一道經(jīng)典等差數(shù)列習(xí)題的研究

在等差數(shù)列的復(fù)習(xí)課時(shí)，很多數(shù)學(xué)教師會(huì)將這道習(xí)題當(dāng)作

例題：

等差數(shù)列{xn}的前10項(xiàng)的和S10=100，前100項(xiàng)的和S100=10，求S110。

等差數(shù)列的求和問題，天經(jīng)地義地會(huì)聯(lián)想到求和公式：Sn=nx1+n（n-1）d，由兩個(gè)已知條件，恰好構(gòu)成二元一次方程組，求出x1，d，就能求出S110了。

【法一】設(shè)首項(xiàng)為x1，公差為d，則

10x

+d=100

100x

+d=10，解得

x

=

d=

，于是S110=110x1+=-110。

有道是“說起來容易，做起來難” ，能正確求出x1，d的同學(xué)寥寥無幾，好像是走進(jìn)死胡同了，其實(shí)不解方程組，也能“柳暗花明又一春” ！（這是興趣小組的同學(xué)共同摸索出來的）

【法二】在得到

10x

+d=100

100x

+d=10后，不解方程組，而是去進(jìn)行變形：兩式相減（下式-上式），可得90x1+=-90，于是x1+=-1，從而S110=110 x1+=110×（x1+）=-110。

求和公式Sn=nx1+n（n-1）d本質(zhì)上是n的常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)，用其變形式Sn=an2+bn無疑會(huì)方便并且快捷些。

【法三】設(shè)等差數(shù)列{xn}的前n項(xiàng)的和為Sn=an2+bn，則100=S10=100a+10b

10=S100=10000a+100b。

解得

a=-

b=

，于是S110=1102a+110b=-110。

【法四】將100=S10=100a+10b

10=S100=10000a+100b的兩式相減，得90=-9900a-

90b，于是110a+b=-1，從而S110=1102a+110b=110×（110a+b） =-110。

法四毫無疑問是法二的類比產(chǎn)物。比較一下，就可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)的知識(shí)面越廣，解題思維越靈活，視野自然也越開闊……

等差數(shù)列的求和公式不是還有Sn=嗎？也能一鏢中的嗎？如果掌握了等差數(shù)列的這樣一個(gè)性質(zhì)：若m+n=p+q（四個(gè)數(shù)都是正整數(shù)），則xm+xn=xp+xq。別說，還真有可能馬到成功。

【法五】S100-S10=x11+x12+x13+…+x100==，可得x1+x110=-2，于是S110== ×（-2）=-110。

其實(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)非常多，如果用得恰到好處，自然會(huì)讓人耳目一新。

【法六】∵{xn}是等差數(shù)列，∴數(shù)列S10，S20-S10，S30-S20，…，S100-S90，S110-S100構(gòu)成了一個(gè)新的等差數(shù)列，如果設(shè)其公差為d'，則前10項(xiàng)和為10S10+d'=S10+（S20-S10）+（S30-S20）+…+（S100-S90）=S100，代入相關(guān)數(shù)據(jù)，可得d'=-22，于是S110-S100=S10+10d'，從而S110=-110。

眾所周知，二次函數(shù)或二次方程的計(jì)算量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于一次的，解答此題能否像孫悟空一樣也變出個(gè)花樣來呢？

【法七】∵{xn}是等差數(shù)列，∴是n的一次函數(shù)，設(shè)其為=kn+b，則

=10k+b

=100k+b，解得k=

b=

，于是=110k+b=-1，從而S110=-110。

既然是n的一次函數(shù)，借用斜率相等來一下“乾坤大挪移”，豈不思路更簡捷？

【法八】∵{xn}是等差數(shù)列，∴{}是等差數(shù)列，于是（10，）（100，），（110，）三點(diǎn)共線，從而=，不難解得S110=-110。

這個(gè)命題不僅可以一題多解，而且其推廣命題用得也非常

廣泛：

推廣命題：若m≠n時(shí)，等差數(shù)列{xn}的前m項(xiàng)的和Sm=n，前n項(xiàng)的和Sn=m，則Sm+n=-m-n。

其證明方法也是“八仙過海，各顯神通”。這里用法四的方法，水到渠成地證一下：

證明：設(shè)等差數(shù)列{xn}的前n項(xiàng)的和為Sn=an2+bn，則m=Sn=n2a+nb

n=Sm=m2a+mb，兩式相減，得m-n=（n2-m2）a+（n-m）?！適≠n，∴-1=（m+n）a+b，于是Sm+n=（m+n） [（m+n）a+b]=-m-n。

但學(xué)生往往把等差數(shù)列中的另一個(gè)命題與上述推廣命題

混淆。

干擾命題：若m≠n時(shí)，等差數(shù)列{xn}的xm=n，xn=m，則xm+n=0。

干擾命題的證明非常容易，在此略過。筆者想強(qiáng)調(diào)的是，區(qū)分這兩個(gè)命題的最佳方法是用特殊值法，進(jìn)行辨別：

當(dāng)m=1，n=2時(shí)，x1=2，x2=1，公差d=-1，x3=1+（-1）=0；

S1=x1=2，S2=1，x2=-1，公差d'=-3，x3=-4，S3=x1+x2+x3=2+（-1）+（-4）=-3。

總之，掌握等差數(shù)列的這道經(jīng)典題的解答，不僅有利于學(xué)生全面加深等差數(shù)列的相關(guān)公式和性質(zhì)，而且對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)有著極大的促進(jìn)作用。教師如能因材施教、因勢(shì)引導(dǎo)，學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力將會(huì)有明顯的提高。