“向量法”讓新課程的高中數(shù)學(xué)教與學(xué)更精彩

摘 要：“向量”是高中數(shù)學(xué)中重要而基本的概念之一，它是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)。它既是代數(shù)的對(duì)象，又是幾何的對(duì)象。并把向量上升為思想方法——“向量法”來探索與研究：直線的斜率坐標(biāo)公式；直線的平行與垂直關(guān)系；直線方程；點(diǎn)到直線的距離公式；直徑圓的方程、過圓上的切線方程等。

關(guān)鍵詞：向量法；新課程；高中數(shù)學(xué)；工具性

“向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，有深刻的幾何背景是解決幾何問題的有力工具。全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可轉(zhuǎn)化為向量的加（減）法、數(shù)乘向量、數(shù)量積運(yùn)算，從而把圖形的基本性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算體系。”使得教材中在推導(dǎo)正、余弦定理、三角不等式、柯西不等式、直線與平面垂直的判定定理等重要定理、公式的教與學(xué)更加簡(jiǎn)潔、方便、深刻，向量的工具性作用得到了更為充分的發(fā)揮。教材中的許多知識(shí)表面上是孤立的，若我們?cè)谝I(lǐng)學(xué)生認(rèn)知這些內(nèi)容的同時(shí)，有“意識(shí)”地揭示這種“知識(shí)鏈”，內(nèi)化學(xué)生的理解，就能讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的構(gòu)建“水到渠成”。

精彩之一：用向量法推導(dǎo)直線的斜率坐標(biāo)公式的關(guān)系

【問題1】已知直線過P1（x1，y1），P2（x2，y2）兩點(diǎn)，求直線的斜率。

教材中采用了分四種情況討論，利用初中直角三角形中的正切函數(shù)概念結(jié)合誘導(dǎo)公式推導(dǎo)斜率公式，學(xué)生對(duì)推導(dǎo)過程比較難理解，是本節(jié)課的難點(diǎn)。

■

不妨設(shè)直線向上的方向向量為■=（x2-x1，y2-y1），否則取其相反向量。

平移至向量■=（x2-x1，y2-y1），則直線P1P2的傾斜角α=∠XOP，所以直線的斜率k=tanα=■.

這樣采用向量法和正切函數(shù)的定義就可以巧妙地避免復(fù)雜的分類討論和誘導(dǎo)公式的變形等難點(diǎn)，學(xué)生也能很好地理解公式推導(dǎo)過程。

精彩之二：用向量法推導(dǎo)直線方程及直線的斜率與平行、垂直位置關(guān)系的條件

【問題2】設(shè)直線l1，l2的斜率分別為k1，k2，若l1∥l2，l1⊥l2，則直線的斜率k1，k2有何關(guān)系？

教材中采用了分情況討論，利用直角三角形外角等于不相鄰的兩內(nèi)角和以及誘導(dǎo)公式推導(dǎo)，學(xué)生對(duì)推導(dǎo)過程理解還是比較困難的。

如果設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為■=（1，k1），■=（1，k2）即有

l1∥l2？圳■∥■？圳1×k1-1×k2=0？圳k1=k2；

l1⊥l2？圳■⊥■？圳■·■=0？圳k1k2=-1.

這樣學(xué)生就能很好地理解公式的推導(dǎo)辦法，向量的工具性作用得到充分應(yīng)用，數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系得到了升華。

筆者讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)必修4》133頁(yè)的《平面向量》復(fù)習(xí)參考題B組第9題：

【問題3】“平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的向量都可以用一有序?qū)崝?shù)對(duì)唯一表示，這使我們想到可以用向量作為解析幾何的研究工具?！隳苡孟蛄孔鳛楣ぞ哂懻撘幌轮本€的有關(guān)問題嗎？

（1）過點(diǎn)P0（x0，y0）平行于向量■=（1，k）的直線方程；

（2）向量■=（A，B）與直線Ax+By+C=0的關(guān)系；

（3）設(shè)直線l1和l2的方程分別是l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，那么，l1∥l2，l1⊥l2，的條件是什么？”

【引進(jìn)直線的方向向量】（1）設(shè)P（x，y）為直線上任意一點(diǎn)，則■∥■，

即有（y-y0）-k（x-x0）=0，故有y-y0=k（x-x0）.

