回旋鏢原理及其飛行系數(shù)的研究

摘 要：回旋鏢，是最早由澳洲土著人發(fā)明的飛行器具，現(xiàn)已經(jīng)成為了澳洲的一張文化名片，并發(fā)展成為了一項(xiàng)體育競技項(xiàng)目。我們希望通過研究，將我們學(xué)到的知識(shí)融入到生活中去，并進(jìn)行實(shí)際的制作。

關(guān)鍵詞：回旋鏢 原理 升力 制作 軌道記錄 流體

中圖分類號(hào)：TJ510文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1674-098X（2013）05（c）-0075-03

1 回旋鏢原理的研究

1.1 升力的來源

回旋鏢的橫向截面形狀和飛機(jī)機(jī)翼很像，當(dāng)在空氣中飛行時(shí)，便會(huì)朝一個(gè)方向產(chǎn)生升力。通過升力抵消重力，回旋鏢得以在空中保持飛行，而由于上下升力大小不同，回旋鏢得以在空中偏轉(zhuǎn)。

首先，機(jī)翼的受力是由兩側(cè)的壓強(qiáng)所決定的。設(shè)機(jī)翼兩側(cè)的壓強(qiáng)為和，氣體的流速為和。假設(shè)空氣是不可壓縮的無粘滯流體，即理想流體，則有伯努利方程：

對回旋鏢而言=，所以有

而、可以用兩側(cè)空氣的平均流速來計(jì)算。

若一側(cè)空氣的流速大，則該側(cè)壓強(qiáng)就會(huì)相應(yīng)地小，造成朝向該側(cè)的力。

對于兩側(cè)流速的不同，比較詳細(xì)的解釋是環(huán)流的解釋（參考自《新概念力學(xué)》趙凱華）。

在剛進(jìn)入流體時(shí)，機(jī)翼前后有一個(gè)流速為0的駐點(diǎn)。由于尾部下方氣體流速大于上方氣體，會(huì)產(chǎn)生環(huán)繞機(jī)翼的一個(gè)逆時(shí)針渦度。由于機(jī)翼附近的氣體在整體上角動(dòng)量守恒，會(huì)產(chǎn)生一個(gè)繞機(jī)翼的反向環(huán)流。由于兩個(gè)效果的疊加，上方氣體的流速大于下方流速。即導(dǎo)致流線下疏上密。

1.2 角動(dòng)量與陀螺效應(yīng)

角動(dòng)量被定義為，即位矢叉乘動(dòng)量。（圖a）

力矩被定義為，即位矢叉乘力。

當(dāng)研究對象為物體的轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，應(yīng)該從角動(dòng)量的角度考慮。由角動(dòng)量定理，物體所受的力矩等于角動(dòng)量的變化率，即。就像力等于物體動(dòng)量的變化率一樣，下面舉例說明。

當(dāng)陀螺沒有旋轉(zhuǎn)時(shí)歪向一邊（圖b），由公式計(jì)算易知，此時(shí)繞轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量為零，重力矩指向x軸方向，導(dǎo)致陀螺擁有指向x方向的角動(dòng)量，即向-y方向倒下。

當(dāng)陀螺有旋轉(zhuǎn)時(shí)歪向一邊（圖c），此時(shí)重力矩仍指向x軸，但由于陀螺已經(jīng)擁有圖示的角動(dòng)量，所以陀螺不會(huì)順勢向-y方向倒下，而是朝著x開始做“進(jìn)動(dòng)”。由于力矩導(dǎo)致的是角動(dòng)量方向的變化，“進(jìn)動(dòng)方向”始終與力矩有關(guān)。

這就是陀螺效應(yīng)的來源

1.3 我們的模型

1.3.1 模型計(jì)算

假設(shè)回旋鏢旋轉(zhuǎn)到了角度α，取處的鏢臂，其速度是轉(zhuǎn)動(dòng)、平動(dòng)的疊加，以回旋鏢為參照系，不同的處空氣的流速不同。設(shè)處空氣的相對速度為，則由余弦定理，易知

