從一道習(xí)題的解法到一類問題的解法

義務(wù)教育教科書蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級上冊第92頁第10題如下：

用正方形的普通水泥磚和彩色水泥磚按下圖的方式鋪人行道：

（1）圖①中有彩色水泥磚 塊，圖②中有彩色水泥磚 塊，圖③中有彩色水泥磚 塊；

（2）像這樣，第n個(gè)圖形有彩色水泥磚

塊.

【分析】本題屬于根據(jù)圖形的變化尋找規(guī)律的題型，是一道典型的規(guī)律探索類問題，其解法很多，下面我們一起來分析解題的基本思路，從中歸納出解決這類規(guī)律探索題的基本方法，進(jìn)而運(yùn)用這些基本方法解決一類問題.

【解法1】觀察圖形從簡單到復(fù)雜的變化過程中，后一個(gè)圖案比前一個(gè)圖案多了幾塊彩色水泥磚，尋找出圖案的變化規(guī)律即可.本題中，第一個(gè)圖案有4=3×1+1塊彩色水泥磚；第二個(gè)圖案比第一個(gè)圖案多了3塊彩色水泥磚，共有7=（3×2+1）塊彩色水泥磚；第三個(gè)圖案比第二個(gè)圖案也多了3塊彩色水泥磚，共有10=（3×3+1）塊彩色水泥磚；……以此類推，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個(gè)圖形有彩色水泥磚（3n+1）塊.

【解法2】本題中的圖案可以看做是由一些正方形水泥磚組成的，當(dāng)n=1時(shí)，圖案中有一個(gè)白色正方形水泥磚，正方形水泥磚有4條邊，4條邊上各有一個(gè)彩色水泥磚，因此圖案中共有4×1塊彩色水泥磚；當(dāng)n=2時(shí)，圖案中有兩個(gè)白色正方形水泥磚，每個(gè)白色正方形水泥磚有4條邊，4條邊上各有一個(gè)彩色水泥磚，其中有一個(gè)彩色水泥磚重疊了，因此共有4×2-1塊彩色水泥磚；當(dāng)n=3時(shí)，圖案中有三個(gè)白色正方形水泥磚，每個(gè)白色正方形水泥磚有4條邊，4條邊上各有一個(gè)彩色水泥磚，其中有兩個(gè)彩色水泥磚重疊了，因此共有4×3-2塊彩色水泥磚；……以此類推，第n個(gè)圖形有彩色水泥磚4n-（n-1）=（3n+1）（塊）.

通過上述兩種常用的思路，可以解決許多類似的問題.

例1 用同樣大小的黑色棋子按圖2所示的方式擺圖形，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個(gè)圖形需棋子 枚（用含n的代數(shù)式表示）.

【解法1】本題中，第一個(gè)圖案有4=3×1

+1個(gè)黑棋子；第二個(gè)圖案比第一個(gè)圖案多了3個(gè)黑棋子，共有7=3×2+1個(gè)黑棋子；第三個(gè)圖案比第二個(gè)圖案又多了3個(gè)黑棋子，共有10=3×3+1個(gè)黑棋子；……以此類推，按照這樣的規(guī)律擺下去，則第n個(gè)圖形需棋子（3n+1）枚.

【解法2】本題中的圖案可以看作是由一些正方形組成的.當(dāng)n=1時(shí)，圖案中有一個(gè)正方形，正方形有4個(gè)頂點(diǎn)，因此圖案中共4×1枚棋子；當(dāng)n=2時(shí)，圖案中有兩個(gè)正方形，每個(gè)正方形有4個(gè)頂點(diǎn)，其中有一個(gè)頂點(diǎn)重復(fù)了，因此共有4×2-1枚棋子；當(dāng)n=3時(shí)，圖案中有三個(gè)正方形，每個(gè)正方形有4個(gè)頂點(diǎn)，其中有兩個(gè)頂點(diǎn)重復(fù)了，因此共有4×3-2枚棋子；……以此類推，第n個(gè)圖形需棋子4n-（n-1）=（3n+1）（枚）.

