二階振動系統(tǒng)的解耦條件及算法研究

沈繼紅，胡 波，王 侃，金 鑫

(1.哈爾濱工程大學(xué) 理學(xué)院，哈爾濱 150001;2.哈爾濱工程大學(xué) 自動化學(xué)院，哈爾濱 150001)

二階振動系統(tǒng)問題頻繁地產(chǎn)生于各種工程應(yīng)用中，如艦船垂向運動系統(tǒng)、車橋耦合系統(tǒng)、質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)、流固耦合系統(tǒng)以及冰載荷計算等等，因此被廣泛研究［1－4］。在對系統(tǒng)進行動態(tài)分析時，通常要將二階振動系統(tǒng)進行解耦，即將一個多自由度的二階振動系統(tǒng)解耦成多個無關(guān)的單自由度子系統(tǒng)。

圖1所示的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)是一個典型的二階微分運動系統(tǒng)，其實質(zhì)是一個二階振動系統(tǒng)解耦問題。為了實現(xiàn)二階振動系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)分析，Caughey等［5］提出了經(jīng)典阻尼系統(tǒng)三個矩陣同時對角化的充要條件，文獻［6］通常采用忽略模態(tài)阻尼矩陣非對角元素的近似解耦方法來分析非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)，并且當模態(tài)阻尼矩陣滿足對角占優(yōu)［7］的情況時誤差可忽略。文獻［7］通常將系統(tǒng)阻尼項弱化或者假定為比例阻尼系統(tǒng)，進而通過廣義特征值分解法來實現(xiàn)系統(tǒng)解耦。在文獻［8－9］中Garvey等首次提出通過保持Lancaster結(jié)構(gòu)的同譜變換來研究二階系統(tǒng)的解耦，Moody等在文獻［10］中從理論上證明了幾乎對所有的二階系統(tǒng)都存在等價變換，文獻［11］中利用保結(jié)構(gòu)同譜流算法來實現(xiàn)二階系統(tǒng)解耦，但是譜特征的保持效果并不好，如果解耦前后系統(tǒng)的譜性質(zhì)沒有得到完整的保持，那么解耦后的系統(tǒng)就不能代表原始系統(tǒng)的特征，解耦的研究也就失去了意義。因此，解耦研究的關(guān)鍵就是系統(tǒng)譜特征的保持。針對二階振動系統(tǒng)的解耦問題，本文提出了二階振動系統(tǒng)可解耦的條件并給出了相應(yīng)的證明，利用解耦前后系統(tǒng)同譜的性質(zhì)構(gòu)造了解耦系統(tǒng)的三個參數(shù)矩陣，實現(xiàn)了二階振動系統(tǒng)的同譜解耦。文中主要研究質(zhì)量矩陣非奇異的正則二階振動系統(tǒng)。

圖1 2自由度質(zhì)量彈簧系統(tǒng)Fig.1 Two-degree-of-freedom mass－ spring system

1 二階振動系統(tǒng)的解耦理論

針對圖1所示的質(zhì)量彈簧振動系統(tǒng)建立運動方程:

其中，M，C，K∈Cn×n和f分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣和外力向量，x(t)表示位移矢量(t)和(t)分別表示x(t)的二階導(dǎo)和一階導(dǎo)，則質(zhì)量彈簧振動系統(tǒng)運動方程是一個典型的二階微分方程，對于大多數(shù)二階振動系統(tǒng)，M ，C，K滿足對稱性和正定性。相關(guān)的無阻尼系統(tǒng)是一個廣義特征值問題:

由于系數(shù)矩陣的正定性，所有特征值λi都是正實數(shù)，并且相關(guān)的特征向量uj是實數(shù)且關(guān)于M和K正交。定義模態(tài)矩陣和譜矩陣分別為:

通過正交化得到:

模態(tài)矩陣定義了一個實數(shù)可逆坐標變換x=Uq，將:其代入式(1)得到:

其中，模態(tài)阻尼矩陣D=UTCU，當且僅當D是對角陣時，式(1)是可解耦的系統(tǒng)并稱上面的解耦過程為經(jīng)典模態(tài)分析，此時稱式(1)為經(jīng)典阻尼系統(tǒng)。否則稱為非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)。通過引入x(t)=v1eλt，可以得到方程(1)的解并且特征值λ和特征向量v1由下面的二次特征值問題給出:

該二次特征值問題等價于廣義特征值問題:

其中:

將式(4)代入式(3)，得:

(λ2M+ λC+K)v1=0， λMv1=Mv2

易知，當M非奇異時v2=λv1。上述的對稱線性化系統(tǒng)L(λ)稱為Lancaster結(jié)構(gòu)。為了實現(xiàn)動態(tài)分析，通常要將式(2)描述的二階振動系統(tǒng)進行解耦，即找到非奇異的實數(shù)解耦變換2n×2n矩陣Πl(fā)和Πr作用于方程(4)，使其保持Lancaster結(jié)構(gòu)，即:

