中學數(shù)學概念學習的要求探討

數(shù)學概念的掌握首先在于理解。理解就是明確概念的對象是存在的，并且懂得對象的本質屬性和屬性之間的聯(lián)系以及能夠闡明這種聯(lián)系的邏輯依據。因此，掌握數(shù)學概念的要求就是運用邏輯思維的形式，根據邏輯思維的規(guī)律和方法來達到對于所研究對象的本質的認識。在數(shù)學概念的學習中，這種要求具體地表現(xiàn)在以下幾個方面。

一、要掌握定義對象的存在性

數(shù)學概念定義對象的存在性，一方面可用定義所標志的實際事物來說明，另一方面還需要用邏輯證明的方法來說明。這種對概念作辯證唯物的解釋在中學數(shù)學教材中是通過以下方式來實現(xiàn)的：

（1）舉出定義對象的實際事例。例如平行線的實際事例有鐵軌、直尺邊緣等。

（2）給出概念的存在定理。例如證明“垂直于同一條直線的兩條直線不能相交”，這個定理的證明說明了平行線定義在邏輯上是合理的，平行線的概念是實際存在的。又如命題“三角形三條邊的垂直平分線交與一點”實際上就是“三角形外心”的存在定理。

數(shù)學概念的存在定理，既可在下定義之前給出，也可在下定義之后給出。在教學中應根據組織教材的需要，作出適當?shù)陌才拧?/p>

（3）數(shù)學概念的定義有一種叫做“發(fā)生式定義”。例如圓的概念可定義為“圓是一個動點在平面內與一定點作等距離運動所成的封閉曲線”。這樣的定義本身說明了定義對象的存在性。因此，定義對象的存在，在教學中是采取多種方式來說明的。

二、要掌握概念的名稱的作用

概念是從實際事物中抽象出來的。抽象的結果是用“詞”來表現(xiàn)的，通常把這種概念的詞的表現(xiàn)叫做“概念的名稱”。例如“相似三角形”這一名稱，它除了表示概念所指示的對象之外，還表示了對象的屬性。

概念是一種思想，概念的名稱是與這一種思想緊密聯(lián)系的符號。這種聯(lián)系發(fā)生在形成概念的過程之中或過程之后。由于使用名稱是與概念相聯(lián)系的，概念的名稱所指的不是一個專門的對象，而是一類對象。所以，結合對象來命名的作用，就是借此可以揭示概念的外延。

在數(shù)學概念的教學中，學生企圖以死記硬背名稱、術語的方式來掌握概念，這往往是由于他們不懂得概念的名稱的由來和它的作用。引導學生正確使用概念的名稱或術語對正確的思維具有很重要的意義，因為不掌握概念名稱的作用也正是造成歪曲概念的原因。

三、要掌握原始概念的作用

數(shù)學概念的教學，一方面要利用關于數(shù)和形的實際事例的感性材料進行抽象與概括來揭示概念所反映的本質屬性，另一方面在給概念下定義的過程中要利用以前已知的概念來給出新的概念的定義。這是因為新概念所反映的屬性必須以舊有概念的名稱來表達。如此類推，必然在某些概念之前，沒有任何已知的數(shù)學概念可作為定義的依據。像這些不能給予任何定義的概念稱為原始概念。在中學數(shù)學中，如“點”“線”“面”“元素”“集合”“對應”等都是據以定義其他數(shù)學概念的原始概念。

原始概念也是在實際事例中抽象出來的，但它是起于直接經驗的。例如集合的概念定義為“具有某種屬性的東西的全體”。這種定義不以任何數(shù)學概念為依據。這種定義的理解，全憑實際事例的指示；只有通過直接經驗才能把握它的意義。一般稱它為指示的定義或描述性的定義。

在數(shù)學概念的教學中，應當使學生懂得原始概念是一切其他概念的定義的出發(fā)點。

四、要掌握給概念下定義的規(guī)則

任何科學概念的敘述必須是明顯的、確定的，否則便不能產生反映事物屬性的作用。而數(shù)學概念和概念之間的聯(lián)系首先通過概念的定義來反映的。因此，要求概念之間的聯(lián)系必須是邏輯的聯(lián)系。因為這種邏輯的聯(lián)系是根據正確思維的規(guī)律建立起來的，所以，給概念下定義必須符合一定的規(guī)則。

大家知道，給概念下定義不能循環(huán)。循環(huán)定義的表現(xiàn)，一種是既用甲概念來定義乙概念，又用乙概念來定義甲概念。例如“相交成直角的兩條直線叫做互相垂直”和“互相垂直的兩條直線的交角叫做直角”是循環(huán)的定義。另一種是純粹的“同語反復”。例如互為質數(shù)的數(shù)叫做互質數(shù)。這樣定義的結果是什么也沒有說明。

在學生的回答中，常常出現(xiàn)循環(huán)定義的錯誤，這往往是由于對本門學科的原始概念的作用缺乏足夠的認識。在一門學科的開始階段，基本概念的教學必須注意避免這種錯誤。

概念和它的定義又必須是相稱的。如果不相稱，必然產生縮小或擴大概念所應該具有的外延的錯誤。例如“無理數(shù)是無限小數(shù)”就是擴大了無理數(shù)概念的外延，因為像π? lg2等無理數(shù)都不能夠用有理數(shù)的方根來表示。

在學生的回答中，這一種錯誤也是常見的。這往往是由于對概念的內涵與外延沒有真正掌握。在概念的教學中，必須十分重視根據概念的名稱和定義來揭示概念的外延，亦即對概念進行分類。

教師要能正確地運用概念，就必須在掌握概念時不僅了解概念內涵中所包括的一切屬性，而且還必須了解怎樣把鄰近的概念或彼此相反、彼此對立的概念區(qū)別開來。這就要求教師要掌握一定的概念體系。

掌握概念的體系就是既要熟悉比目前所研究的概念更為一般的概念，又要熟悉比目前所研究的概念更為特殊并且是從屬于它的概念。

例如方程和函數(shù)是不同的數(shù)學概念，它們分別各自構成自己的體系，但又彼此有概念上的聯(lián)系。方程實質上是用函數(shù)來下定義的額，所以，函數(shù)是比方程更為廣泛的概念。

因此，教師對教材的掌握首先表現(xiàn)出對一定的概念體系的掌握。

五、要掌握概念的運用

概念的運用是把已經概括了的一般的屬性應用到個別的、特殊的場合。這又叫做概念的具體化，這種具體化主要表現(xiàn)為把概念作為判斷的工具。在數(shù)學問題中，經常利用定義來判定圖形屬性或者數(shù)量之間的關系。在數(shù)學概念的教學中，概念每一次的具體化，都將使學生對概念有更全面、更深刻的理解和掌握。

例如運用絕對值和算術根的概念求得=|a|和=|a-b|，便可說明數(shù)學概念是在運用它們的練習過程中進一步地理解、明確和鞏固起來的。所以，概念的運用又反過來對理解和掌握概念起著重要的作用。

總之，在中學數(shù)學概念的學習中，我們只有掌握它的規(guī)范與要求，才能切實地提升自身的數(shù)學素養(yǎng)，奠定人生的發(fā)展基石。