家庭生活中的數(shù)學(xué)

代數(shù)式是刻畫和研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，我們?cè)谌粘Ｉ钪谐３Ｒ眠@個(gè)數(shù)學(xué)模型來解決一些實(shí)際問題，下面舉例說明代數(shù)式知識(shí)在家庭生活中的一些妙用.

一、電視機(jī)屏幕有多大

例1 如圖1所示，小明家買了一臺(tái)74cm的電視機(jī)，電視機(jī)的長(zhǎng)為xcm，寬為ycm（包括邊緣部分），屏幕外邊緣部分長(zhǎng)的方向厚度為8cm，寬的方向厚度為4cm，求屏幕的面積.

【分析】根據(jù)題意，屏幕的面積即為圖中的陰影部分的面積.我們可以先計(jì)算出長(zhǎng)為y，寬為8的兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積，和長(zhǎng)為x，寬為4的兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積，然后計(jì)算重疊部分的面積.

解：屏幕的面積為（xy-8x-16y+128）cm2.

【說明】用這種方法計(jì)算屏幕的面積時(shí)，忘記加上重疊部分的面積是最常見的錯(cuò)誤之一.

二、心跳速率知多少

例2 人在運(yùn)動(dòng)時(shí)的心跳速率通常和人的年齡有關(guān).如果用a表示一個(gè)人的年齡，用b表示正常情況下這個(gè)人運(yùn)動(dòng)時(shí)所能承受的每分鐘心跳的最高次數(shù)，那么b

=0.8（220-a）.

（1） 正常情況下，14歲的小明在運(yùn)動(dòng)時(shí)所能承受的每分鐘心跳的最高次數(shù)是多少？

（2）小明的爸爸今年50歲，運(yùn)動(dòng)時(shí)10s內(nèi)心跳次數(shù)為20次，他有危險(xiǎn)嗎？

【分析】本題實(shí)際上是一道代數(shù)式求值題.（1）只要把a(bǔ)=14代入b=0.8（220-a）即可；（2）分別求出50歲的人運(yùn)動(dòng)時(shí)所能承受的每分鐘心跳的最高次數(shù)和這個(gè)人實(shí)際每分鐘心跳的次數(shù)，將二者進(jìn)行比較即可判斷.

解：（1）當(dāng)a=14時(shí)，b=0.8（220-a）=164.8≈164（次）.所以14歲的小明運(yùn)動(dòng)時(shí)所能承受的每分鐘心跳的最高次數(shù)是164次；（2）當(dāng)a=50時(shí)，b=0.8（220-a）=136（次）.而小明的爸爸實(shí)際每分鐘心跳的次數(shù)為20×6=120（次）.由于120<136，所以小明的爸爸按照這種情況運(yùn)動(dòng)應(yīng)沒有危險(xiǎn).

【說明】在進(jìn)行鍛煉時(shí)要注意安全，切不可適得其反.這里（1）中只能用去尾法取近似數(shù)，否則就不安全了.

三、建筑材料如何算

例3 （1）小明家住房的平面圖如圖2所示，其中衛(wèi)生間、廚房準(zhǔn)備用同一種瓷磚鋪，則需要鋪設(shè)瓷磚的面積和是（ ）.

A. 4xy B. 3xy

C. 2xy D. xy

（2） 小明家住房的窗戶形狀如圖3，上部是半圓形，下部是邊長(zhǎng)相同的四個(gè)小正方形，試計(jì)算窗戶的面積及窗框的總長(zhǎng)，并求當(dāng)a=50cm時(shí)，窗戶的面積及窗框的總長(zhǎng)的值分別是多少？（結(jié)果精確到0.1cm）

【分析】（1）結(jié)合圖形，分別計(jì)算出衛(wèi)生間和廚房的長(zhǎng)和寬，然后算出面積的和；（2）窗戶包括兩大部分，上面是半圓，其半徑是a，下面四個(gè)正方形，因此，窗戶的面積=半圓的面積+4個(gè)正方形的面積，窗框的總長(zhǎng)是所有框架的長(zhǎng)，即半圓弧長(zhǎng)加上15條等線段的長(zhǎng).

解：（1）衛(wèi)生間的長(zhǎng)為4x-2x-x=x，寬為y，因此面積為xy；廚房的長(zhǎng)為4y-2y

=2y，寬為x，因此面積為2xy.所以面積的和是3xy，所以選B.（2）窗戶的面積為4a2+■πa2，窗框的總長(zhǎng)為15a+πa.當(dāng)a=50cm時(shí)，窗戶的面積是4a2+■πa2=4×502+■×3.14×502=13925.0cm2；窗框的總長(zhǎng)為15a+πa=15×50+3.14×50=907.0（cm）.

【說明】這類計(jì)算問題，關(guān)鍵是找準(zhǔn)所要計(jì)算的圖形，不可重復(fù)，也不可遺漏.本題中，對(duì)半圓直徑所在的兩條線段或遺漏或重復(fù)是常見的錯(cuò)誤.

四、手機(jī)話費(fèi)怎樣繳

例4 某通信公司為了鼓勵(lì)多用手機(jī)，做出如下規(guī)定：每月通話時(shí)間60分鐘之內(nèi)（含60分鐘），每分鐘0.2元，超出部分每分鐘0.1元.小明的爸爸某月通話時(shí)間為a分鐘（a>60），請(qǐng)你幫他算算應(yīng)付多少錢？

【分析】由于小明的爸爸通話時(shí)間超出60分鐘，所以他的話費(fèi)應(yīng)分兩段繳納，60分鐘的話費(fèi)為60×0.2=12（元），超出部分的話費(fèi)為0.1×（a-60）=0.1a-6，再把它們加起來即為應(yīng)繳的話費(fèi).

