數(shù)學教學設計視角：關注數(shù)學思維過程

教育部2003年頒布了《普通高中數(shù)學課程標準（實驗稿）》。新課程標準反復強調：數(shù)學教學要重視揭示獲取知識和運用知識的思維過程，在此過程中，使學生獲得對數(shù)學的理解，并在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等方面得到進步和發(fā)展[1]。對數(shù)學思維的強調，也是國際范圍內數(shù)學課程改革的重要特征。美國《學校數(shù)學課程標準》里，對數(shù)學教育目標的論述中，突出強調了數(shù)學思維方法的教育。然而上述理念，在我國數(shù)學教育實踐中，并未得到很好貫徹。主要表現(xiàn)為：教學中忽視概念的形成過程、忽視問題的發(fā)現(xiàn)過程、忽視規(guī)律的揭示過程、忽視思維過程中的非邏輯思維的作用。教學中，因為追求“效率”，常出現(xiàn)用教師的思維去替代學生的思維活動。導致的結果是，表面上學生雖能夠按照一定模式去解題，但并未真正理解數(shù)學概念、定理的本質。其實，教師應給予學生自主處理新問題，獨立進行辨別、分析、判斷、推理、猜想的機會，要允許學生思維的自然展開和差錯的存在。因此，在分析教學結構，設計教學過程時，要充分關注學生數(shù)學思維過程，并以此作為課堂教學設計的切入點。本文將圍繞上述問題作進一步的分析研究。

一、數(shù)學教學過程的分析

教育心理學研究表明，教學從根本上來說，是一個師生雙方在認知和情感兩方面進行交互作用的過程。教學過程就是不斷地尋求教學要求與學生已有認知水平之間，以及教學要求與學生學習意愿之間平衡的過程[2]。學生的數(shù)學學習雖不可能去重復數(shù)學家發(fā)現(xiàn)數(shù)學新規(guī)律的實踐過程，但間接的數(shù)學學習體驗是獲取知識的重要過程。因此，數(shù)學教學過程就是引導學生探索未知領域新知識的數(shù)學再創(chuàng)造過程，就是數(shù)學思維活動的教學。針對學生數(shù)學學習的特點，數(shù)學教學過程有以下一些特征。

1.數(shù)學教學過程是邏輯思維與非邏輯思維的相互作用過程

我們說數(shù)學學習需關注兩個方面：一是，在繼承數(shù)學文化知識的同時，發(fā)現(xiàn)其問題和不足，從而形成新的思想，引出新的概念，構建新的理論體系。二是，從感性的經驗材料中，抽象、概括出一般性的結論。在此過程中，人們就會使用分類、比較、分析、綜合、猜想等思維方法，起作用的主要是邏輯思維方法，而非邏輯思維方法間或也會發(fā)揮不可忽視的作用。因此，從數(shù)學學習或數(shù)學教學考慮，嚴格的邏輯思維方法，需要靈活的非邏輯思維方法來幫助。非邏輯思維方法因不受固定格式和時間、空間的限制，它可以滲入任何思維過程，在關鍵時刻，能把斷裂的邏輯思維方法重新接通。可見，數(shù)學的學習過程就是邏輯思維與非邏輯思維相互作用的過程，它們是同一思維過程中的兩個相輔相成的方面。因此，在探尋數(shù)學概念、數(shù)學規(guī)律、數(shù)學思想的發(fā)生、形成、發(fā)展過程中，充分揭示數(shù)學思維過程，使學生真正理解和掌握所學知識。

2.數(shù)學教學過程是學生數(shù)學思維活動的過程

學生的認知都需要經歷由感性認識到理性認識的飛躍，這其實是教學中不斷引導學生進行抽象概括的思維過程。教學設計中，通過創(chuàng)設有效的問題是學生思維活化的前提。思維的活化，使得學生的認知經驗系統(tǒng)被激活，教學中的問題意識更加明顯、探究意識更為強烈，教學的主體性也就充分發(fā)揮出來。通過充分揭示知識的發(fā)生、發(fā)展和變化來揭示數(shù)學思維過程，使學生能從思想方法的高度去理解數(shù)學，迅速抓住問題的本質，創(chuàng)造性地應用所學知識去尋求解答方法，不斷提高分析問題和解決問題的能力。因此，教師應始終關注數(shù)學知識中隱含的數(shù)學思維主線，把獲取知識的思維過程充分暴露出來，使課堂中不斷產生師生之間智慧與思維的交流與碰撞，激發(fā)與激活學生數(shù)學學習的興趣與潛能。波利亞在《數(shù)學與猜想》中寫道：“歐拉最重視數(shù)學思維的教學，歐拉認為，如果不能把解決數(shù)學問題背后的思維過程暴露給學生，數(shù)學教學就是沒有意義的”[3]。

