初中幾何入門的訣竅

摘 要： 初中幾何入門是初中數(shù)學教學中的難點，重點。初中幾何入門有三點訣竅：一是對概念用形象識別，二是靈活地把定理的“文字語言”翻譯成“幾何符號語言”，三是初學者掌握證明題的格式尤為重要。把握這三點訣竅，學生就能感到幾何易記易懂易學易證明，真正體會到成功地進行幾何推理論證的樂趣，從而發(fā)現(xiàn)幾何很容易學。

關鍵詞： 初中幾何入門 概念 文字語言 幾何符號語言 證明題格式

初中幾何入門是初中數(shù)學教學中的難點、重點。常言道：“幾何頭，代數(shù)尾?！币馑际莿倢W幾何的時候覺得很難很難，即入門難。代數(shù)則是學到最后比較復雜，學起來比較吃力，即代數(shù)尾。

在初中階段，數(shù)學學科增加了一項新的教學內容——平面幾何，這樣一來數(shù)學課的內容便包括代數(shù)和幾何，并發(fā)生了由數(shù)到形，由計算到推理的轉變，要用說理的論證方法，另初學者深感頭痛。初中幾何入門的訣竅，對以后的學習有很大的幫助。

一、對概念用形象識別

就七年級數(shù)學下冊第二章平行線與相交線這一章內容來說，教師應根據(jù)教學大綱、教材內容和學生實際情況選用符號幾何學科認知規(guī)律和學生認知特征的教學方法，適當放慢教學進度，分散難點，分層遞進地開展教學。認識“三線八角”即兩條直線被第三條直線所截形成八個角，即是同位角，內錯角，同旁內角，我們可以根據(jù)其構成的圖形形狀來識別，用“形象識別法”判斷同位角、內錯角、同旁內角。如圖1，用三個字母——“F、Z、U”形象識別，構成同位角的三線所圍成的圖形像字母“F”（或變形的），構成內錯角的三線所圍成的圖形像字母“Z”（或變形的），構成同旁內角的三線所圍成的圖形像字母“U”（或變形的）。當然，在一些圖形中，這些字母可能是倒置、翻折或橫放的。

如圖2，很快地找出同位角（F）有∠1與∠5，∠3與∠7，∠2與∠6，∠4與∠8；內錯角（Z）有∠3與∠6，∠4與∠5；同旁內角（U）有∠4與∠6，∠3與∠5.這樣學生學起來不再感到煩、難，既提高了學習興趣，又提高了認知能力。

二、靈活地把定理的“文字語言”翻譯成“幾何符號語言”

學習幾何，就像我們學英語一樣，要做到“英漢”互譯，就是把文字語言翻譯成相應的幾何符號語言（這其中涉及圖形語言）。幾何是研究圖形性質的一門學科，它有獨特的語言表達形式，對于每一個幾何概念一般都可以用文字語言、圖形語言和符號語言表達。這三種語言統(tǒng)稱為幾何語言。我們可以逐步從直觀的圖形語言過渡到抽象的符號語言，再由抽象的文字、符號語言返回到圖形進行強化理解，形成“互譯”能力，為推理論證打下堅實的基礎。學會用符號語言表達文字語言，使學生易記易懂易學，如探索直線平行條件的三個定理：1.同位角相等，兩直線平行，依據(jù)為“F相等，//”記為：∠1=∠2，a∥b（同位角相等，兩直線平行）；2.內錯角相等，兩直線平行，依據(jù)為“Z相等，//”記為：∠3=∠4，a∥b（內錯角相等，兩直線平行）；3.同旁內角互補，兩直線平行，依據(jù)為“U互補，//”記為：∠4+∠5=180°，a∥b（同旁內角互補，兩直線平行）。反過來，平行線的性質可記為“//，F(xiàn)相等”記為：a∥b，∠1=∠2（兩直線平行，同位角相等）；“//，Z相等”記為：a∥b，∠3=∠4（兩直線平行，內錯角相等）；“//，U互補”記為：a∥b，∠4+∠5=180°（兩直線平行，同旁內角互補），如圖3：