且由正弦定理

兩側(cè)氣流的平均速度正比與它們的路程，路程分別為

，

對于r處的空氣下層（）與上層，滿足

帶入伯努利定率計(jì)算

我們發(fā)現(xiàn)，不管α角轉(zhuǎn)到了多少，合力矩的方向都不變，即與速度的方向相反。

這是十字型回旋鏢的一個(gè)十分有趣的結(jié)論

1.3.2 模型討論

在回旋鏢飛行的過程中有兩個(gè)過程：力導(dǎo)致速度方向變化、力矩導(dǎo)致角動(dòng)量方向變化，下面分別討論。

速度方向的變化速率（初始瞬間，速度與受力方向垂直）

下面求解回旋鏢鏢面的“進(jìn)動(dòng)”角速度，即角動(dòng)量變化速率

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

角動(dòng)量為

由于力矩方向與角動(dòng)量方向始終垂直，有

由上二式，可以看出

當(dāng)即，鏢面轉(zhuǎn)動(dòng)慢于飛鏢轉(zhuǎn)動(dòng)，回旋鏢做大于圓周的運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)剛好是，回旋鏢做圓周運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)時(shí)，鏢面轉(zhuǎn)動(dòng)快于飛鏢轉(zhuǎn)動(dòng)，回旋鏢做小于圓周的運(yùn)動(dòng)。

將1）帶入等式，

解得當(dāng)，滿足1）；

同理，當(dāng)，滿足2）；當(dāng)，滿足3）。

總結(jié)：若拋出速度相對轉(zhuǎn)速較大，回旋鏢的運(yùn)動(dòng)半徑會(huì)逐漸加大，并偏離圓周。反之則效果相反。

1.4 模型的修正

1.4.1 修正的原因

如果不存在重力，例如在飛船中拋出回旋鏢，則1.3中的模型成立。但由于實(shí)際情況下重力存在，為了在空中保持飛行，回旋鏢就必須要傾斜一個(gè)角度，使得升力的豎直分力平衡重力。在傾斜的情況下，需要對模型進(jìn)行修正。

1.4.2 修正過程

考慮回旋鏢以角偏離豎直方向。那么我們要將回旋鏢角動(dòng)量沿水平、豎直方向分解。（參考自舒幼生《力學(xué)》）

建立隨回旋鏢運(yùn)動(dòng)的xyz軸，再建立傾斜的x’y’z’軸，也隨回旋鏢運(yùn)動(dòng)。

回旋鏢的旋轉(zhuǎn)與進(jìn)動(dòng)表觀為與，后者可以沿y’與z’軸分解

沿y’方向

從而有

轉(zhuǎn)化到xy方向，便有

當(dāng)滿足時(shí)，才能達(dá)到穩(wěn)定的進(jìn)動(dòng)。

1.4.3 修正的討論

運(yùn)行軌跡：注意到兩個(gè)角動(dòng)量的大小，以及向心力的大小，他們都和傾斜角有關(guān)。所以在實(shí)際情況下，回旋鏢究竟做哪一種運(yùn)動(dòng)，還要考慮拋出時(shí)的傾斜角。從而導(dǎo)致問題變得復(fù)雜。

進(jìn)動(dòng)討論：注意始終處在旋轉(zhuǎn)狀態(tài)的角動(dòng)量，我們注意到，它也和進(jìn)動(dòng)角速度有關(guān)。由于拋出時(shí)回旋鏢不存在進(jìn)動(dòng)，進(jìn)動(dòng)角速度處在一個(gè)逐漸增加的過程。所以在傾斜的境況下，即使沒有阻力，回旋鏢也不可能做嚴(yán)格的圓周運(yùn)動(dòng)。