3.數(shù)學教學過程是三種思維活動的不斷演進過程

數(shù)學教學過程中的三種思維活動是指：編寫者的思維活動（體現(xiàn)在教科書中）、數(shù)學教師的思維活動、學生的思維活動。由于數(shù)學教科書呈現(xiàn)出的是知識的文本邏輯體系，這其中隱含著知識發(fā)生、發(fā)展的抽象概括的思維過程。同時，教科書中的數(shù)學知識結構體系與學生數(shù)學認識水平之間存在較大差異，不利于學生數(shù)學學習。因此，教師需要合理設計教學過程，在編寫者的思維（教科書）和學生的思維活動之間，在學生已有知識與面臨的問題之間架設橋梁。教師需要吃透教科書（明晰編者的思維活動），把握學生對已有知識的思維過程（重視學生作業(yè)的分析）。使編寫者、教師、學生的思維活動和諧統(tǒng)一和不斷演進，能不斷引導與調控學生的思維活動，使學生形成良好思維品質和合理的數(shù)學認知結構，切實促進有效的數(shù)學課堂教學。

二、關注數(shù)學思維過程的數(shù)學教學設計

1.重視剖析知識的形成與發(fā)展過程

數(shù)學思想方法蘊涵在數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展和實踐過程中，是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括。因此，在數(shù)學教學設計中，要注重數(shù)學概念的形成過程、定理法則的提出過程、解題思路的探索過程，充分暴露思維過程，使學生在學習數(shù)學活動過程中展開思維、發(fā)展能力、提高思維品質、激發(fā)學習興趣。

以“復數(shù)概念的教學”為例，可設計如下的教學環(huán)節(jié)（問題為中心）。

環(huán)節(jié)1：注重概念的引入（數(shù)系擴充的必要性和一般規(guī)律引入）。

問題1：討論關于x的方程（x-1）（2x-1）（x2-2）（x2+1）=0的解的個數(shù)。（意義：把新概念與完整的知識結構聯(lián)系在一起，體現(xiàn)學生的認知過程）。

學生得出結論：實數(shù)范圍內4個解，

（1，■，■，-■），其中，方程在x2+1=0在實數(shù)范圍內無解。

環(huán)節(jié)2：感悟概念的產生（學生體會到概念形成過程是自然的）。

問題2：可否擴充數(shù)系使方程x2+1=0有解？（意義：體會學習概念與前人形成概念的相似之處，問題——辨別（比較、分析、綜合）——抽象——提出假設——概括的思維過程）。

結論：新數(shù)滿足平方等于-1，即i2=-1，且原有的加、乘運算律成立（通過增加新元素和規(guī)定適當?shù)倪\算）。

環(huán)節(jié)3：參與概念的建立（理解用符號化語言精練表達復數(shù)概念）。

問題3：將虛數(shù)單位與實數(shù)進行四則運算，會得到怎樣的結果？（意義：體會復數(shù)運算與實數(shù)的運算融合成的一個整體）。

環(huán)節(jié)4：深化概念的理解（對概念從特殊化、一般化、幾何意義等方面去考察）。

問題4：實數(shù)m取何值時，復數(shù)z=m+1+（m-i）i是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)？

這樣的教學設計，著眼于使學生能夠真正把握新概念的本質屬性，從數(shù)學發(fā)生、發(fā)展的客觀需求出發(fā)引入新概念，這其中滲透了數(shù)學研究的合情類比推理、歸納演繹思維和非邏輯思維，把觀察與實驗、分析與綜合、猜想與反駁的思維活動貫穿于教學之中。學生經歷了利用已有的數(shù)學認知結構，使新知識納入到一個相應的數(shù)學結構中，創(chuàng)新衍生出新知識的探索過程，這正是教學設計中關注數(shù)學思維過程的自然結果。

