一道平凡而不平淡的高考題引發(fā)的思考

2012年6月7日晚上，老師們?cè)谵k公室里討論今年的高考數(shù)學(xué)卷，普遍認(rèn)為浙江卷比較平常，直到一個(gè)老師提到他那參加高考的女兒說(shuō)有幾道題雖然看起來(lái)很平常，實(shí)際上卻不好做，比如理科卷的17題.細(xì)細(xì)品味發(fā)現(xiàn)此題初看很平淡，實(shí)質(zhì)卻內(nèi)蘊(yùn)豐富：知識(shí)縱橫交錯(cuò)，數(shù)學(xué)思想運(yùn)用靈活，只有達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)理解才能做好.

一、試題再現(xiàn)

（2012浙江數(shù)學(xué)理科卷第17題）設(shè)a∈R，若x>0時(shí)均有[（a-1）x-1]（x-ax-1）≥0，則a=？搖 ？搖.

二、試題解答

圖一

思路一：令函數(shù)y=[（a-1）x-1]（x-ax-1）

①當(dāng)a=1時(shí)，y=-（x-ax-1），顯然不合題意；

②當(dāng)a≠1時(shí)，易知a>1，

由于[（a-1）x-1]（x-ax-1）=0的根有一個(gè)必為（>0），

又x-ax-1=0的△=a+4>0，

所以[（a-1）x-1]（x-ax-1）=0至少有兩個(gè)根，

結(jié)合y=[（a-1）x-1]（x-ax-1）的圖像（圖一），

∴必為x-ax-1=0（△=a+4>0）的根

∴a=.

思路二：原不等式等價(jià)于（a-1）x-1≤0x-ax-1≤0（A）或（a-1）x-1≥0x-ax-1≥0（B），

圖二

令函數(shù)y=（a-1）x-1，y=x-ax-1都過(guò)定點(diǎn)P（0，-1）.

考查函數(shù)y=（a-1）x-1：令y=0，得M（，0），

∵x趨向無(wú)窮大時(shí)y2必為正，要使yy≥0，

則x趨向無(wú)窮大時(shí)y1也為正，

∴a>1，

由（圖二）可得函數(shù)y=x-ax-1必過(guò)點(diǎn)M（，0），

代入得：（）--1=0，解得：a=，或a=0（舍去），

∴a=.

思路三：把a(bǔ)當(dāng)做主元

[（a-1）x-1]（x-ax-1）≥0，即為[xa-x-1]（xa-x+1）≤0，

又方程[xa-x-1]（xa-x+1）=0的兩根為a=或a=，

∴[xa-x-1]（xa-x+1）≤0關(guān)于a的解必在、兩根之間.

因?yàn)楸绢}為填空題且是求a的值，

所以a===.

思路四：[（a-1）x-1]（x-ax-1）≥0，即為[ax-x-1]（ax-x+1）≤0

圖三

令y=ax，y=x+1，y=x-1

∵x>0時(shí)均有[（a-1）x-1]（x-ax-1）≥0，

∴x>0時(shí)y=ax的圖像在y=x+1與y=x-1的圖像之間.

由圖三易知y=ax的圖像過(guò)y=x+1與y=x-1的交點(diǎn)，

∴a=.

思路五：特值法：因?yàn)閤>0恒有[（a-1）x-1]（x-ax-1）≥0，

那么對(duì)特定的x（x>0）的值上述不等式必成立，

取x=2，得（2a-3）≤0，

∴a=.

三、教學(xué)反思

高考結(jié)束后，筆者對(duì)該題的解法做了相關(guān)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)60%的同學(xué)想到用第一種思路即結(jié)合三次函數(shù)的圖像解題，但大部分同學(xué)只結(jié)合函數(shù)而沒(méi)有考慮對(duì)應(yīng)的方程，加上考試時(shí)的時(shí)間因素和心理因素（看其是最后一道填空題）放棄了解答.而接下來(lái)幾種解法為什么沒(méi)有那么多學(xué)生做呢？筆者對(duì)高三數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行了反省，發(fā)現(xiàn)還有不少地方值得改進(jìn).

1.過(guò)分強(qiáng)調(diào)“模式識(shí)別”，制約了學(xué)生思維的拓展.

“模式識(shí)別”對(duì)基礎(chǔ)題的作用是顯而易見(jiàn)的，所以大多數(shù)老師在高三解題教學(xué)中，往往強(qiáng)調(diào)“模式識(shí)別”.此題學(xué)生受挫，絕大多數(shù)就是吃虧在“模式識(shí)別”：不等式的恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題求解，可此題的最值實(shí)在不好求，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法求解，又由于慣性思維而想不到其他解法.

2.忽視對(duì)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程的復(fù)習(xí)，制約了學(xué)生的數(shù)學(xué)理解.