如果考慮回旋鏢的翻轉(zhuǎn)，上述過程將表現(xiàn)為章動(dòng)。

1.5 影響回旋鏢飛行系數(shù)的幾個(gè)因素

我們注意到，不同回旋鏢之間存在很大的差異。對于造成差異的原因，我們想到了一下幾點(diǎn)。

1.5.1 厚度

在之前的模型中，我們只考慮了兩側(cè)流速不同所帶來的壓力，這樣的近似在回旋鏢厚度較小時(shí)是有效的。但當(dāng)回旋鏢厚度較大時(shí)，會(huì)與預(yù)期產(chǎn)生較大的偏差。

首先，由于回旋鏢具有厚度，所以在飛行的過程中，還會(huì)有一個(gè)額外的阻力，它的大小與面積、速度的平方大致呈正比。由于回旋鏢的機(jī)翼是一個(gè)斜面，故阻力有一個(gè)向下的分力，會(huì)抵消一部分升力的效果。當(dāng)回旋鏢較厚，即傾角較大時(shí)，這種效果會(huì)更加明顯，影響飛行的效果。

其次，計(jì)算時(shí)我們使用的是穩(wěn)定模型，即機(jī)翼兩側(cè)的流線已經(jīng)進(jìn)入穩(wěn)定的狀態(tài)。但實(shí)際情況下，氣流并不是這樣的狀態(tài)，而是有一個(gè)由均勻狀態(tài)開始的過渡過程。當(dāng)回旋鏢厚度較大時(shí)，這一過渡不可忽略，因此會(huì)影響飛行的效果。

至于最佳的厚度大小，我們希望通過實(shí)驗(yàn)探究。

1.5.2 形狀

不同形狀的回旋鏢具有不同的性質(zhì)。這個(gè)性質(zhì)首先括力矩方面的，當(dāng)回旋鏢轉(zhuǎn)到不同角度時(shí)，力矩方向變化越小，回旋鏢就會(huì)越穩(wěn)定。

此外，形狀的影響還包括橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

1.5.3 橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

橫向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小會(huì)影響回旋鏢飛行的穩(wěn)定性。

1.5.4 質(zhì)量分布

由模型分析，我們知道，通過增加質(zhì)量可以增加飛行半徑。

由于理論分析的局限，我們無從得知質(zhì)量分布離中心的距離對軌跡的影響。我們希望通過實(shí)驗(yàn)對它進(jìn)行粗略研究。

1.5.5 長寬比

通過理論分析，我們可以得知，寬度越大，對應(yīng)的、越小，因此，旋轉(zhuǎn)半徑會(huì)變大。

2 回旋鏢的制作

2.1 設(shè)計(jì)

螺旋槳部分的長度定為總長度的85%，機(jī)翼形狀針對不同厚度、寬度采用不用比例。

2.2 制作

最終共制作出能夠飛回的9把回旋鏢。（模型木材，寬度均為25 mm）

此外，還有6把不能飛回的回旋鏢。（建材木材）

3 回旋鏢實(shí)驗(yàn)

