，，且為常數(shù)），則在處的左導(dǎo)數(shù)存在且等于

說明：

（1）定理中0指的是導(dǎo)函數(shù)當(dāng)時(shí)的右（左）極限，不能與右、左導(dǎo)數(shù)的定義混淆。

（2）用此定理解決分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的可導(dǎo)性問題時(shí)，只需求導(dǎo)函數(shù)當(dāng)時(shí)的右（左）極限，可以使極限的運(yùn)算簡(jiǎn)化。如：

例3設(shè)，求

解：當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，，

，

故.

（3）應(yīng)用的時(shí)候一定要注意定理的條件。如：該定理要求函數(shù)在分段函數(shù)的分段點(diǎn)處一定是連續(xù)的，忽略了這個(gè)條件，結(jié)果就會(huì)出錯(cuò)。例1中，

當(dāng)時(shí)，，；

當(dāng)時(shí)，，

故，因此得

事實(shí)上函數(shù)在處不可導(dǎo)。

（4）該定理中導(dǎo)函數(shù)當(dāng)時(shí)的右（左）極限存在是處右、左導(dǎo)數(shù)存在的充分非必要條件，也就是說導(dǎo)函數(shù)在分段點(diǎn)處的左、右極限不存在時(shí)，不能斷定函數(shù)在分段點(diǎn)處不可導(dǎo)。如例2，當(dāng)時(shí)，，顯然，不存在，但事實(shí)上該函數(shù)在處可導(dǎo)。

3 結(jié)語

由上面的討論，我們得到了三種求分段函數(shù)分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的方法：

（1）用可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系，但此方法只能判別函數(shù)在該點(diǎn)處不可導(dǎo)。

（2）用定義式及左、右導(dǎo)數(shù)的定義式，導(dǎo)數(shù)定義式的極限存在及左、右導(dǎo)數(shù)存在且相等是導(dǎo)數(shù)存在的充分必要條件，用這種方法解決問題比較準(zhǔn)確，并且導(dǎo)數(shù)的定義式極限的存在性，不需討論或驗(yàn)證一些前提條件，是首選的好辦法。因此，在解這類題目的時(shí)候，特別是出初學(xué)時(shí)，要求學(xué)生用這種方法。

（3）用導(dǎo)數(shù)極限定理解決分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)問題相對(duì)于用導(dǎo)數(shù)的定義來討論有很大的優(yōu)勢(shì)，會(huì)簡(jiǎn)化極限的運(yùn)算，但由于這個(gè)定理不是函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的充分必要條件，在運(yùn)用時(shí)一定要注意是否滿足定理的條件，否則很容易導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)果。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]趙樹嫄.微積分[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，1988.