例2 如圖3所示，由一些點(diǎn)組成形如三角形的圖形，每條“邊”（包括兩個(gè)頂點(diǎn)）有n（n>1）個(gè)點(diǎn)，每個(gè)圖形總的點(diǎn)數(shù)S是多少？當(dāng)n=5，7，11時(shí)，S是多少？

【解法1】第一個(gè)圖案每條“邊”有2個(gè)點(diǎn)，共有3=3×1=3×（2-1）個(gè)點(diǎn)；第二個(gè)圖案每條“邊”有3個(gè)點(diǎn)，比第一個(gè)圖案多了3個(gè)點(diǎn)（每邊各增加一個(gè)點(diǎn)），共有6=3+3=3

×2=3×（3-1）（個(gè)）點(diǎn)；第三個(gè)圖案每條“邊”有4個(gè)點(diǎn)，比第二個(gè)圖案多了3個(gè)點(diǎn)（每邊各增加一個(gè)點(diǎn)），共有9=3+3+3=3×3=3×（4-1）（個(gè)）點(diǎn)；第四個(gè)圖案每條“邊”有5個(gè)點(diǎn)，比第三個(gè)圖案多了3個(gè)點(diǎn)（每邊各增加一個(gè)點(diǎn)），共有12=3+3+3+3=3×4=3×（5-1）（個(gè)）點(diǎn)；……以此類推，每條“邊”（包括兩個(gè)頂點(diǎn)）有n（n>1）個(gè)點(diǎn)，每個(gè)圖形總的點(diǎn)數(shù)S=3（n-1）.當(dāng)n=5時(shí)，S=12；當(dāng)n=7時(shí)，S

=18；當(dāng)n=11時(shí)，S=30.

【解法2】當(dāng)n=2時(shí)，每條“邊”有2個(gè)點(diǎn)，共2×3個(gè)點(diǎn)，頂點(diǎn)上的點(diǎn)重復(fù)計(jì)算了一次，所以共有2×3-3=3×（2-1）個(gè)點(diǎn)；當(dāng)n=3時(shí)，每條“邊”有3個(gè)點(diǎn)，共3×3個(gè)點(diǎn)，頂點(diǎn)上的點(diǎn)重復(fù)計(jì)算了一次，所以共有3×3-3=3×（3-1）個(gè)點(diǎn)；當(dāng)n=4時(shí)，每條“邊”有4個(gè)點(diǎn)，共4×3個(gè)點(diǎn)，頂點(diǎn)上的點(diǎn)重復(fù)計(jì)算了一次，所以共有4×3-3=3×（4-1）個(gè)點(diǎn)；當(dāng)n=4時(shí)，每條“邊”有5個(gè)點(diǎn)，共有5×3個(gè)點(diǎn)，頂點(diǎn)上的點(diǎn)重復(fù)計(jì)算了一次，所以共有5×3-3=3×（5-1）個(gè)點(diǎn)；……以此類推，每條“邊”（包括兩個(gè)頂點(diǎn)）有n（n>1）個(gè)點(diǎn)，每個(gè)圖形總的點(diǎn)數(shù)S=3（n-1）.當(dāng)n=5時(shí)，S=12；當(dāng)n=7時(shí)，S=18；當(dāng)n=11時(shí)，S=30.

你還有其他的方法嗎？寫出來與大家交流吧！

【小試牛刀】

1. （2012·青海）觀察下列一組圖形：

它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第n個(gè)圖形中共有 個(gè)★.

2. （2012·寧波）用同樣大小的黑色棋子按如圖5所示的規(guī)律擺放：

（1）第5個(gè)圖形有多少黑色棋子？

（2） 第幾個(gè)圖形有2013顆黑色棋子？請說明理由.

【參考答案】

1.3n+1；2.（1）18；（2）第n個(gè)圖需棋子3（n+1）枚，設(shè)第n個(gè)圖形有2013顆黑色棋子，則3（n+1）=2013 ，解得n=670，即第670個(gè)圖形有2013顆黑色棋子.