【引進(jìn)直線的法向量】（2）在直線Ax+By+C=0上任取不同兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），

則A1x+B1y+C1=0……①，A2x+B2y+C2=0……②，

由②-①得，A（x2-x1）+B（y2-y1）=0，即有■·■=0，故■⊥■，

所以向量■=（A，B）為直線Ax+By+C=0的法向量。

（3）如果設(shè)直線l1，l2的法向量分別為■=（A1，B1），■=（A2，B2），則有：

l1∥l2？圳■∥■？圯A1×B2-A2×B1=0；l1⊥l2？圳■⊥■？圳■·■=0？圳A1A2+B1B2=0；

引進(jìn)法向量推導(dǎo)直線平行的必要條件、垂直的充要條件就可以避免用斜率繁雜的討論，而使過程簡(jiǎn)潔明快。

精彩之三：用向量法推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式

【問題3續(xù)】（4）向量在計(jì)算長(zhǎng)度、角度方面比較方便，你能用向量的知識(shí)推導(dǎo)“點(diǎn)P0（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離公式”嗎？

雖然只設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問題，卻一石激起千層浪，引導(dǎo)著學(xué)生把平面向量知識(shí)與解析幾何知識(shí)有機(jī)地聯(lián)系在一起，為學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何知識(shí)有了向量這一有用的工具，為學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)——推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式開拓了新的思路：

■

已知點(diǎn)P0（x0，y0），直線l：Ax+By+C=0求點(diǎn)P0到直線l的距離。

解：在直線l上取一點(diǎn)S（x1，y1），則Ax1+By1+C=0，

■=（x1-x0，y1-y0），而直線l的一個(gè)法向量為■=（A，B），

d=■=■

=■=■

推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離公式是本節(jié)內(nèi)容的難點(diǎn)，用向量法推導(dǎo)比教材中的方法更簡(jiǎn)潔，筆者的教學(xué)實(shí)踐表明：這一方法讓學(xué)生更易掌握，從而很好地突破了教學(xué)的難點(diǎn)。

精彩之四：用向量法求直徑圓

【問題4】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），求以AB為直徑的圓方程。

設(shè)P（x，y）為圓上任意一點(diǎn)，則AP⊥BP，即■·■=0，故有，以AB為直徑的圓方程為（x-x1）（x-x2）（y-y1）（y-y2）=0。

精彩之五：用向量法求過圓上的切線方程

【問題5】求過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程。

方法1：易知，■=（x0，y0）是過切點(diǎn)P（x0，y0）的圓的切線的法向量，所以可以設(shè)切線方程為x0x+y0y+c=0，因切線過點(diǎn)P0（x0，y0），所以x02+y02+c=0，即c=-（x02+y02）=-r2，

所以過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為x0x+y0y=r2.

方法2：在切線上任取一點(diǎn)Q（x，y），則OP⊥PQ，即■·■=0，即有x0（x-x0）+y0（y-y0）=0，故有x0x+y0y-（x02+y02）=0，所以過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為x0x+y0y=r2.

【問題5續(xù)】求過圓（x-a）2+（y-b）2=r2上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程。

設(shè)圓心M（a，b），在切線上任取一點(diǎn)Q（x，y），則MP⊥PQ，即■·■=0，

即有（x0-a）（x-x0）+（y0-b）（y-y0）=0，有（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）-[（x0-a）2+（y0-b）2]=0，

所以過圓（x-a）2+（y-b）2=r2上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

向量法研究直徑圓、過圓上的切線方程，使問題的解決變得更方便，也更容易被學(xué)生掌握。

用向量法解決問題的一般思路為：

向量是數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一，它是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)?！八仁谴鷶?shù)的對(duì)象，又是幾何的對(duì)象，作為代數(shù)的對(duì)象，關(guān)鍵是它具有一套良好的運(yùn)算性質(zhì)，而作為幾何對(duì)象，向量有方向，可以刻畫直線、平面曲線等幾何對(duì)象。向量有長(zhǎng)度，可以刻畫長(zhǎng)度等幾何度量問題，向量由方向和大小兩個(gè)因素確定，因此向量是集數(shù)與形于一身的數(shù)學(xué)概念，是數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。通過空間向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，這樣通過向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關(guān)問題。向量的理論和方法，又成為解決物理學(xué)和工程技術(shù)的重要工具?！辈严蛄可仙秊樗枷敕椒ā跋蛄糠ā保寣W(xué)生更好地體會(huì)數(shù)學(xué)方法的魅力和數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的普遍聯(lián)系，使高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更精彩！

參考文獻(xiàn)：

劉忠.向量替斜率，解題免討論.中學(xué)數(shù)學(xué)，2009（1）.

（作者單位 浙江景寧中學(xué)）

？誗編輯 馬燕萍