“有理數(shù)”學習中常見錯誤辨析

有理數(shù)的有關(guān)概念和運算是初中數(shù)學的重要基礎(chǔ)，也是中考必考的內(nèi)容.從小學到中學，由于同學們認識的數(shù)與所學的知識發(fā)生“錯位”，造成同學們在初學時錯誤百出，學習困難.下面列舉一些常見錯誤，請同學們引以為戒.

一、 基本概念理解不到位，造成答題錯誤

例1 在下列實數(shù)中，

是分數(shù).

-8，5.23，■，0，■，+3，0.3

【錯誤解答】5.23，■，■.

【錯解成因】對分數(shù)概念的本質(zhì)認識不夠，看到小數(shù)和分數(shù)形式的數(shù)就認為是有理數(shù).

【正確解答】5.23，■，0.3.

【方法規(guī)律】小數(shù)有有限小數(shù)、無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)三類.對于任意有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化成分數(shù)，如0.3=■，它是分數(shù)；而無限不循環(huán)小數(shù)不能化成分數(shù)，所以無限不循環(huán)小數(shù)就不是有理數(shù)，如■，表面上是分數(shù)的形式，但實際上，■也是無限不循環(huán)小數(shù)，不是分數(shù).

例2 如果-a=-a，下列成立的是 （ ）.

A.a<0 B.a≤0 C.a>0 D.a≥0

【錯誤解答】A.

【錯解成因】忽視了a=0這一結(jié)論.

【正確解答】B.

【方法規(guī)律】由a=a或a=-a成立，確定a的取值范圍時，往往只考慮到a>0或a<0，而忽視了a=0這一結(jié)論.此題也可以根據(jù)a≥0，得-a≥0，從而a≤0.

例3 以下計算中：①（-3）4=-81；②■5=■=■；③-（-2）4=-16；④-■=-■.其中正確的有（ ）.

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

【錯誤解答】D.

【錯解成因】①、②兩個計算的底數(shù)判斷不清，造成運算錯誤.

【正確解答】B.

【方法規(guī)律】正確理解乘方的意義和識別底數(shù)是計算乘方的關(guān)鍵.同學們學習時要注意（-3）4與-34，■5與■意義的不同.

二、運算法則掌握不到位，造成計算錯誤

例4 計算：-12×■-■-1.

【錯誤解答】解：原式=-12×■-12×■-1=-9-2-1=-12.

【錯解成因】運用乘法分配律運算時，常常會漏乘其中的某一個加數(shù)或者弄錯符號.

【正確解答】解：原式=-12×■+（-12）×-■+（-12）×（-1）=-9+2+12=5.

【方法規(guī)律】運用乘法分配律計算時，可以把括號里的內(nèi)容理解為省略加號和括號的和，然后把-12與括號的各個加數(shù)分別相乘，再把所得的積相加.

例5 計算-■÷■-■.

【錯誤解答】解：原式-■÷■--■÷■=-1+■=■.

【錯解成因】錯誤地運用運算律.

【正確解答】解：原式-■÷■-■=-■÷■=-■×■=-3.

【方法規(guī)律】乘法分配律可以推廣到除法中.當被除數(shù)是“和”的形式時，可以把除數(shù)分配給“和”中的每一個數(shù)；當除數(shù)是“和”的形式時，則不能把被除數(shù)分配給“和”中的每一個數(shù).本題的正確的解法是先算括號內(nèi)的運算.

三、其他錯誤

例6 若abc<0，試求■+■+■的所有可能值.

【錯誤解答】解：因為abc<0，所以a<0，b<0，c<0.所以原式=■+■+■=-1-1-1=-3.

【錯解成因】思考問題不全面，片面地認為abc<0時，a、b、c全是負數(shù).

【正確解答】因為abc<0，所以a、b、c的值可分為兩正一負或三負兩種情況.

（1）兩正一負時，設(shè)a>0，b>0，c<0，則原式=■+■+■=1+1-1=1；

（2）三負時，即a<0，b<0，c<0，則 原式=■+■+■=-1-1-1=-3.

綜上所述，■+■+■的值為1或-3.

【方法規(guī)律】正確運用分類思想是解題的關(guān)鍵.由abc<0可知其中負因數(shù)為奇數(shù)個，分為一個負因數(shù)和三個負因數(shù)的兩種情況.另外，由式子■+■+■的特殊性（循環(huán)性），無論a、b、c中哪個的值為負，結(jié)果都是一樣的，所以在計算時，我們不用再分a<0、b<0或c<0三種情況來討論，只要假設(shè)其中的一種情況即可.

從上面的錯誤解析中可以看出，同學們要學好有理數(shù)這個單元的內(nèi)容，必須真正理解有理數(shù)中各個概念的外延和內(nèi)涵，對于計算題先要理清算理再進行計算，對于一些特殊的問題要學會運用分類討論和數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想來解決問題.