解：應(yīng)繳的話費(fèi)為0.1×（a-60）+60

×0.2=（0.1a+6）（元）.

【說明】分段繳費(fèi)問題是生活中最常見的問題，在解決這類問題時(shí)，不同區(qū)間內(nèi)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是不一樣的，切不可“張冠李戴”.

五、水（電）費(fèi)分段算

例5 某市為鼓勵(lì)市民節(jié)約用水，對(duì)自來水用戶按如下標(biāo)準(zhǔn)收費(fèi)：若每月用水不超過15m3，則每立方米按a元收費(fèi)；若超過15m3，超過部分按每立方米2a元收費(fèi).小明的奶奶家一月份用水35m3，請(qǐng)你幫小明的奶奶算算，這個(gè)月她應(yīng)繳水費(fèi)多少元？

【分析】小明的奶奶家一月份用水35 m3，超過了15m3，所以水費(fèi)應(yīng)分兩部分計(jì)算，其中15m3部分每立方米按a元收費(fèi)，即為15a元；超過部分為35-15=20（m3），每立方米按2a元收費(fèi)，即為40a元.兩部分相加就是小明的奶奶家一月份應(yīng)繳的水費(fèi).

解：小明奶奶家一月份應(yīng)繳水費(fèi)為15a+2a（35-15）=15a+40a=55a（元）.

【說明】這也是分段收費(fèi)問題，要注意弄清不同的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，正確計(jì)算.

六、賺賠算算就知道

例6 小明的媽媽下崗后再就業(yè)，做起了小商品生意.第一次進(jìn)貨時(shí)，她以每件a元的價(jià)格購進(jìn)20件甲種小商品，以每件b元的價(jià)格購進(jìn)30件乙種小商品（a>b）.回來后，根據(jù)市場(chǎng)行情，她將這兩種小商品都以每件■元的價(jià)格出售.小明的媽媽問小明，在這次買賣中，她（ ）.

A.賺錢 B.賠錢

C.不賺不賠 D.無法確定賺還是賠

【解析】甲種小商品成本為20a元，賣出價(jià)錢為（10a+10b）元；乙種小商品成本為30b元，賣出價(jià)錢為（15a+15b）元.（10a

+10b）+（15a+15b）-20a-30b=5a-5b=5（a

-b），因?yàn)閍>b，所以a-b>0，即5（a-b）>0，即小明的媽媽在這次買賣中賺錢了.選A.

【說明】本題屬于商品利潤(rùn)問題，只要我們借助數(shù)學(xué)知識(shí)算一算，結(jié)論便一目了然.

七、選擇哪種方案好

例7 某市電話撥號(hào)上網(wǎng)有兩種收費(fèi)方式，用戶可以任選其一.

A：計(jì)時(shí)制：0.05元/分；

B：50元/月（限一部個(gè)人住宅電話上網(wǎng)）.此外，每一種上網(wǎng)方式都得加收通信費(fèi)0.02元/分.

（1）某用戶某月上網(wǎng)的時(shí)間為x小時(shí)，請(qǐng)寫出兩種收費(fèi)方式下該用戶應(yīng)該支付的費(fèi)用.

（2）如果某用戶估計(jì)一個(gè)月上網(wǎng)的時(shí)間為25小時(shí)，你認(rèn)為選擇哪種方式合算？

（3）上網(wǎng)時(shí)間為多少時(shí)，兩種收費(fèi)方式的費(fèi)用一樣？上網(wǎng)時(shí)間為多少時(shí)，選擇包月制方式合算？上網(wǎng)時(shí)間為多少時(shí)，選擇計(jì)時(shí)制方式合算？

【分析】要判斷選擇哪一種上網(wǎng)收費(fèi)方式比較合算，就需要設(shè)定某用戶某月上網(wǎng)時(shí)間，寫出兩種收費(fèi)方式下該用戶應(yīng)支付的費(fèi)用，再根據(jù)某用戶一個(gè)月內(nèi)上網(wǎng)時(shí)間確定采用哪種方式合算.要使兩種收費(fèi)方式的費(fèi)用一樣，可以通過簡(jiǎn)易方程求解.

解：（1）計(jì)時(shí)制每小時(shí)收費(fèi)3元，通信費(fèi)每小時(shí)1.2元，設(shè)某用戶某月上網(wǎng)時(shí)間為x小時(shí)，則按照A方式，每月要收費(fèi)（3

+1.2）x=4.2x（元）；按照B方式，每月要收費(fèi)（50+1.2x）（元）.（2）當(dāng)x=25時(shí)，按照A方式，每月要收費(fèi)4.2x=4.2×25=105（元）；按照B方式，每月要收費(fèi)50+1.2x=50

+1.2×25=80（元），所以選擇包月制方式合算.（3）要使兩種收費(fèi)方式的費(fèi)用一樣，則有4.2x=50+1.2x，解得x=■，即上網(wǎng)時(shí)間為■小時(shí)時(shí)兩種方式的費(fèi)用相同；上網(wǎng)時(shí)間大于■小時(shí)時(shí)，選擇包月制方式合算；上網(wǎng)時(shí)間小于■小時(shí)時(shí)，選擇計(jì)時(shí)制方式合算.

【說明】計(jì)算通訊費(fèi)用是我們經(jīng)常遇到的問題，有了數(shù)學(xué)知識(shí)這些問題就迎刃而解了.