基于積極學(xué)習(xí)心理培養(yǎng)的“集合的概念”教學(xué)

管軍

[摘 ?要] 好的開始等于成功的一半！“集合的概念”是高中數(shù)學(xué)的開篇課，是學(xué)生步入高中最先學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，集合的概念及其表示方式也是貫穿高中數(shù)學(xué)始終的重要知識，“開篇有益”對學(xué)生高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)影響深遠，好的“開篇”應(yīng)該催生出積極學(xué)習(xí)心理，幫助學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)觀念和思維方式.

[關(guān)鍵詞] 集合;概念;積極學(xué)習(xí)心理;核心素養(yǎng)

“集合的概念”是學(xué)生步入高中的第一節(jié)課，同時集合又是貫穿高中數(shù)學(xué)始終的重要概念. “一個健全的心態(tài)比一百種智慧更有力量！”筆者認為，我們高中數(shù)學(xué)第一堂課除了要讓學(xué)生習(xí)得集合的概念外，還應(yīng)該注重培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維方式和積極學(xué)習(xí)心理. 問題情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)盡可能從學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)內(nèi)容出發(fā)，消除“陌生感”，搭好“腳手架”，讓學(xué)生在第一節(jié)課就能體驗到探究的樂趣和成功的喜悅，形成正面力量，讓他們對學(xué)好整個高中數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生期待，繼而更早地適應(yīng)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

消除“陌生感”，催生積極學(xué)習(xí)心理

理解教學(xué)內(nèi)容，把脈學(xué)生的學(xué)情基礎(chǔ)是上好課的前提. “集合的概念”是學(xué)生從初中走向高中的開篇課，“集合”是一種數(shù)學(xué)語言，因此也是學(xué)生跨越初中、高中后“用數(shù)學(xué)語言表達世界”的開始，新教材在情境的設(shè)置上做到了準確定位，有效銜接，能夠讓學(xué)生在第一次學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)時感到既熟悉、有趣，又有深度，在理解概念的過程中消除知識陌生感，催生積極學(xué)習(xí)心理[1].

教材的設(shè)置從初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中容易完成的“作業(yè)”出發(fā)，展現(xiàn)了一堆數(shù)字，有“正數(shù)集合”“負數(shù)集合”“整數(shù)集合”“分數(shù)集合”，讓學(xué)生將數(shù)填到對應(yīng)的“集合”中. 教材中的例題情境設(shè)置的目的是指導(dǎo)教師在選擇教學(xué)內(nèi)容時可以從學(xué)生熟悉的，尤其是體驗過的，有成就感的數(shù)學(xué)內(nèi)容出發(fā)，消除學(xué)生對高中數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)的陌生感. 同時，自然生成問題.

問題1：生活中我們還有哪些與“整數(shù)集合”相似的例子？

學(xué)生可以列舉質(zhì)數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、實數(shù)等數(shù)學(xué)知識;也可以列舉諸如：家庭成員，班級男生、女生等例子. 這些例子的呈現(xiàn)不僅僅是簡單的模仿，而是在為抽象的“集合”概念建立提供感性認知基礎(chǔ)，同時自然聯(lián)系到“對象”“元素（元）”等次位概念.

問題2：什么是集合？

由“整數(shù)集合”到生活中的實例，讓學(xué)生對“集合”概念初步的認識顯得格外自然，從開始呈現(xiàn)的“初中作業(yè)”出發(fā)，聯(lián)系到“Venn圖”表示法（如圖1）（這一過程能夠讓學(xué)生看到直觀的“Venn圖”，而且讓學(xué)生感受到初中對其就熟悉只是不知其名而已），由此自然生成“有沒有更為簡明的數(shù)學(xué)語言表述呢？”這也為學(xué)生深度理解“一個且只有一個”的“確定性”本質(zhì)特征做了鋪墊.

與老教材相比，新教材在“集合”概念的建立上顯得直接且更具有數(shù)學(xué)味. 不過，這不是讓我們教師直接拋出概念，而是要在第一課就讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)是“理性與抽象的結(jié)合物”，一個概念的建立必然會經(jīng)歷從“分析具體對象”到“抽象數(shù)學(xué)概念”過程，在此過程中體悟數(shù)學(xué)思想，如“集合”概念的建立就滲透著整體思想（集合是一個整體，已暗含“所有”“全部”）. 聯(lián)系“初中數(shù)學(xué)概念”讓學(xué)生感悟到“數(shù)學(xué)概念”都是一些“對象”的集合，且揭示出集合內(nèi)“對象（元）”的共同屬性. 而概念建立過程中讓學(xué)生類比著列舉生活中的例子（通過列舉可以讓學(xué)生感受到“對象”的廣泛性，即可視化的任何事物都可以成為“元素”），是豐富感性認識的過程，有利于學(xué)生對“集合”“元素”等概念的認識.

