波利亞“怎樣解題表”在最值問題中的應用

喬治·波利亞是美籍匈牙利數(shù)學家、數(shù)學教育家，在解題方面，是數(shù)學啟發(fā)法（指關(guān)于發(fā)現(xiàn)和發(fā)明的方法和規(guī)律）現(xiàn)代研究的先驅(qū)。

他在《怎樣解題》一書中給出“怎樣解題表”通過弄清問題—擬定計劃—實現(xiàn)計劃—回顧，四步呈現(xiàn)解題思維的全過程。下面通過武漢市2013年中考數(shù)學第16題的解題過程來體會和展現(xiàn)波利亞解題風格。

一、例題

如圖1，E、F是正方形ABCD的邊AD上兩個動點，滿足AE=DF。連接CF交BD于點G，連接BE交AG于點H。若正方形的邊長為2，則線段DH長度的最小值是 。

二、解題實踐

1.弄清問題

問題1：你要求解的是什么？

（要求解的是線段的最小值）

問題2：你有些什么？

一方面是題目條件中給出正方形邊長是2；另一方面（如圖2）由∠ABE=∠DCF=∠DAG可得∠AHB=90°。

2.擬定計劃

問題3：怎樣才能求得DH的取值范圍？

（根據(jù)三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，能否構(gòu)造出如圖3所示的△DHM，并使DM、HM可求出，則DM-HM

問題4：怎樣才能求得DH的最小值？

（如圖4當D、H、M三點共線，且點H在點D、點M之間時，DH最??；此時DH=DM-HM）

3.實現(xiàn)計劃

（如圖5，取AB中點M，連HM、DM，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可求出HM=■AB=1，由勾股定理可求出DM=■=■，則■-1tufaI9v/GJ58NH5D+k9zqAB0ggpJ0h28GLumJztIKW4=、H、M三點共線時，DH最小值為■-1）

4.回顧

正確檢驗每一步，看推理是否有效，演算是否準確，再作特殊性檢驗。如圖6，取AB中點M，連DM，在MD上取HM=■AB=2，則可得DH取最小值為■-1的特殊圖形。

三、解題方法和思維策略反思

解題方法主要是從結(jié)論出發(fā)由后往前推成立的充分條件。為了求DH的最小值，只需求DM、HM的值。為了求DM、HM的值只需找到點M。最后通過特殊圖形驗證結(jié)論。在思維策略上，首先是一般性解決（策略水平上的解決），即構(gòu)造△DHM就明確了解題的總體方向；其次是功能性解決（方法水平的解決），即如何找點M、如何求DM、HM；最后是特殊性解決（技能水平的解決），即求出了DH的取值范圍，如何明確DH的最小值。

四、應用推廣

1.如圖7，正△ABC的邊長為2■，點C在第一象限，A、B兩點在x、y軸正半軸上滑動，求線段OC的最大值。

分析：如圖8，取AB中點D，連CD、OD，易求CD、OD的值，則OC

2.如圖9，∠MON=90°，在Rt△ACB中，頂點A、B分別在OM、ON上運動，若AB=2，BC=1，在運動過程中求線段OC的最大值。

分析：如圖10，取AB中點D，連CD、OD，易求CD、OD的值，則OC

參考文獻：

[1]波利亞.怎樣解題[M].閻育蘇，譯.北京：科學出版社，1982.

[2]羅增儒.數(shù)學解題導引論[M].西安：陜西師范大學出版社，1997.

（作者單位 湖北省武漢市黃陂區(qū)實驗中學）

？誗編輯 武曉紅