誤差受限的航天器姿態(tài)跟蹤控制

摘 要：該文簡要介紹了航天器姿態(tài)控制的基本理論。利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，設(shè)計了一種誤差受限航天器姿態(tài)跟蹤控制器。并就跟蹤任務(wù)進行了數(shù)字仿真，通過與基本控制器的對比，驗證了誤差始終處于給定限制范圍內(nèi)，證明了方案和控制器的可行性。

關(guān)鍵詞：誤差受限 姿態(tài)跟蹤 控制器

中圖分類號：V448.22文獻標識碼：A文章編號：1674-098X（2013）05（c）-0054-04

姿態(tài)控制是航天器對目標姿態(tài)或方向重定向的過程[1]。剛性航天器的姿態(tài)控制近年來得到了廣泛而深入的研究。精準的作動、準確的測量和適合的控制器是姿態(tài)控制的三大基礎(chǔ)。

一般的控制器關(guān)心姿態(tài)參數(shù)是否全局收斂于目標軌跡，該文設(shè)計了一種姿態(tài)控制過程中誤差受限的控制器，不僅能夠快速跟隨目標軌跡，而且實現(xiàn)了誤差可控的目標，取得了良好的預(yù)期效果。

1 概述

1.1 動力學(xué)方程

定義航天器機載坐標系，其原點處于質(zhì)心。相對于慣性坐標系的角速度為，該角速度在表示如下：

其中，是的正交坐標分量。

剛體航天器的姿態(tài)描述可由歐拉方程（Euler’s Equations）描述：

其中，轉(zhuǎn)動慣量矩陣，為相對原點的控制力矩，為反對稱矩陣操作符，定義如下：

1.2 運動學(xué)方程

與旋轉(zhuǎn)矩陣的關(guān)系是：

根據(jù)不同的參數(shù)選擇，可以有不同表達形式[2]。當使用歐拉角（Euler Angles）的3-2-1順序表示姿態(tài)參數(shù)時，旋轉(zhuǎn)矩陣可表示為：

其中，

其中，且，i=1，2，3。

此時運動學(xué)方程可表示為：

其中，

當使用吉布斯參數(shù)（Gibbs Parameters）表示姿態(tài)參數(shù)時，定義：

其中，為歐拉定理（Euler’s Theorem）描述的旋轉(zhuǎn)角， 為其旋轉(zhuǎn)軸。此時，運動方程可表示為：

1.3 姿態(tài)控制

根據(jù)以上數(shù)學(xué)描述，姿態(tài)控制的問題可以表述為，已知航天器的動力學(xué)和運動學(xué)方程如下：

其中，為任意的姿態(tài)參數(shù)（即歐拉角、吉布斯參數(shù)或其他），為變化矩陣。

通過施加合適的力矩，實現(xiàn)航天器跟蹤給定目標軌跡。定義跟蹤誤差如下：

則姿態(tài)跟蹤控制的目標為：

將力矩分解為兩部分[3]：

其中，為前向控制力矩，為反饋力矩。此時對應(yīng)不同的力矩，角速度也可以分解為兩個部分：

此時，選擇前向力矩為：

則誤差方程可表示為：

可以證明，到的映射是無源的。即前向力矩的選擇保證了誤差系統(tǒng)的無源性。根據(jù)無源控制理論，若加上一個嚴格無源的反饋，如圖1所示，則整個誤差系統(tǒng)將是L2穩(wěn)定的。即保有以下性質(zhì)：是全局漸進穩(wěn)定的，及擾動力矩等。

定義，

則有，

可以證明，

2 誤差受限的控制器設(shè)計

1.3中設(shè)計的控制器保證了，實現(xiàn)了目標姿態(tài)的跟蹤目標。但沒有說明將處于多大范圍，本文設(shè)計了一種控制器，在誤差受限的條件下滿足姿態(tài)控制的要求[4][5]，即，

考慮如下李雅普諾夫函數(shù)，

可以證明，該函數(shù)在以下定義域是局部正定的，

對該函數(shù)兩邊求導(dǎo)，則有，

若取如下反饋信號，

則，

屬于局部正定函數(shù)。其中，

根據(jù)李雅普諾夫第二定律，該系統(tǒng)是漸進穩(wěn)定的。

3 數(shù)字仿真

通過Simulink仿真，驗證了誤差受限的控制器能夠滿足設(shè)計要求。

系統(tǒng)參數(shù)設(shè)定如下：

初始值：

目標姿態(tài)：

轉(zhuǎn)動慣量矩陣：

誤差濾波器常數(shù)：

無限制控制器反饋增益：

誤差受限控制器常數(shù)：

數(shù)字仿真結(jié)果如圖2-圖9。

4 結(jié)語

通過設(shè)計一種誤差受限的航天器姿態(tài)控制器，達到了控制過程跟蹤誤差可控的目標。通過Simulink數(shù)字仿真，驗證了控制器的有效性，達到了設(shè)計目標，在飛行器控制器設(shè)計中有較高的參考價值。

參考文獻

[1]Wen， J.T.-Y， The Attitude Control Problem， Automatic Control， IEEE Transaction on， Oct 1991.

[2]Malcolm D. Shuster， A Survey of Attitude Representations， The journal of the Astronautical Sciences， Oct 1993.

[3]Hanspeter Schaub and John L. Junkuns， Section 3.6， Analytical Mechanics of Aerospace System， January 1，2002.

[4]Puneet Singla and Tarunraj Singh，An Adaptive Attitude Control Formulation under Angular Velocity Constraints， AIAA.

[5]Khoi B Ngo， Rober Mahony and Zhong-Ping Jiang， Integrator backstepping design for motion systems with velocity constraint， Control Conference， 2004. 5th Asian.