由一道習(xí)題引出的“無關(guān)”類問題

小明說：“請你任意想一個數(shù)，把這個數(shù)乘2后加8，然后除以4，再減去你原來所想的那個數(shù)的■，我可以知道你計算的結(jié)果是2. ”你相信嗎？請與同學(xué)交流.（義務(wù)教育教科書蘇科版《數(shù)學(xué)》七年級上冊第93頁第18題）

解：設(shè)任意想的那個數(shù)為x，根據(jù)題意，得代數(shù)式■（2x+8）-■x，化簡得2.所以這個代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，即x取任意一個數(shù)，這個代數(shù)式的值都是2.

在上面的問題中，列出的代數(shù)式是與x有關(guān)的，但化簡后卻不含有字母x，我們把這類問題稱之為“與某個字母無關(guān)”的問題.下面舉例說明這類問題的解法.

例1 多項式（xyz2+4yx-1）+（-3xy

+z2yx-3）-（2xyz2+xy）的值（ ）.

A.與x，y，z的大小無關(guān)

B.與x，y的大小有關(guān)，與z的大小無關(guān)

C.與x的大小有關(guān)與y，z的大小無關(guān)

D.與x，y，z的大小都有關(guān)

【解析】先化簡，結(jié)果中不含哪個字母，代數(shù)式的值就與這個字母無關(guān).

原式=xyz2+4yx-1-3xy+z2yx-3-2xyz2-xy=（1+1-2）xyz2+（4-3-1）xy+（-1-3）=-4，結(jié)果與字母x，y，z的大小無關(guān)，所以選A.

例2 有這樣一道題：“當(dāng)a=2013，b

=-2014時，求多項式7a3-6a3b+3a2b+3a3+6a3b-3a2b-10a3+2013的值.”小明說：本題中a=2013，b=-2014是多余的條件；小強馬上反對說：這不可能，多項式中含有a和b，不給出a、b的值怎么能求出多項式的值呢？你同意哪位同學(xué)的觀點？請說明理由.

【解析】條件是否多余，關(guān)鍵看化簡后的代數(shù)式是否含有字母a、b.

原式=（7+3-10）a3+（-6+6）a3b+（3-3）·a2b+2013=2013，結(jié)果不含有a、b，所以小明同學(xué)的觀點正確，本題中a=2013，b=-2014是多余的條件.

例3 已知代數(shù)式2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y-1的值與字母x的取值無關(guān)，求a和b的值.

【解析】因為代數(shù)式的值與字母x的取值無關(guān)，所以合并同類項后x2和x項的系數(shù)必為0，從而可求出a和b的值.

原式=（2-2b）x2+（a+3）x-6y+5，所以2-2b=0，a+3=0，即a=-3，b=1.

由上可見，“無關(guān)”類問題是整式加減中的一類重要問題，解決這類問題的基本步驟是：先化簡題目給出的代數(shù)式，再看化簡后的結(jié)果中不含有哪一個字母，則這個代數(shù)式的值就與這個字母無關(guān).“無關(guān)”類問題主要有：（1）直接說明“無關(guān)”，如例1；（2）間接說明“無關(guān)”，如例2；（3）直接應(yīng)用“無關(guān)”，如例3；（4）間接應(yīng)用“無關(guān)”，如下面的練習(xí)題.

練習(xí) 已知P=■m-1，Q=m2-■m（m為任意實數(shù)），則P、Q的大小關(guān)系為（ ）.

A. P >Q B. P =Q

C. P