向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

摘 要： 本文基于向量的基本理論與性質(zhì)，主要介紹了向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，并簡單分析了向量學(xué)習(xí)的誤區(qū).

關(guān)鍵詞： 向量 數(shù)量積 平面幾何 立體幾何

高中數(shù)學(xué)中引進(jìn)向量，給中學(xué)數(shù)學(xué)帶來了廣闊的天地，無論是在平面幾何﹑立體幾何﹑解析幾何﹑三角函數(shù)等方面都有著大大拓寬解題思路的重要作用.向量融“形”“數(shù)”于一體，既有代數(shù)的抽象性，又有幾何的直觀性，用它研究問題時可以實(shí)現(xiàn)形象思維與抽象思維的有機(jī)結(jié)合.毫不夸張地說，向量的數(shù)形遷移思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中能得到很好的體現(xiàn).本文整理了幾類向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.

一、預(yù)備知識

1.平面向量的數(shù)量積

a·b=|a||b|cosθ（a≠0，b≠0，0°≤θ≤180°）

坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a=（x，y），b=（x，y），則a·b=xx+yy.

2.平面向量的基本定理

如果e和e是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ、λ，使a=λe+λe.

3.兩個向量平行的充要條件

a∥b？圳a=λb

坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a=（x，y），b=（x，y），則a∥b？圳xy-xy=0.

4.兩個非零向量垂直的充要條件

a⊥b？圳a·b=0

坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)a=（x，y），b=（x，y），則a⊥b？圳xx+yy=0.

二、向量應(yīng)用的探究

1.利用向量解三角問題

例1：已知α，β∈（0，），且cosα+cosβ-cos（α+β）=，求α，β的值.

解：原條件式可化為

sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα-=0

構(gòu)造向量={sinα，1-cosα}，={sinβ，cosβ}，

|·|=|cosα-|≤？圯（cosα-）≤0

？圯cosα=？圯α=

由α，β的對稱性知β=.

2.利用向量解不等式的問題

對于不等式問題的解決，有時如果我們利用常規(guī)的解法，往往很繁瑣.利用兩個向量的數(shù)量積的一個性質(zhì)：·=||·||cosθ（其中θ為向量與的夾角），又-1≤cosθ≤1，則易得到以下推論：

（1）·≤||·||；

（2）|·|≤||·||；

（3）當(dāng)與同向時，·=||·||，當(dāng)與反向時，·=-||·

||；

（4）當(dāng)與共線時，|·|=||·||.

下面利用這些性質(zhì)和推論來看兩個例子.

例2：已知a和b為正數(shù)，求證：（a+b）（a+b）≥（a+b）.

證明：設(shè)=（a，b），=（a，b）

則·=a+b，||=，||=

由性質(zhì)|·|≤||·||，得（a+b）（a+b）≥（a+b）.

說明：對于例1根式不等式我們通常采用兩邊平方的辦法，但這種辦法運(yùn)算量大，容易出錯.而應(yīng)用向量法解決不等式的問題，不僅避免了常規(guī)解法的不足，而且為解題帶來了新的思路.

3.利用向量求最值問題

最值問題是高中數(shù)學(xué)中的一個重要問題，在高考中它的考核主要體現(xiàn)在求實(shí)際問題，從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價最低”，“利潤最大”或“面積（體積）最大（最小）”等諸多實(shí)際問題上.解決這些問題的辦法則是將其代數(shù)化，轉(zhuǎn)化為函數(shù)，再利用所學(xué)的方法如：換元法，不等式法等求解.下面將介紹利用向量方法解最值問題.

例3：已知m，n，x，y∈R，且m+n=a，x+y=b，求mx+ny的最大值.

解：設(shè)=（m，n），=（x，y），

則由向量積的坐標(biāo)運(yùn)算得·=mx+ny.

而||=，||=，

從而有mx+ny≤·.

當(dāng)與同向時，mx+ny取最大值·=.

三、注意向量學(xué)習(xí)的幾個誤區(qū)

誤區(qū)一：“實(shí)數(shù)a﹑b﹑c由ab=ac，a≠0推出b=c”這一性質(zhì)在向量推理中不正確.

例4：取||=1，||=，與的夾角為45°，||=，與的夾角為0°.

顯然 = =，但≠.

誤區(qū)二：“如果ab=0，那么a，b中至少有一個為零”在向量推理中不正確.

例5：已知||=2，||=3，與的夾角為90°，則有·=2×3×cos90°=0，

顯然≠，≠.

由·=0，可以推出以下四種可能：

①=，≠；

②≠，=；

③=，=；

④≠且≠，但⊥.

誤區(qū)三：乘法結(jié)合律（ab）·c=a·（bc）在向量推理中不成立.

例6：試說明（·）·=·（·）不成立.

解：因?yàn)樵谑街小な且粋€數(shù)量，由實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算的定義，可知左邊表示的是與共線的向量，同理，右邊表示的是與共線的向量，而向量與一般是不共線的，故（·）·≠·（·）.

誤區(qū)四：平面幾何中的性質(zhì)在向量中不一定成立.

例7：判斷下列各命題是否正確，并說明為什么？

①若∥，∥，則∥.

②若||=||，則=±.

③單位向量都相等.

解：①不正確，取=，則對兩不共線向量與，也有∥，∥，但不平行于.

②不正確，因?yàn)閨|=||只是說明這兩個向量的模相等，但方向未必相同.

③不正確，單位向量是模均是1，但對方向沒有要求.

綜上所述，我們發(fā)現(xiàn)向量集數(shù)與形于一體，溝通了代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的聯(lián)系.利用向量的運(yùn)算法則、數(shù)量積可解決長度、角度、垂直問題，應(yīng)用實(shí)數(shù)與向量的積，則可以證明共線、平行等問題，以及它的巧妙應(yīng)用.其中運(yùn)用到的數(shù)形遷移思想，是重要的數(shù)學(xué)思想方法.在高中數(shù)學(xué)中引進(jìn)向量，充分體現(xiàn)出新教材新思路﹑新方法的優(yōu)越性，并且對于培養(yǎng)直覺思維﹑邏輯思維﹑運(yùn)算求解等理性思維能力，具有重要意義.

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