淺探算術(shù)—幾何均值不等式在不等式證明中的應(yīng)用

摘 要：均值不等式是數(shù)學(xué)中幾個經(jīng)典不等式之一，在生產(chǎn)和生活中具有重要作用，是證明不等式及求解各類最值問題的一個重要依據(jù)和方法。其中算術(shù)-幾何均值不等式應(yīng)用最為廣泛，具有變通靈活性和條件約束性等特點，在不等式證明方面具有不可忽視的作用。本文分別從內(nèi)容的突破和形式的構(gòu)造兩個方面，探索算術(shù)-幾何均值不等式在不等式證明中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：不等式 算術(shù)-幾何均值不等式 應(yīng)用

中圖分類號：0178 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）05（a）-0165-02

均值不等式是數(shù)學(xué)中的一個重點內(nèi)容，由文獻[1]知，它是由調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù) 和平方平均數(shù)所聯(lián)合滿足的不等式≤≤≤?！八阈g(shù)-幾何平均值不等式”（≤）的應(yīng)用廣泛性已經(jīng)得到了人們的重視（見[2，3，4]）。研究工作主要集中在函數(shù)最值問題，不等式成立問題，但對它在不等式證明中應(yīng)用的延伸還需進一步深入研究。本文分別從內(nèi)容的突破和形式的構(gòu)造兩個方面，探索算術(shù)-幾何均值不等式在不等式證明中的應(yīng)用。

1 基本算術(shù)-幾uXcaKeEFLSOwNti6+QAT2pbzwBkaPIXhKi6uQ+vjrd8=何均值不等式

如果、，那么≥（當且僅當時，“=”成立），這個不等式稱為基本“算術(shù)-幾何”均值不等式，也叫均值定理。深刻理解和掌握此不等式的內(nèi)容及形式，便能快速找到問題的突破口，從而解決問題。

4 算術(shù)-幾何均值不等式在積分不等式證明中的應(yīng)用

命題[5]：若函數(shù)在上是正值可積的，且，則≤，應(yīng)用“算術(shù)-幾何”均值不等式可推出該命題成立。過程如下：先構(gòu)造不等式≤，再兩邊同時積分≤，化簡不等式≤1，去分母可得≤

利用算術(shù)-幾何均值不等式來證明不等式時需要構(gòu)造不等式的內(nèi)容及形式，同時需要注意均值不等式的條件“一正二定三相等”，從上面的例子可以看出算術(shù)-幾何均值不等式在不等式證明中的實用性和重要性。

參考文獻

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