并且使MD，CD和KD為對角陣，此時的質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)(2)等價于完全解耦的系統(tǒng):

如果M和MD是非奇異陣特，則特征向量v1和z1有如下關(guān)系:

式中:Q(λ)和QD(λ)是同譜的(即有相同的特征值和重復(fù)度結(jié)構(gòu))。在二階系統(tǒng)Q(λ)可解耦的前提下，由文獻［8］知一定存在這樣的Lancaster結(jié)構(gòu)保持變換Πl(fā)和Πr，但是對于什么樣的系統(tǒng)是可解耦的研究卻沒有提到，下面給出二階振動系統(tǒng)可解耦的條件。

2 二階振動系統(tǒng)的解耦條件

Rayleigh提出當滿足條件C=αM+βK(α和β為實常數(shù))時是經(jīng)典阻尼系統(tǒng)，此時的二階振動系統(tǒng)也可稱比例阻尼系統(tǒng)［12］。Caughey等［5］提出了經(jīng)典阻尼系統(tǒng)三個系數(shù)矩陣同時對角化的充要條件CM－1K=KM－1C，可利用經(jīng)典模態(tài)分析來實現(xiàn)解耦，然而對于非經(jīng)典阻尼系統(tǒng)是否可以解耦以及滿足什么條件才可以解耦卻沒有提到。二階振動系統(tǒng)Q(λ)=λ2M+λC+K 在復(fù)數(shù)域中存在相異的特征值 λ1，λ2，…，λt，1≤t≤2n，對 1≤ i≤ t，定義 λi的局部重復(fù)度ni1≥ni2≥…≥ni，μσi，其中 μg，i為 λi的幾何重復(fù)度為，代數(shù)重復(fù)度為μa，i，下面給出了二階振動系統(tǒng)可解耦的充要條件。

定理1 Q(λ)是一個質(zhì)量矩陣非奇異的正則二階振動系統(tǒng)，當且僅當同時滿足下列三個條件時存在同譜對角系統(tǒng)QD(λ)(即Q(λ)是可對角化的):

(1)二階振動系統(tǒng)的所有特征值的總個數(shù)為2n;

(2)λi對應(yīng)的局部重復(fù)度只能取1或2，且λi的幾何重復(fù)度大于等于λi的代數(shù)重復(fù)度的一半;

(3)Q(λ)的線性初等因子一定能夠配對成兩組特征值互不相同的集合。

首先證明必要性。Q(λ)存在同譜對角系統(tǒng)QD(λ)=λ2MD+λCD+KD，因此，Q(λ)和QD(λ)具有相同的特征值及其重復(fù)度結(jié)構(gòu)。因此，對角系統(tǒng)QD(λ)也存在相異的特征值 1，λ1，…，λt∈C ，1≤ t≤2n，對1≤i≤ t，特征值 λi的局部重復(fù)度滿足 ni1≥ni2≥…≥ni，μσi，特征值λi的幾何重復(fù)度為 μg，i≤min(n，μa，i)，特征值 λi的代數(shù)重復(fù)度為，由于Q(λ)是一個質(zhì)量矩陣非奇異的正則二階振動系統(tǒng)，于是:

因MD、CD和KD為n階對角陣，設(shè):

將二階同譜對角系統(tǒng)寫成直和的形式:

則:

其中，I2為2階單位陣，于是QD(λ)可以線性化為矩陣λI2n－A:

其中，I2n為2n階單位陣，此外，λI2n－A的初等因子恰好就是式(9)中的不相交集合，因此:

1 ≤ nij≤ 2， 對1 ≤ i≤ t， 1 ≤ j≤ μg，i(10)

對每個二次初等因子(即局部重復(fù)度nij=2)作為對角矩陣QD(λ)的一個塊元素，于是可以對相異特征值λi定義整數(shù)si為:

式(8)、式(10)和式(12)對應(yīng)于定理1中的三個條件，滿足這三個條件的二階振動系統(tǒng)存在同譜對角系統(tǒng)。

下面證明充分性:當M非奇異的正則二階振動系統(tǒng)Q(λ)滿足條件①、②和③時，證明Q(λ)的同譜對角系統(tǒng)QD(λ)可以構(gòu)造出來。由式(10)可知Q(λ)的初等因子的度只能為1或2，當度為2時每一個這種二次初等因子都可以構(gòu)成對角系統(tǒng)QD(λ)的n個對角元素中的一個，而二次初等因子的總數(shù)為p，因此，同譜對角系統(tǒng)QD(λ)的p個對角元素能夠被構(gòu)造出來。為了構(gòu)造QD(λ)剩下n－p個對角元素，下面證明Q(λ)剩下的線性初等因子的數(shù)目是偶數(shù)。由si得定義知λi有si個二次初等因子，于是:

由:

最后得到:

從而證明了q是偶數(shù)。且由條件③知線性初等因子可以組織成相異特征值對(λk1，λk2)，λk1≠λk2，因此，Q(λ)的個線性初等因子能夠組織成n－p對相異特征值，于是QD(λ)剩下的n－p個對角元素能夠被構(gòu)造出來。從而滿足條件(1)～(3)的同譜對角系統(tǒng)QD(λ)的n個對角元素全部被構(gòu)造出來。

3 二階振動系統(tǒng)的解耦算法

當二階振動系統(tǒng)滿足定理1中三個條件時稱為可解耦的系統(tǒng)，下面針對可解耦的系統(tǒng)給出具體的解耦構(gòu)造算法。對于原始正則二階振動系統(tǒng) Q(λ)=(λ2M+λC+K)，設(shè)解耦后的解耦系統(tǒng)為 QD(λ)=λ2MD+λCD+KD，其中M和MD是非奇異陣。正則二階振動系統(tǒng)Q(λ)在復(fù)數(shù)域內(nèi)具有2n個特征值，而三個參數(shù)矩陣為實數(shù)矩陣，因此其復(fù)特征值是以共軛成對出現(xiàn)。不妨設(shè)其復(fù)特征值集合和實特征值集合分別為:

則由Q(λ)的特征值方程知:

因QD(λ)與 Q(λ)同譜，則式(13)與式(14)對照得:

因此給定MD中滿足0≠mj∈R的對角元素mj，通常取 mj=1，j=1:n，即 MD=In，便可以根據(jù)式(15)構(gòu)造出QD(λ)，使得QD(λ)與Q(λ)具有相同的特征值及其重復(fù)度結(jié)構(gòu)，從而實現(xiàn)了二階振動系統(tǒng)的同譜解耦。

4 數(shù)值試驗

例1 一個特征值相異且滿足定理1中可解耦條件的二階振動系統(tǒng)如圖1所示，2自由度的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)三個矩陣參數(shù)表示如下:

其中，m=k=1，c1=0.6，c2=c3=0.1，求解二次特征值問題(2)得到原始系統(tǒng)的特征值集合為:

由2對共軛的復(fù)數(shù)特征值組成，滿足定理1振動系統(tǒng)可解耦的三個條件，利用式(15)構(gòu)造得到:

其特征值集合為:

而近似解耦法得到的解耦系統(tǒng)特征值集合為:

本文方法和近似解耦法與原始系統(tǒng)的特征值對比圖如下:

回去后，甲洛洛一覺睡到了中午做飯時，依然覺得還沒睡夠，這對于甲洛洛來說，近幾十年來從沒有過的事，原來早上五點就醒了，再怎么閉眼也睡不著，最后硬是熬到六點才起床的。現(xiàn)在可好，作息時間變了，心性也跟著變了，變得好像年輕了二三十歲，有睡不完的瞌睡。

圖2 λa與λc特征值對比圖Fig.2 Contrast eigenvalues in λband λc

從圖2中可看出原系統(tǒng)與本文解耦系統(tǒng)的特征值重合，即解耦前后系統(tǒng)完全同譜，而圖3中特征值存在差異，因此本文解耦算法的解耦效果比近似解耦算法好。

例2 一個有重根存在的二階振動系統(tǒng)

圖3 λa與λb特征值對比圖Fig.3 Contrast eigenvalues in λaand λb

求解二次特征值問題(2)可知，系統(tǒng)有兩個特征值0和1，且代數(shù)重復(fù)度分別為1和3，由于Q(1)=0，因此特征值1的幾何重復(fù)度為2，因此，定理1中的三個條件都滿足，所以該二階振動系統(tǒng)可解耦，且解耦系統(tǒng)可表示為:

例3 一個不可解耦的二階振動系統(tǒng)

由detQ(λ)=(λ+1)4知該二階系統(tǒng)僅有代數(shù)重復(fù)度為4的特征值－1，而rankQ(－1)=1，知其幾何重復(fù)度為1，所以該系統(tǒng)不滿足定理1中的條件(10)以及條件(12)左邊的不等式，因此該二階系統(tǒng)是不可解耦的。

5 結(jié)論

針對二階振動系統(tǒng)的解耦問題，本文給出了該系統(tǒng)可解耦的條件及其相應(yīng)證明并提出同譜構(gòu)造解耦算法。數(shù)值試驗中驗證了解耦條件的正確性，實現(xiàn)了二自由度質(zhì)量彈簧系統(tǒng)的同譜解耦，并與近似解耦算法的譜特征進行了對比。結(jié)論如下:

(1)解耦條件判斷簡便且適合所有質(zhì)量矩陣非奇異的二階振動系統(tǒng);

(2)同譜構(gòu)造解耦算法實現(xiàn)解耦前后的完全同譜;

(3)具有相異特征值的二階振動系統(tǒng)是可解耦的。

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