2 化歸的思想方法
“化歸”是轉化和歸結的簡稱。化歸是數學研究問題的一般思想方法和解決問題的一種策略。在數學方法中所論及的“化歸”方法是指數學家在解決問題的過程中，不是對問題進行直接攻擊，而是把待解決的問題進行變形，轉化，直接歸結到一類已經能解決或者比較容易解決的問題中去，最終獲得原問題解答的一種手段和方法。
但是如果問題較復雜，往往通過一次“化歸”還不能解決問題，可連續(xù)地施行轉化，直到歸結為一個已經能解決或較易解決的問題，其“化歸”的次數是隨著問題的難易而定。
中學數學處處都體現出化歸的思想，如化繁為簡、化難為易，化未知為已知，化高次為低次等，它是解決問題的一種最基本的思想。在具體內容上，有加法與減法的轉化，乘法與除法的轉化，乘方與開方的轉化，以及添加輔助線，增設輔助元等等都是實現轉化的具體手段。因此，在教學中首先要讓學生認識到，常用的很多數學方法實質上就是轉化的方法，從而確信轉化是可能的，而且是必須的。其次要結合具體教學內容進行有意識的訓練，使學生掌握這一具有重大價值的思想方法。在具體教學過程中設出問題讓學生去觀察，探索轉化的路子。例如在求解分式方程時，運用化歸的方法，將分式方程轉化為整式方程，進而求得分式方程的解，又如求解二元一次方程組時的“消元”，解一元二次方程時的“降次”都是化歸的具體體現。
3 數形結合的思想方法
數學是研究現實世界的空間形式和數量關系的科學，也就是數與形。數與形是中學數學的主體，是中學數學論述的兩大重要內容。數形結合的思想方法是指在研究某一對象時，既分析其代數意義，又揭示其幾何意義，用代數方法分析圖形，借助圖形直觀理解數、式中的關系，使數與形各展其長，優(yōu)勢互補，相輔相成，使邏輯思維與形象思維完美地結合起來。數形結合思想方法采用了代數方法與幾何方法中最好的方面：幾何圖形形象直觀，便于理解；代數方法的一般性與嚴謹性、解題過程的機械化、可操作性強，便于把握。因此數形結合的思想方法是學好初中數學的重要思想方法。
辯證唯物主義認為，事物是互相聯系并在一定條件下可以互相轉化的?！靶巍迸c“數”既有區(qū)別又有聯系，直角坐標系的建立產生了“坐標法”，從而實現了它們之間的轉化。在代數與幾何的學習過程中，自始至終貫徹“數形結合”的思想。它不僅使幾何、代數、三角知識互相滲透融于一體，又能揭示問題的實質，在解題方法上簡捷明快，獨辟蹊徑，既能開發(fā)智力，又培養(yǎng)創(chuàng)造性思維，提高分析問題和解決問題的能力。著名數學家華羅庚說過：“數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛，數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休，切莫忘，幾何、代數統(tǒng)一體；永遠聯系，切莫分離”。數形結合，直觀又入微，不少精巧的解法正是數形相輔相成的產物。
數形結合的思想，可以使學生從不同的側面理解問題，加深對問題的認識，提供解決問題的方法，有利于培養(yǎng)學生將實際問題轉化為數學問題的能力。數形結合的載體是數軸，依靠數軸反映出數與點的對應關系，是學生學習數學的一大飛躍。運用數形結合的思想方法思考問題，能給抽象的數量關系以形象的幾何直觀，也能把幾何圖形問題轉化為數量關系問題去解決。
（1）由“數”思“形”，數形結合，用形解決數的問題。
運用圖形方法解題的關鍵在于圖形的構造，而構造圖形是一項創(chuàng)造性的思維活動，圖形的構造無規(guī)則可循，也不能生搬硬套，墨守成規(guī)，同步自封。從宏觀上講，構造圖形就是善于科學抽象，善于抓住起關鍵作用的一些量和相依關系，巧妙地運用數學符號，式子規(guī)律去刻劃其內在的關系。其思考途徑，用圖表示如圖1。
比如通過數形結合的數學思想方法來學習相反數、絕對值的定義，有理數大小比較的法則，函數等，可以大大減輕學生學習這些知識的難度，數形結合思想的教學應貫穿于整個數學教學的始終。
（2）由“形”思“數”，數形結合，用數解決形的問題。
數形結合解決問題，常以純代數問題轉化為幾何問題，即變抽象為具體來加以討論，以達到事半功倍之目的。其實，對于一些純幾何問題轉變?yōu)榇鷶祮栴}來解決也有此功效。
例如B、C為線段AD上兩點，M是AB的中點，N是CD的中點，若AD=a，Bc=b，則MN=？
分析：由題意可知，B、C兩點的位置有兩種情況（圖2）。
綜上所述，數形結合的實際效果，或是化抽象為直觀，或是化技巧為程序操作，無論哪一種形式都更好地實現了從未知到已知的轉化，所以說數形結合是轉化的一種手段。
4 分類討論的思想方法
“分類”源于生活，存在于生活，分類思想是自然科學乃至社會科學中的基本邏輯方法，分類思想方法是一種等價特殊化。其基本思想是：為了解決一個有關一般對象X的問題，可將x分解為特殊的組合，而關于特殊對象的問題是易于30724aa0145e7ae71d7f17b4e95f1d551c520fea1774572abf7585f5385526aa解決的。人們可以從這種對象的組合過渡到解的組合而獲德原問題的解。