2.分析與顯化問題中的數(shù)學思維過程

解決數(shù)學問題是一個不斷分析問題，將其轉化為已知問題的思維過程。思維進程往往遵循著一般邏輯、數(shù)學思想、具體數(shù)學方法、技巧和程序來推進。教學設計時，要充分關注學生對數(shù)學問題的觀察與分析、抽象與概括的思維過程，要剖析與顯化如何選取并綜合已有的數(shù)學知識，進行判斷、推理、猜想、概括的思維過程，并及時評價與調控學生的思維過程。上述思維過程，正是數(shù)學家發(fā)現(xiàn)數(shù)學新規(guī)律的思維活動，更是培養(yǎng)學生獨立獲取新知識，進行創(chuàng)造性思維的能力。

例如：設三次函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a>b>c）在x=1處取得極值，其圖像在x=m處的切線斜率為-3a，求證：0≤■≤1。可設計如下的教學環(huán)節(jié)。

環(huán)節(jié)1：弄清問題，明確思維方向。

學生閱讀題目，分析問題與條件之間的關系，并對題設條件做出解釋和轉換。（學生在分析思考過程中，會將條件“函數(shù)f（x）在x=m處取得極值”轉化為f′（1）=0，即

3a+2b+c=0 （1）

將“其圖像在x=m處的切線斜率為-3a”轉化為

f′（m）Ide4KYVc7bYUxvLAjumZu2CQc6OqKNlbHiRothpNZOs==-3a，即

3am2+2bm+c=-3a （2）

再從涉及a、b、c、m的條件組中消去參數(shù)c、m，從而得到-1<■<1。產生困惑：結論與所求證結果不一致（學生有可能提出猜想，是否運用了條件（2））。

環(huán)節(jié)2：擬訂計劃，用困惑顯示問題（設計如下問題）。

問題1：你的解答過程完善嗎？是否每一步推理都有充分的依據？是否有疏漏？（其實在推出-1<■<1，默認了a>0）

問題2：你所得結論與求證結論之間有何關系？為了得到求證結論還需要做什么？（預設學生答，可能需要利用②來證■≥0）

問題3：你感覺條件（2）難以處理，難在哪里？（預設學生思維受阻的原因，感覺方程（2）比較難解，而且解出m后，又無處可代，不知道怎樣才能消去m，可能會放棄解出m）

環(huán)節(jié)3：反思拓展。

反思：解方程時應注意什么問題？（學生馬上明白，方程3am2+2bm+c=-3a有實數(shù)解m需要驗證判別式，這樣就得到學生想要的關于a、b的判別式）

拓展：“已知函數(shù)f（x）=mx2-x+1，實數(shù)a、b滿足a>b>1，且f（a）=0，f（b）=0，求實數(shù)m的實數(shù)解”。學生自然想到：方程f（x）=0有兩個大于1的實數(shù)根。

通過將題目轉化為已有的知識體系和方法處理；通過融觀察、猜想、證明于一體的解題思維過程的展開；通過問題的拓展；通過思維不斷地聚合和發(fā)展的過程，學生不斷地賦于數(shù)學方法以具體新鮮的意義，思維品質得到優(yōu)化。中學新課程標準強調：函數(shù)與方程思想、數(shù)與形結合思想、分類與整合思想、特殊與一般思想、或然與必然思想、化歸與轉化思想的深入探究，這其實是對數(shù)學思維過程目標的具體化。

3.合理設計學生思維上的過渡與銜接

數(shù)學教科書在闡述數(shù)學基礎知識時，呈現(xiàn)的是經過整理加工的嚴密抽象的結論，隱去了許多曲折的思維過程。因此，數(shù)學教學不能直接照搬教科書上的內容，要考慮學生學習過程中的可接受性。在內容的組織與教學設計中，要考慮學生的思維水平，準確把握學生可能遇到的困難和疑惑，合理設計學生思維上的過渡與銜接。通過吃透教材（理解數(shù)學家的思維過程），切實把握知識系統(tǒng)的結構，挖掘客觀存在的思維規(guī)律，充分呈現(xiàn)數(shù)學思維過程。

