中考“代數(shù)式”新題型

整式加減的有關(guān)知識(shí)是中考命題的重點(diǎn)內(nèi)容之一，命題者常常利用這部分知識(shí)設(shè)計(jì)難度適中的新題型.近年來(lái)中考中圍繞整式加減設(shè)計(jì)的新題型主要有以下幾個(gè)類型.

一、程序求值型

例1 （2013·蘇州）按照下圖所示的操作步驟，若輸入x的值為2，則輸出的值為 .

【分析】這是一個(gè)代數(shù)式的求值問(wèn)題，但沒(méi)有直接給出代數(shù)式，而是通過(guò)運(yùn)算程序來(lái)給出的. 可先根據(jù)程序列出運(yùn)算式子，再把字母的取值代入計(jì)算.

解：由轉(zhuǎn)換器的程序可知，運(yùn)算程序的代數(shù)式為（x+3）2-5，輸入x的值為2，則（2+3）2-5=20.所以應(yīng)填20.

【方法指導(dǎo)】本題考查了代數(shù)式求值，根據(jù)圖表準(zhǔn)確寫(xiě)出運(yùn)算程序是解題的關(guān)鍵.

二、整體思考型

例2 （2013·福州）已知實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=2，a-b=5，則（a+b）3·（a-b）3的值是 .

【分析】觀察發(fā)現(xiàn)：求值式的底數(shù)已知，故采用整體思想代入計(jì)算即可.

解：因?yàn)閍+b=2，a-b=5，所以（a+b）3·（a-b）3=23·53=（2×5）×（2×5）×（2×5）=1000.

【方法指導(dǎo)】在進(jìn)行整式運(yùn)算時(shí)，需先觀察式子的特點(diǎn)，然后進(jìn)行計(jì)算，有時(shí)采用整體思想進(jìn)行計(jì)算會(huì)事半功倍.

三、多元思考型

例3 （2012·泰州）若2a-b=5，則多項(xiàng)式6a-3b的值是 .

A. 0 B. 1 C. 3 D. 15

【分析】求代數(shù)式值的基本方法是代入，但本題中給出的條件是一個(gè)等式，如何代入呢？這正是本題的絕妙之處.解題者思考角度的不同，解法也不同.

解法1：（參數(shù)代入法）將a當(dāng)做已知數(shù)（參數(shù)），根據(jù)“減數(shù)等于被減數(shù)減去差”，可得b=2a-5，則6a-3b=6a-3（2a-5）=6a

-6a+15=15.

解法2：（整體代入法）把6a-3b變形為3（2a-b），然后把2a-b整體代入，即可求得其值.6a-3b=3（2a-b）=3×5=15.

解法3：（特值代入法）取a=0，則b=-5，當(dāng)a=0，b=-5時(shí)，6a-3b=0-3×（-5）=15.

【方法指導(dǎo)】對(duì)于給定的條件，要善于從多角度來(lái)看，這里解法1 是將字母a看作常數(shù)來(lái)參與運(yùn)算的；解法2是從整體的角度來(lái)看的，從待求的代數(shù)式中變換出已知條件式2a-b，整體代入，十分簡(jiǎn)捷，也可以將已知式兩邊同時(shí)乘以3，整體得出結(jié)論；解法3是從特殊到一般的角度來(lái)看的，巧妙地取a=0，則b為整數(shù)，代入求值式計(jì)算比較簡(jiǎn)捷，用這種方法解題要注意兩點(diǎn)：一是所取的字母值要使已知式和求值式有意義，二是所取的字母值要使計(jì)算簡(jiǎn)便.

四、定義運(yùn)算型

例4 （2011·廣州）定義新運(yùn)算“ ”，規(guī)定：a b=■a-4b，則12 （-1）= .

【分析】這也是代數(shù)式求值問(wèn)題，即求當(dāng)a=12，b=-1時(shí)代數(shù)式a b=■a-4b的值.

解：根據(jù)定義，當(dāng)a=12，b=-1時(shí)，a b=12 （-1）=■×12-4×（-1）=8.

【方法指導(dǎo)】對(duì)于這類新定義運(yùn)算的代數(shù)式求值問(wèn)題，理解“定義的運(yùn)算”是關(guān)鍵.

五、規(guī)律探索型

例5 （2012·珠海）觀察下列等式：

12×231=132×21，

13×341=143×31，

23×352=253×32，

34×473=374×43，

62×286=682×26，

……

以上每個(gè)等式中兩邊數(shù)字是分別對(duì)稱的，且每個(gè)等式中組成兩位數(shù)與三位數(shù)的數(shù)字之間具有相同規(guī)律，我們稱這類等式為“數(shù)字對(duì)稱等式”.

（1）根據(jù)上述各式反映的規(guī)律填空，使式子成為“數(shù)字對(duì)稱等式”：

①52× = ×25；

② ×396=693× .

（2） 設(shè)這類等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，且2≤a+b≤9，寫(xiě)出表示“數(shù)字對(duì)稱等式”一般規(guī)律的式子（含a、b），并證明.

【分析】（1）等式左邊兩個(gè)因數(shù)的特點(diǎn)是：三位數(shù)的百位數(shù)字是兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字，個(gè)位數(shù)字是兩位數(shù)的十位數(shù)字，十位數(shù)字是百位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之和；等式右邊兩個(gè)因數(shù)的特點(diǎn)是：兩位數(shù)是將等式左邊的兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字互換，三位數(shù)是將等式左邊的三位數(shù)的個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字互換；（2）用字母表示數(shù)并對(duì)上述規(guī)律進(jìn)行驗(yàn)證.

解：（1）①∵5+2=7，∴左邊的三位數(shù)是275，右邊的三位數(shù)是572，∴52×275

=572×25；②∵左邊的三位數(shù)是396，∴左邊的兩位數(shù)是63，右邊的兩位數(shù)是36，63

×396=693×36.故答案為：①275，572；②63，36.

（2）∵左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，∴左邊的兩位數(shù)是10a+b，三位數(shù)是100b+10（a+b）+a，右邊的兩位數(shù)是10b+a，三位數(shù)是100a+10（a+b）+b，∴一般規(guī)律的式子為：（10a+b）×[100b+10（a+b）

+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）.

證明：左邊=（10a+b）×[100b+10（a+b）

+a]=（10a+b）（100b+10a+10b+a）=（10a+b）·（110b+11a）=11（10a+b）（10b+a），

右邊=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）

=（100a+10a+10b+b）（10b+a）=（110a+11b）·（10b+a）=11（10a+b）（10b+a），

左邊=右邊，所以“數(shù)字對(duì)稱等式”一般規(guī)律的式子為：（10a+b）×[100b+10（a+b）

+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）.

【方法指導(dǎo)】解決規(guī)律探索題，要注意分析和觀察規(guī)律，歸納特點(diǎn)，證明結(jié)論.