分類也是研究數學問題的重要思想方法，它始終貫穿于整個數學教學中。從整體布局上看，中學數學分代數、幾何兩大類，采用不同方法進行研究，就是分類思想的體現；從具體內容上看，初中數學中實數的分類，式的分類，三角形的分類，方程的分類，函數的分類等等，也是分類思想的具體體現。對學習內容進行分類，降低了學習難度，增強了學習的針對性，在教學需要時啟發(fā)學生按不同的情況去對同一對象進行分類，幫助他們掌握好分類的方法原則，形成分類的思想。
在初中數學中，分類討論的問題主要表現三個方面：（1）有的概念、定理的論證包含多種情況，這類問題需要分類討論，如幾何中三角形的分類、四邊形的分類、角的分類、圓周角定理、圓冪定理、弦切角定理等的證明，都涉及到分類討論。（2）解含字母系數或絕對值符號的方程、不等式，討論算術根、正比例和反比例函數中的比例系數、二次函數中二次項系數a與圖象的開口方向等，由于這些系數的取值不同或要去掉絕對值符號就有不同的結果，這類問題需要分類討論。（3）有的數學問題，雖然結論唯一，但導致這結論的前提不盡相同，這類問題也要分類討論。
分類時要注意：（1）標準相同；（2）不重不漏；（3）分類討論應當逐級進行，不能越級。
5 函數與方程的思想方法
函數思想是指用運動、變化、聯系、對應的觀點，分析數學與實際生活中的數量關系，通過函數這種數量關系表示出來并加以研究，從而使問題獲得解決的思想。方程思想是指把表示變量問關系的解析式看作方程，通過解方程或對方程的研究，使問題得到解決的思想。
函數思想是客觀世界中事物運動變化、相互聯系、相互制約的普遍規(guī)律在數學中的反映。它的本質是變量之間的對應。辯證唯物主義認為，世界上一切事物都是處在運動、變化和發(fā)展的過程中，這就要求我們教學中重視函數的思想方法的教學。函數思想方法，是指用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。它有別于象前面所述的幾種數學思想方法，它是內容與思想方法的二位一體。初中代數中的正比例函數、反比例函數、一次函數和二次函數雖然安排在初三學習，但函數思想從初一就已經開始滲透。這就要求教師在教學上要有意識、有計劃、有目的地進行函數思想方法的培養(yǎng)。
例如，進行代數第一冊“求代數式的值”的教學時，通過強調解題的條件“當？？時，”滲透函數的思想方法—— 字母每取一個值，代數式就有唯一確定的值。這實際上是把第三冊中函數問題的一種前置，既滲透了函數思想方法，又為函數的學習埋下了伏筆。
又如，用直角三角形邊與邊的比值定義的銳角三角函數：在直角坐標系中，由角的終邊上一點引出的三個量x，y，r中任意兩個量之比定義任意角的三角函數等，一系列的知識體系，自始至終貫穿了函數、映射、對應的思想方法。
再如，通過討論矩形面積一定時，長與寬之間的關系；長一定時，面積與寬的關系；寬一定時，面積與長的關系。將靜態(tài)的知識模式演變?yōu)閯討B(tài)的討論，這樣實際上就賦予了函數的形式，在學生的頭腦中就形成了以運動的觀點去領會知識，這是發(fā)展函數思想的重要途徑。
當然，初中數學學習的思想方法還有很多，如觀察與實驗、分析與綜合、歸納與類比以及集合論的思想方法，幾何變換的思想方法等等。我們在教學實踐中應立足于數學思想方法教學，充分挖掘教材中的數學思想方法，有目的、有意識、有計劃的滲透、介紹和強調數學思想方法，減少盲目性和隨意性，去精心設計每一個單元、每一堂課的教學目標以及問題提出、情景創(chuàng)設等教學過程的各個環(huán)節(jié)。
只有讓學生掌握了這把金鑰匙，才能使學生學好數學，提高數學素養(yǎng)，增強創(chuàng)新意識，提高創(chuàng)新能力。
方程思想具有很豐富的含義，其核心體現在：（1）建模思想。（2）化歸思想，如在初中數學中，三元一次方程組可以化歸為二元一次方程組，二元一次方程組最終化歸為x=a的形式。
對初中生來說，學習方程內容最主要的事情集中在兩個方面：一方面是建模；另一方面是會解方程。對于后者來說，解方程的關鍵在于轉化，即將新的問題化歸為以前可以解決的問題，利用以前的算法解決。這種化歸、迭代的思想正是當代計算機的思想。
方程與函數思想緊密聯系、相互滲透，方程思想在函數中的應用可形成如下的結構系統(tǒng)：方程思想—系數法、消元法、判別式法—求解析式、判別函數圖象之間的位置、求函數圖像交點。
上述數學思想不是孤立的，例如：運用函數思想解題時，往往要借助函數圖像的直觀性，即同時又要用到數形結合思想。因此，在解題過程中，必須善于把握運用各種數學思想的時機，對于一些難度較大，或綜合性較強，或背景較新穎的問題，更應注意運用數學思想去尋求其合理解法，從而避免繁雜運算，避免“超時失分”。
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