學生對性質定理理解透徹，克服幾何難學的障礙，用符號表達文字，大大提高了學習興趣，為幾何的推理論證奠定了基礎。強化訓練學生及時把所學的定義公理定理等根據(jù)不同的圖形特征翻譯成相應的幾何符號語言。教師可以填空題的形式引導學生做題，易學易懂，然后學會證簡單的證明題，在改變某些條件逐步加深難度，進一步培養(yǎng)學生推理論證的能力。如七年級下冊（P69）隨堂練習1，填空：（1）線段AD是△ABC的角平分線，那么∠BAD=1/2？搖？搖 ？搖？搖；（2）線段AE是△ABC的中線，那么BE=？搖？搖？搖 ？搖=？搖 ？搖？搖？搖BC，先把文字語言翻譯圖形語言，例：（1）翻譯圖4可填∠CAD，∠BAC，（2）翻譯圖5：可填EC=1/2BC.

最后，以“循序漸進”為原則，逐步培養(yǎng)學生推理論證的能力。大多數(shù)學生對推理論證題感到頭痛，因為推理論證題是對幾何基礎知識的綜合運用能力的測試和評估。例如，如圖6，BE平分∠DBA，∠2=∠C，寫出判定EB∥AC的推理過程。

解：∵BE平分∠DBA

∴∠1=∠2（角平分線定理）

又∵∠2=∠C（已知）

∴∠1=∠C（等量代換）

∴EB∥AC（同位角相等，兩直線平行）

上例推理過程的每一個步驟都必須把原因寫清楚，這對初學者很重要。學生寫推理論證要做到有理有據(jù)。

三、初學者掌握證明題的格式尤為重要

在多年的教學中，我發(fā)現(xiàn)許多學生對證明題有一種“說不清，道不明”的感覺，無從下筆。如果克服了“說理”論證中的“說”這個問題，知道從何處下筆，幾何證明就會變得簡單。故初學者首先應掌握證明題的格式。七年級數(shù)學（下冊）P78，探索三角形全等的條件，有SSS，SAS，AAS，ASA，HL五種定理?，F(xiàn)以“SSS”定理內容為三邊分別相等的兩個三角形全等，簡寫成邊邊邊或SSS。

第一步：先翻譯圖形，如圖7：

第二步：把圖7的圖形語言翻譯幾何符號語言。即格式：

解：在△ABC和△DEF中

∵AB=DE（已知）

BC=EF（已知）

AC=DF（已知）

∴△ABC≌△DEF（SSS）

古人云“依樣畫葫蘆”，同理SAS先畫出圖形，讓學生依樣畫葫蘆模仿SSS的格式寫證明，如圖8：

解：在△ABC和△XYZ中

∵AB=XY（已知）

∠B=∠Y（已知）

BC=YZ（已知）

∴△ABC≌△XYZ（SAS）

讓學生熟悉定理寫證明的格式后，再看題目給出的條件，不是一目了然，讓學生先找一找缺了哪些條件，先證出條件，再運用證明格式。例：教材P140知識詳解，已知如圖9：AB=CD，AE=DF，CE=FB，試說明∠B=∠C。

學生剛看到這道題會感到束手無策，我們首先把給出的條件在沿途中做標志可發(fā)現(xiàn)，若△ABE≌△DCF，則∠B=∠C。根據(jù)全等三角形對應邊相等再認真分析所給的三條邊相等的條件只有兩組AB=DC，AE=DF可用，而BE=CF，題意未說明，只給出CE=FB，再看一看，有EF=EF公共邊，∴CE+EF=FB+EF，所以在證△ABE≌△DCF之前先證BE=CF即可。過程如下：

證明∵CE=FB

∴CE+EF=FB+EF

即CF=BE

在△ABE和△DCF中

∵AB=DC（已知）

AE=DF（已知）

BE=CF（已證）

∴△ABE≌△DCF（SSS）

∴∠B=∠C（全等三角形對應角相等）

對于初學幾何者來說，學會寫幾何證明的格式是至關重要的。就像寫作文要有提綱一樣，寫幾何證明要有格式，如果學生頭腦思路清晰，證明過程就會寫得流暢。如果熟悉了，就可以不用太過強調格式。

總之，初中幾何入門的訣竅是：對概念用形象識別，靈活地把定理“互譯”，并掌握證明題的格式，這對初學者是行之有效的。然后不斷培養(yǎng)學生學習興趣，使學生感到幾何易記易懂易學易證明，真正體會到成功地解決幾何推理論證的樂趣，從而發(fā)現(xiàn)幾何很容易學。

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