撘好“腳手架”，靜待素養(yǎng)自然生長

有效的學(xué)習(xí)一定是學(xué)生有意義自主建構(gòu)的過程. 而學(xué)生從初中剛剛步入高中，自主建構(gòu)不應(yīng)該是“無根”生長的狀態(tài). “集合的概念”這節(jié)課不僅僅只有“集合”這個概念，而是“概念組”課. 在“集合”的主概念下不僅有開始導(dǎo)入新課時的一系列“數(shù)集”，還涉及“元素”“相等集合”“子集”“補集”“空集”“有限集”“無限集”等概念，另外在概念建立的過程中還涉及諸多數(shù)學(xué)方法. 那么，如此多的內(nèi)容在高中的第一節(jié)數(shù)學(xué)課上出現(xiàn)，在學(xué)生對“集合”有了初步的認識后，如何組織學(xué)生深度學(xué)習(xí)呢？筆者認為“灌輸”或“一問到底”均難以達到促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)長足發(fā)展的要求，相反可能會導(dǎo)致部分學(xué)生因為體驗不足被“當頭一棒”，甚至?xí)T發(fā)“習(xí)得性無助”繼而怕數(shù)學(xué). 高中數(shù)學(xué)起始階段教學(xué)正確的做法是結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生認知特點搭好“腳手架”，引領(lǐng)學(xué)生拾級而上，在實踐和解決具體的問題中實現(xiàn)核心素養(yǎng)的自然生長[2].

如，我們通過預(yù)設(shè)問題和適當引導(dǎo)給學(xué)生搭建“腳手架”，啟發(fā)學(xué)生在分析和解決問題的構(gòu)成中自主歸納集合中元素的特征;教會學(xué)生用“列舉法”“描述法”描述集合;用具體的例題促進學(xué)生內(nèi)化“元素與集合的關(guān)系”.

環(huán)節(jié)1：自主歸納集合中元素的特征

問題1：如果把咱們班全體同學(xué)看作一個集合，那么某次調(diào)整位置后該集合變化了嗎？

問題2：下列各組對象能夠構(gòu)成集合的是哪些？（1）所有接近于0的數(shù);（2）全體的近似值;（3）平面內(nèi)到坐標原點距離等于1的所有的點.

借助于問題串引導(dǎo)學(xué)生在分析問題的過程中感受集合中的元素具有“確定性”（用于判斷元素是否組成集合的依據(jù)）、“無序性”（判斷集合是否發(fā)生變化的依據(jù)）、“互異性”等特征. 在學(xué)生弄清楚集合中元素的特征后，自然生成問題.

問題3：如何簡明表示元素和集合的確定性關(guān)系呢？

教師先引導(dǎo)學(xué)生用a∈A與a？埸A刻畫某元素a與集合A之間的關(guān)系，然后在此基礎(chǔ)上提出具體的問題促進概念內(nèi)化.

問題4：若x為集合A中的元素且滿足x∈N，∈N，則A中的元素有哪些？

問題4是在問題3認知基礎(chǔ)上的延展，學(xué)生要解決問題4需要進行定量計算，探究易得A中的元素為0，1，2. 問題結(jié)果自然催生出新的認知需求，即如何表示集合A呢？借此可以向下一個環(huán)節(jié)自然銜接.

環(huán)節(jié)2：制造認知沖突讓“集合表示方法”自然生長

問題4的解決實際上就是“列舉”，借此介紹問題4中的集合可以用A={0，1，2}表示，自然銜接到用“列舉法”表示集合（觀察總結(jié)出“一一列舉”“大括號”“逗號隔開”等特征）. 接下來，可以以此為基礎(chǔ)繼續(xù)搭建腳手架，引導(dǎo)學(xué)生認知生長.

問題5：請同學(xué)們嘗試表示下列集合，

（1）在1～20范圍內(nèi)所有素數(shù)組成的集合B;

（2）由方程x2=x所有的實數(shù)根組成的集合C;

（3）不等式x-3<7的解集D.

對于問題5中的（1）（2）是在學(xué)習(xí)了“列舉法”后的方法應(yīng)用，學(xué)生可以用列舉法得到B={2，3，5，7，11，13，17，19};C={0，1}. 但是對于（3）的集合D，學(xué)生沒辦法用列舉法表示了，認知沖突形成，在建立“描述法”概念前，可以適當追問引發(fā)學(xué)生自主總結(jié)和歸納出“描述法”.

追問1：集合D中的元素有什么性質(zhì)？元素和集合之間的關(guān)系如何表示呢？

教師先引導(dǎo)學(xué)生認清“共同特征”，歸納出一般的描述法{xp（x）}并完成問題5中的（3）;再以此為基礎(chǔ)繼續(xù)追問，引導(dǎo)學(xué)生在思考過程中實現(xiàn)認知范圍的發(fā)展.

