巧用三角函數(shù)求最值的方法

求三角函數(shù)最值是高中數(shù)學(xué)中較常見(jiàn)的題型，也是多年來(lái)高考和數(shù)學(xué)競(jìng)賽的熱點(diǎn)。由于求解這類(lèi)題目需要思路開(kāi)闊，技巧性強(qiáng)，學(xué)生往往感到困難，所以是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)。下面，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，提煉出較為典型的若干實(shí)例，啟示學(xué)生如何進(jìn)行分類(lèi)探求三角函數(shù)的最值方法。

一、 利用三角函數(shù)的有界性求最值

利用三角函數(shù)的有界性求三角函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于應(yīng)用三角函數(shù)的公式、性質(zhì)將三角函數(shù)式化為復(fù)角的單名函數(shù)式或某些已知其最值的三角函數(shù)，如|sinx|≤1、|cosx|≤1、|ctgx|≥2，…等基本形式。

例1 求函數(shù)y=的最值。

解：去分母得，3sinx+2ycosx=1-5y，整理得：sin（x+le）=1-5y。

其中l(wèi)e=arctg，即sin（x+le）=。

∵|sidf4d39d6398758ce51958ff2c327bdaa2b5c0f66363ad991bb1494104700167en（x+le）|≤1，∴≤1。

整理得，21y2-10y-8≤0。

解得≤y≤，故ymax=，ymin=。

例2 求函數(shù)y=（cosx+sinx）（cosx+sinx）。

解：y=sin2x+cos2x+（+1），sinxcosx=sin2x+cos2x+=2sin（2x+le）+。

其中l(wèi)e由cosle=，sinle=決定。

又因?yàn)?-1≤sin（2x+le）≤1，所以≤y≤。

即 ymax=，ymin=。

二、用變量代換法求最值

求三角函數(shù)的最值時(shí)，有時(shí)選取適當(dāng)?shù)淖兞看媸街械娜呛瘮?shù)式，能使問(wèn)題迎刃而解。但作變量代換時(shí)要特別注意式中變量的取值范圍。

例3 求函數(shù)y=的最值。

解：令t=sinx+cosx，（t≠-1），則sinxcosx=。

∵t=sin（x+），∴-2≤t≤， 且（t≠-1）。

又y==（t-1），由此可得，ymax=，ymin=-。

例4 求函數(shù)y=-cos2x-4sinx+6的最值。

解：把原函數(shù)變形得y=sin2x-4sinx+5。

設(shè)sinx=t （-1≤t≤1），

則得，y=t2-4t+5=（t-2）2+1。

又∵-1≤t≤1，∴當(dāng)t=1時(shí)，ymin=2。

當(dāng)t=-1時(shí)，ymax=10。

三、應(yīng)用平均值不等式求最值

應(yīng)用平均值不等式來(lái)求三角函數(shù)的最值，關(guān)鍵在于恒等變形，把三角函數(shù)式變?yōu)槟軕?yīng)用平均值不等式的基本形式。

例5 求函數(shù)y=+（a>b>0，0

解：∵y=+=a2（1+tg2x）+b2（1+ctg2x）=a2+b2+（a2 tg2x+b2ctg2x）≥a2+b2+2=a2+b2+2ab=（a+b）2，當(dāng)且僅當(dāng)atgx=bctgx，即tg2x=，tgx=時(shí)，ymin=（a+b）2。

四、利用幾何圖形性質(zhì)求最值

利用幾何圖形性質(zhì)求最值的特點(diǎn)是直觀、簡(jiǎn)潔，將最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求直線的斜率問(wèn)題，求形如y=的最值關(guān)鍵在于把F（f（θ），yθ）=0看作一條曲線的方程，那么y=等于曲線上的動(dòng)點(diǎn)A（f（θ），g（θ））與定點(diǎn)B（-a，-b）的斜率KAB，要求y的最值，只需在曲線上找一點(diǎn)，使KAB最大或最小。

例6 求函數(shù)y=的最值。

分析：如下圖，函數(shù)y的幾何意義是定點(diǎn)A（2，2）和動(dòng)點(diǎn)B（cosθ，sinθ）的連線的斜率KAB，動(dòng)點(diǎn)B的軌跡是圓x2+y2=1，當(dāng)過(guò)點(diǎn)A的直線與圓相切時(shí)，切線AB、AB'的斜率KAB、KAB'就是所求的最值。

解：如圖所示，設(shè)AB、AB'的方程為y-2=k（x-2），即kx-y-2k+2=0，由點(diǎn)到直線距離公式得：=1，解之得k=，于是KAB=，KAB'=。

故ymin=， ymax=。