思路一，學(xué)生知道應(yīng)該利用函數(shù)和方程思想及數(shù)形結(jié)合思想，但為什么沒(méi)有想到要考慮對(duì)應(yīng)的方程呢？又為什么沒(méi)有想到第二種解法呢？問(wèn)題就在于高三數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)在太具有功利性了.回想高一教一元二次不等式的解法時(shí)，注重讓學(xué)生體驗(yàn)結(jié)合一元二次函數(shù)和方程解一元二次不等式的過(guò)程，最后歸納解一元二次不等式的步驟.可高三時(shí)我們把不等式的解法放在一節(jié)課上，知識(shí)點(diǎn)的講解著重放在讓學(xué)生回顧各種不等式的解題步驟，比如一元二次不等式的解法：①二次項(xiàng)系數(shù)化為正；②能因式分解則因式分解，不能因式分解則計(jì)算△；③結(jié)合圖像寫出解集.而此解題步驟沒(méi)有讓學(xué)生充分體會(huì)到方程對(duì)解不等式的重要性.由于高三復(fù)習(xí)的高度總結(jié)性讓學(xué)生忽視了最原始的利用降維方法（蘊(yùn)含化歸與轉(zhuǎn)化思想）把二次不等式化為兩個(gè)一元一次不等式組的解題方法，導(dǎo)致該題的解答過(guò)程中許多同學(xué)想不到用思路二進(jìn)行解答.

3.知識(shí)復(fù)習(xí)與數(shù)學(xué)思想復(fù)習(xí)的割裂，制約了學(xué)生對(duì)思想方法的靈活應(yīng)用.

縱看高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的安排，絕大多數(shù)分成三階段：一輪復(fù)習(xí)（知識(shí)為主），二輪復(fù)習(xí)（思想方法為主），三輪復(fù)習(xí)（解題與應(yīng)試技巧為主）.而一輪復(fù)習(xí)往往要持續(xù)到當(dāng)年高考3、4月份，思想方法和填空選擇的解題技巧的復(fù)習(xí)往往只用了幾節(jié)課，留給學(xué)生對(duì)思想方法與解題技巧的體會(huì)內(nèi)化時(shí)間著實(shí)不多，況且由于教師的教學(xué)方式方法及學(xué)生對(duì)完備解答（許多學(xué)生在平時(shí)往往不喜歡用代入法、特值法等解題，覺(jué)得那不是真正會(huì)）的追求導(dǎo)致學(xué)生不善于從思想方法的高度尋找解題思路，就如同沒(méi)有大局上的戰(zhàn)略指導(dǎo)，把握不好某一場(chǎng)戰(zhàn)役的戰(zhàn)術(shù)選擇，由此大多數(shù)學(xué)生想不到思路三、四、五.

四、教學(xué)啟迪

這一道看似很平凡的題確實(shí)給一線教師指明了教學(xué)的方向：數(shù)學(xué)理解.

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)研究表明，對(duì)于一些簡(jiǎn)單的技能，重復(fù)訓(xùn)練也許可以奏效，但對(duì)于較復(fù)雜的技能，特別是高級(jí)思維技能，則必須建立在理解的基礎(chǔ)上.[1]高考中綜合性問(wèn)題、創(chuàng)新性問(wèn)題或通俗說(shuō)的“難題”實(shí)質(zhì)上考的就是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，這是無(wú)法通過(guò)重復(fù)訓(xùn)練、記憶“數(shù)學(xué)模式”所能達(dá)到的.數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與數(shù)學(xué)知識(shí)的一種本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是指現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映到人的意識(shí)之中，經(jīng)過(guò)思維活動(dòng)而產(chǎn)生的結(jié)果.因此，數(shù)學(xué)思想的理解在數(shù)學(xué)理解中處于主導(dǎo)地位，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)要求.在高三復(fù)習(xí)中，知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)與數(shù)學(xué)思想方法的理解應(yīng)雙線同時(shí)進(jìn)行，融會(huì)貫通，讓學(xué)生從新課到高三復(fù)習(xí)經(jīng)歷一個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想理解的螺旋式上升的過(guò)程.根據(jù)“超回歸”數(shù)學(xué)理解模型，數(shù)學(xué)理解的過(guò)程并非直線的，而要經(jīng)歷一個(gè)多次重新回到內(nèi)側(cè)水平的過(guò)程才能逐步達(dá)到高水平的理解[2].比如不等式解法中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)與思想，第一階段，高一學(xué)習(xí)解一元二次不等式時(shí)，學(xué)生對(duì)解不等式中蘊(yùn)含的函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想還只是初步的認(rèn)識(shí)，可能還有點(diǎn)懵懂；第二階段，高二學(xué)習(xí)絕對(duì)值不等式的解法是再次認(rèn)識(shí)；第三階段，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中不等式的恒成立問(wèn)題、方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題等是進(jìn)一步認(rèn)識(shí)；第四階段，高三對(duì)解不等式的總體復(fù)習(xí)再次讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)思想在解題思路挖掘過(guò)程的指導(dǎo)作用.總之，讓數(shù)學(xué)理解成為課堂教學(xué)的主旋律，讓學(xué)生有足夠的機(jī)會(huì)、時(shí)間一步步循序漸進(jìn)地理解數(shù)學(xué).

參考文獻(xiàn)：

[1]徐兆洋.數(shù)學(xué)理解型教學(xué)及其課例設(shè)計(jì).數(shù)學(xué)通報(bào)，2012.1.

[2]李淑文，張同君.“超回歸”數(shù)學(xué)理解模型及其啟示.數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001.1.