追問2：所有整數(shù)的集合、偶數(shù)的集合、奇數(shù)的集合、有理數(shù)的集合如何表示呢？

追問3：你認為用描述法表示時，注意點有哪些呢？

學(xué)生認知是螺旋式發(fā)展的，“描述法”表示集合本身就是本節(jié)課的重點、難點，教學(xué)過程中不應(yīng)急于求成，而要低起點、慢節(jié)奏、高密度設(shè)置臺階，靜待學(xué)生認知自然生長，體現(xiàn)“慢”的藝術(shù). 借助于上述追問，學(xué)生通過交流與討論可以總結(jié)出用描述法表示的多個關(guān)注點：要寫清楚集合中元素的符號，如明晰點或數(shù);要明確集合中元素的共同特征;不可以用未被說明的字母表示等等. 接著趁熱打鐵，用具體的數(shù)學(xué)情境引導(dǎo)學(xué)生解決問題，獲取成功體驗，催生積極心理品質(zhì)，力求高達成[3].

問題6：請用描述法表示，

（1）大于4的所有偶數(shù)的集合;（{xx=2n，n∈Z且n≥3}）

（2）第一象限內(nèi)所有的點的集合. （{（x，y）x>0，y>0}）

問題6的“腳手架”設(shè)置是前面3個追問的深度挖掘和延展，學(xué)生對描述法有了更為深刻的理解，此時教師可引導(dǎo)學(xué)生自主總結(jié)出用描述法表示集合的具體步驟. 這實際上是學(xué)生掌握“數(shù)學(xué)語言”的體現(xiàn)，在高中數(shù)學(xué)的第一節(jié)課教師就幫助學(xué)生樹立了“用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界”的意識，同時培養(yǎng)學(xué)生建模意識、提煉解決問題方法的意識，這無疑是學(xué)好高中數(shù)學(xué)的一個良好開端.

環(huán)節(jié)3：綜合性問題引導(dǎo)學(xué)生跳著摘桃

前面兩個環(huán)節(jié)幫助學(xué)生積攢了足夠的能量和經(jīng)驗，最后可以嘗試著結(jié)合學(xué)生的學(xué)情，從最近發(fā)展區(qū)出發(fā)設(shè)置具有一定綜合性、能力要求較高的問題，要求學(xué)生跳一跳摘桃. 學(xué)生在解決復(fù)雜的綜合性問題的過程中獲得更大的成就感，從第一節(jié)課便開始注重培養(yǎng)自身的積極學(xué)習(xí)心理[4].

問題7：已知非空集合A滿足以下條件：若a∈A，則∈A，且1？埸A.

（1）若2∈A，試著分析并求出集合A中的其他元素;

（2）求證：若a∈A，則∈A;

（3）求證：集合A中的元素個數(shù)大于等于3.

問題7的解決指向集合與元素的綜合關(guān)系，三個子問題的設(shè)置指向本節(jié)課的所學(xué)內(nèi)容，該問題的解決既是對學(xué)生學(xué)習(xí)效果的一種檢測，也是促進學(xué)生內(nèi)化所學(xué)知識的載體.

當然，有效的“腳手架”一定是具有延展性的，如問題4中的集合A和問題5中的集合B與集合C可以作為下節(jié)課相關(guān)概念的“熟悉情境”，讓學(xué)生初步體驗數(shù)學(xué)概念之間的脈絡(luò)，為形成集合單元的思維導(dǎo)圖打?qū)嵒?，探索積極學(xué)習(xí)心理的路徑，培植他們探索“未知”的信念，為實現(xiàn)“興趣是最好的老師”做實基本實踐.

結(jié)語

筆者認為：萬事開頭難，因此教師在教學(xué)集合單元第一課時，一定要認真研究學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平，在備課環(huán)節(jié)預(yù)設(shè)學(xué)生熟悉的或是學(xué)生可能在課堂中生成的事例，以方便學(xué)生真實體驗數(shù)學(xué)概念建立的過程，讓每個學(xué)生都可以通過獨立思考并結(jié)合生生、師生合作學(xué)習(xí)獲得新知，催生他們的積極學(xué)習(xí)心理. 課后筆者再運用訪談、配套練習(xí)檢驗學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的效果，幫助學(xué)生形成學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的閉環(huán)，同時培植學(xué)生深度學(xué)習(xí)的原動力. 為了讓“均衡教育”真正落地，教師必須扣緊學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的“第一顆扣子”.

參考文獻：

[1] ?陳婧亭.如何將操作經(jīng)驗內(nèi)化為數(shù)學(xué)經(jīng)驗[J]. 教育實踐與研究，2012（1A）.

[2] ?湯炳興. 在概念教學(xué)中“學(xué)數(shù)學(xué)做數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)”[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2002，11（4）.

[3] ?王光明，佘文娟，廖晶，王兆云. 高效率數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)高中生的元認知特征及其教學(xué)意義[J]. 教育科學(xué)研究，2017（4）.

[4] ?王光明，張曉敏，王兆云. 高中生高效率數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的智力特征研究[J]. 教育科學(xué)研究，2016（3）.