“數(shù)”“形”結(jié)合妙處多

數(shù)學(xué)是一門(mén)研究“數(shù)”與“形”的學(xué)科，“數(shù)”與“形”有著密切的聯(lián)系.我們常常用代數(shù)的方法去處理幾何問(wèn)題，也經(jīng)常借助于幾何圖形來(lái)解決代數(shù)問(wèn)題，這種“數(shù)”與“形”之間的相互應(yīng)用是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法——數(shù)形結(jié)合.它可以把原來(lái)抽象的“數(shù)”借助直觀的“形”來(lái)闡明中間的復(fù)雜關(guān)系，即“以形助數(shù)”；也可以把原來(lái)變化莫測(cè)的“形”用“數(shù)”來(lái)說(shuō)明其中的內(nèi)在規(guī)律.這樣可以幫助我們將抽象問(wèn)題直觀化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，從而達(dá)到優(yōu)化解題途徑的目的.下面我們就一起見(jiàn)證“數(shù)”“形”結(jié)合的妙處吧！

一、以“形”助“數(shù)”，數(shù)形結(jié)合

由于“數(shù)”和“形”是一種對(duì)應(yīng)，有些數(shù)量比較抽象，我們難以把握，而“形”具有形象、直觀的優(yōu)點(diǎn)，能從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中凸顯最本質(zhì)的特征，因此我們可以把“數(shù)”的對(duì)應(yīng)——“形”找出來(lái)，利用圖形來(lái)解決問(wèn)題.

例1 A、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是2.若線段AB的長(zhǎng)為3，則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是 .

【分析】如果從“數(shù)”的角度思考，往往會(huì)漏解.由于數(shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)有對(duì)應(yīng)關(guān)系，不妨從“形”的角度分析，畫(huà)出數(shù)軸并在數(shù)軸上找到點(diǎn)A的位置，根據(jù)線段AB的長(zhǎng)度為3以及數(shù)軸可知，點(diǎn)B可以在點(diǎn)A的左邊也可以在點(diǎn)A的右邊，從而確定點(diǎn)B 對(duì)應(yīng)的數(shù).

【解答】由數(shù)軸（如圖1所示）分析可知：點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是-1或5.

【說(shuō)明】此題中巧妙地利用數(shù)形結(jié)合，將抽象的數(shù)的問(wèn)題變?yōu)橹庇^化的形的問(wèn)題，為我們的解題提供了方便.

例2 y+1+y-2+y-3的最小值是 .（競(jìng)賽題）

【分析】顯然此題我們?nèi)魪摹皵?shù)”的角度考慮，則需要分類(lèi)討論，比較繁瑣，因此我們不妨換一個(gè)角度，從“形”的方面來(lái)研究，讓點(diǎn)A、B、C對(duì)應(yīng)數(shù)軸表示的數(shù)-1、2、3，D點(diǎn)為數(shù)軸上的任意一點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)的數(shù)為y（如圖2），要使得y+1+y-2+y-3的值最小，就是要使AD+DC+DB的值最小.為此，首先必須使得AD+DB的值盡可能地小.點(diǎn)D在線段AB上（包括端點(diǎn)），此時(shí)有AD+DB=AB=4，這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求AB+CD的最小值，所以當(dāng)D與C重合時(shí)，AB+CD的值最小，即y=2時(shí)，y+1+y-2+y-3的值最小，最小值為4.

【解答】當(dāng)y=2時(shí)，y+1+y-2+y-3的值最小，最小值為4.

【說(shuō)明】絕對(duì)值的求和問(wèn)題，常利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為數(shù)軸（直線）上的線段求和問(wèn)題，解決起來(lái)顯然要比從“數(shù)”的角度解決簡(jiǎn)單.

二、以“數(shù)”解“形”，數(shù)形結(jié)合

雖然形有形象、直觀的優(yōu)點(diǎn)，但在定量方面還必須借助代數(shù)的計(jì)算，特別是對(duì)于較復(fù)雜 的“形”，不但要正確地把圖形數(shù)字化，而且還要留心觀察圖形的特點(diǎn)，發(fā)掘題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質(zhì)或幾何意義，把“形”正確表示成“數(shù)”的形式，進(jìn)行分析計(jì)算.

例3 有理數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖3所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）.

A.a+b>0 B.a-b>0

C.a·b>0 D.■>0

【分析】由數(shù)軸上表示有理數(shù)a、b的點(diǎn)的位置可知：a<0，b>0且a0，a-b<0，a·b<0，■<0.

【解答】選A.

【說(shuō)明】顯然本題需要根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置挖掘隱含的條件，從“數(shù)”的角度去看“形”，通過(guò)數(shù)形結(jié)合巧妙地解決問(wèn)題.

例4 有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖4所示，試化簡(jiǎn)a+c-a+b+c-b-a+b+c.

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)我們知道，要想化簡(jiǎn)絕對(duì)值就必須先判定a+c、a+b+c、b-a、b+c的正負(fù)，然后求絕對(duì)值，合并.顯然根據(jù)數(shù)軸與有理數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以很清楚地判斷a、b、c的正負(fù)情況以及它們的絕對(duì)值的大小情況，從而根據(jù)有理數(shù)的加法以及減法法則進(jìn)一步判定a+c、a+b+c、b-a、b+c的正負(fù)，從而再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)解決問(wèn)題.

【解答】由數(shù)軸可知：a>0，ca>b，可得： a+c<0，a+b+c<0，b-a<0，b+c<0.則原式=-（a+c）+（a+b+c）+（b-a）-（b+c）= -a-c+a+b+c+b-a-b-c=-a+b-c.

【說(shuō)明】化簡(jiǎn)含絕對(duì)值的代數(shù)式，是比較典型的利用數(shù)形結(jié)合思想解決的問(wèn)題.首先應(yīng)結(jié)合數(shù)軸，判斷出絕對(duì)值內(nèi)代數(shù)式的正負(fù)，再去掉絕對(duì)值符號(hào)，合并同類(lèi)項(xiàng)化簡(jiǎn).

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生說(shuō)過(guò)，“數(shù)無(wú)形時(shí)不直觀，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微”，說(shuō)明數(shù)和形是相互依賴的，所以研究數(shù)量關(guān)系時(shí)，要聯(lián)系圖形，研究圖形時(shí)，常常將其量化，通過(guò)形象思維這個(gè)中間環(huán)節(jié)提高抽象思維的能力，加深對(duì)某些抽象關(guān)系的理解能力，同時(shí)也能使解題手段從“單一”走向“靈活”，培養(yǎng)思維的靈活性.因此同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中要不斷加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的理解，并加以靈活運(yùn)用，使我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更有意義.