3.1 實(shí)驗(yàn)1：回旋鏢軌跡的記錄

實(shí)驗(yàn)?zāi)康模撼醪接涗浕匦S的飛行軌跡。

3.2 實(shí)驗(yàn)2：厚度對回旋鏢飛行的影響

3.2.1實(shí)驗(yàn)?zāi)康模簻y試不同厚度回旋鏢飛行的效果，獲得針對模型木材0.194 g/cm3的理想厚度

3.2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果：測試厚度中，只有3 mm的回旋鏢成功。

2 mm厚度回旋鏢不能飛回，拋出后極易受風(fēng)力的影響，原因是過薄導(dǎo)致質(zhì)量不夠。

5 mm厚度回旋鏢能夠飛過210°左右，之后轉(zhuǎn)速基本為零，飛行停止。原因是厚度大導(dǎo)致空氣阻力大，轉(zhuǎn)速減少快。

6 mm厚度與5 mm類似，能夠飛過190°左右。

7 mm基本不偏轉(zhuǎn)，其原因是厚度過大，導(dǎo)致機(jī)翼兩側(cè)不能形成穩(wěn)定流線。

3.3 實(shí)驗(yàn)3：回旋鏢形狀與穩(wěn)定性

3.3.1 實(shí)驗(yàn)?zāi)康模候?yàn)證橫向角動(dòng)量與穩(wěn)定性的關(guān)系

3.3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果：測試回旋鏢中，0、15、30°回旋鏢能夠飛回。其中，0°回旋鏢最為穩(wěn)定，而15、30°回旋鏢相比較容易受到氣流干擾。而45°、60°的回旋鏢由于橫向角動(dòng)量較小，一拋出飛行便會(huì)亂掉。

3.4 實(shí)驗(yàn)4：質(zhì)量分布對回旋鏢飛行的影響

3.4.1 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

回旋鏢選擇為輕模型木材，3 mm厚，重9.7 g。圖釘質(zhì)量為0.5 g，我們將同一回旋鏢的每一分支頂上2個(gè)圖釘。改變圖釘離中心的距離，軌道記錄方法同3.1。

3.4.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

質(zhì)量離中心距離對回旋鏢最遠(yuǎn)距離的影響并不是線性的。

4 結(jié)語

我們對回旋鏢建立了二維的模型，并進(jìn)行了傾斜的修正。通過模型我們知道，十字型回旋鏢所受到的力矩始終與其速度方向相反，并對軌道進(jìn)行了預(yù)測。通過修正后的模型我們知道，回旋鏢沿何種軌道運(yùn)動(dòng)與拋出時(shí)的傾斜角也有關(guān)系，而其軌道不可能是嚴(yán)格的圓。

但是，這些問題上我們的研究還有待繼續(xù)。首先，是對回旋鏢豎直方向，即三維運(yùn)動(dòng)的討論。利用這一點(diǎn)得出的結(jié)果，便能夠通過計(jì)算機(jī)對回旋鏢二維、三位軌道進(jìn)行模擬。其次，是對回旋鏢進(jìn)動(dòng)的討論。從實(shí)驗(yàn)中我們知道，進(jìn)動(dòng)是存在的，但我們并沒有能夠?qū)λM(jìn)行定量討論。此外，在理論模型中我們也沒有定量討論空氣阻力的影響。

通過模型討論，我們還知道了厚度、形狀、密度、長寬比都是影響回旋鏢飛行特點(diǎn)的因素。由于沒有能夠直接定量給出影響，我們借助于實(shí)驗(yàn)進(jìn)行探究。

課題的另一部分就是制作與實(shí)驗(yàn)，在嘗試了不同的厚度、密度的材料，通過對它們的測試，我們對回旋鏢飛行軌跡進(jìn)行了記錄，討論了最佳厚度，驗(yàn)證了形狀對穩(wěn)定性的影響，并粗略地探究了質(zhì)量分布的影響。

但怎樣分布質(zhì)量最為合理，怎樣的機(jī)翼形狀最為合理，形狀如何定量地影響穩(wěn)定性。這些問題希望隨著我們數(shù)理知識(shí)的深入，都能夠一個(gè)個(gè)被攻破。

通過實(shí)驗(yàn)，我們發(fā)現(xiàn)了許多意想不到的問題，例如水平翻轉(zhuǎn)、軌道與投擲速度不嚴(yán)格對應(yīng)等。這些出乎預(yù)料結(jié)果啟發(fā)了我們進(jìn)一步探究。所以，實(shí)驗(yàn)與理論是緊密相連的。

參考文獻(xiàn)

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Airfoil：http：//en.wikipedia.org/wiki/Airfoil

Drag：http：//en.wikipedia.org/wiki/Drag_%28physics%29

Stall：http：//en.wikipedia.org/wiki/Stall_%28flight%29

Bernoulli's principle：http：//en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli%27s_principle

CLark-Y ：http：//en.wikipedia.org/wiki/Clark_Y