以人教版《普通高中實驗教科書·數(shù)學4·必修（A版）》任意角三角函數(shù)概念的教學為例，教學設計可關注以下幾個環(huán)節(jié)。

環(huán)節(jié)1：教材分析。（找準學生思維間斷的關鍵）

高中階段任意角三角函數(shù)概念的建立既是知識重點，也是理解的難點。教學中需要突破用直角三角形定義三角函數(shù)的思維局限。因此，在任意角三角函數(shù)概念教學設計時需要解決幾個關鍵：如何從角度制過渡到弧度制？如何從銳角三角比過渡到任意角的三角比？以避免銳角三角函數(shù)知識的負遷移。如何引入單位圓？其實這也是造成學生思維跳躍、不連續(xù)的關鍵。

環(huán)節(jié)2：合理設計學生思維上的過渡與銜接。

在任意角三角函數(shù)概念教學中，弧度制的引入是困擾學生的一個問題。教學設計中，我們可從數(shù)學史的研究中得到答案。其實，角度制與弧度制都是建立在等分圓周上，弧度制把圓周分成等份更科學更合理，把圓周分成360等份是歷史形成的一種規(guī)定。困擾學生的問題之二是，如何從銳角三角比過渡到任意角的三角比？數(shù)學史的研究告訴我們，從銳角三角比到研究任意角的三角比是從幾何的方法到解析的方法的轉變，是研究視角的重大變化。教學設計中，以史為源可恰當處理學生思維上的過渡與銜接。

環(huán)節(jié)3：圍繞“單位圓定義法”進行教學設計。

通過上述兩個環(huán)節(jié)的教學研究，可順利設計任意角三角函數(shù)概念的教學：回憶銳角的三角函數(shù)——銳角放在坐標系中——用角終邊上點的坐標表示銳角的三角函數(shù)——引入單位圓（用單位圓上點的坐標表示銳角的三角函數(shù)）——推廣（用單位圓上點的坐標表示任意角的三角函數(shù)）。

這樣的教學設計，思維過渡自然，有利于步步加深對三角函數(shù)本質的理解。通過單位圓可以幫助學生直觀地認識任意角、任意角的三角函數(shù)，設計中突出了幾何直觀對理解抽象數(shù)學概念的作用，注重了學生知識探索過程中的數(shù)學思維過程分析。

三、結論

我們說數(shù)學從靜態(tài)角度看是數(shù)學符號、數(shù)學公式的匯集，而從動態(tài)角度去審視，數(shù)學是思維活動的過程。學生的數(shù)學學習是一個需要經歷初步感知、逐漸領會、再到靈活運用的思維發(fā)展過程。教學中應注重設計反應不同思維水平發(fā)展的問題串，一個好的問題，應是能啟發(fā)學生進行思考，并不在于它是簡單的還是困難的，是具體的還是一般的，教學設計中教師對此再費時費力也不過分。同時，教學設計中不掩蓋數(shù)學思維活動的任何一個環(huán)節(jié)，這是學生形成良好思維結構的根本保證。如果教學中長期片面地強調某些思維環(huán)節(jié)，忽視另外一些環(huán)節(jié)，就會造成思維結構的一定缺陷。例如，目前學生的創(chuàng)造性思維能力不足，其中之一就是長期掩蓋發(fā)現(xiàn)問題環(huán)節(jié)的結果。一個好的數(shù)學教師絕不是把數(shù)學作為知識來讓學生記住，而是在教學中把數(shù)學思維過程埋進基本的教學過程中。

參考文獻

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準實驗稿.北京：人民教育出版社，2003.

[2] 劉黎明.教學過程本質之我見.教育研究，1992（3）.

[3] G.波利亞.數(shù)學與猜想（第1卷）.北京：科學出版社，2011.

[4] 張乃達.數(shù)學思維教育學.南京：江蘇教育出版社，1990.

[5] 斯托利亞爾著.數(shù)學教育學.丁爾升等譯.北京：人民教育出版社，1984.

[6] 施良方.課程理論——課程的基礎、原理與問題.北京：教育科學出版社，1996.

[該文為綿陽師范學院教學改革研究課題資助項目（課題編號：mnu201312）的研究成果]