基于幾何畫板應(yīng)用的教學設(shè)計：曲線上一點處的切線

摘 要：在層出不窮、功能繁多的眾多現(xiàn)代化多媒體教學軟件中，幾何畫板特有的動畫移動、操作簡單、兼容性強等功能打破了傳統(tǒng)的作圖難、作圖煩、圖形僵化不動等限制，為數(shù)學教學，特別是圖形問題教學注入了無限的活力. 本篇教學設(shè)計注重幾何畫板在教學中的靈活應(yīng)用，通過幾何畫板動態(tài)演示教學中的各種圖形變換，從而使學生能夠形象直觀地體會數(shù)學思想和方法，提高學習效益.

關(guān)鍵詞：幾何畫板；動態(tài)；逼近

[?] 教材分析

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)最值、函數(shù)單調(diào)性等重要性質(zhì)的重要工具，是研究線段科學技術(shù)必不可少的工具. 曲線上一點處的切線是《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》教學的奠基，它不僅僅是導(dǎo)數(shù)意義的幾何體現(xiàn)，而且在其研究過程中所涉及的辯證思想本身就具有重要的教育價值，它是激發(fā)學生自主學習的動機.

蘇教版選修2-2教科書是利用局部“以直代曲”的辯證思想，通過“問題串”的設(shè)計，借助幾何畫板這個現(xiàn)代化的多媒體教學手段，利用形象直觀地“放大圖形”的樸素方法，逐層深入，幫助學生理解“以直代曲”的辯證思想；再運用幾何畫板動態(tài)地反映由割線逼近切線的過程，體會割線斜率與切線斜率的關(guān)系，把“以直代曲”的思想數(shù)量化，由學生自己親身經(jīng)歷和感知由割線逼近變成切線的動態(tài)過程. 這樣做不但為教師和學生提供了廣闊的活動空間，使學生更深刻形象地體會到由“量變到質(zhì)變”的哲學原理，而且還促進了教學方式和學習方式的轉(zhuǎn)變.

[?] 教學目標

1. 通過實例分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導(dǎo)數(shù)概念的幾何背景；

2. 借助幾何畫板，應(yīng)用形象直觀的“放大圖形”的樸素方法，幫助學生形象直觀地理解“以直代曲”的辯證思想，并介紹數(shù)學史，培養(yǎng)學生的愛國熱情；

3. 在理解“以直代曲”思想的基礎(chǔ)上，運用幾何畫板的動點功能，掌握“割線逼近切線法”，并會用“無限逼近法”求曲線在一點處的切線的斜率.

[?] 教學重點

1. “以直代曲”的思想的滲透；

2. “割線逼近切線法”的掌握和初步運用.

[?] 教學難點

“以直代曲”思想及“割線逼近切線法”的理解.

[?] 教學方法

情境·提煉·引導(dǎo)·探究.

[?] 教學手段

多媒體幾何畫板課件輔助教學.

[?] 教學過程

1. 復(fù)習回顧

3. 建構(gòu)數(shù)學

（1）在如何刻畫曲線在某一點處的變化趨勢的驅(qū)動下，提出“放大圖形”的樸素方法；

學生在如何刻畫曲線在某一點處的變化趨勢的驅(qū)動下，為能較清楚觀察出曲線在某一點處的變化趨勢，“放大圖形”就成了一條切實可行的方法，為此筆者設(shè)計了以下探究步驟：

探究1：通過將P點附近的曲線放大，你能得出怎樣的結(jié)論？

解決方法：利用幾何畫板的作圖、放大功能，借助圖形的視覺效果，形象、直觀地放大圖形，使學生較易接受和理解“以直代曲”.

學生活動：你能舉出平時接觸過的“以直代曲”的例子嗎？

設(shè)計意圖說明：對于圖形的放大功能和處理的易操作性，幾何畫板在此時的教學中能夠得到很好的體現(xiàn)，讓學生感知到“以直代曲”的圖形依據(jù)，進而總結(jié)出“以直代曲”的辯證思想. “化曲為直、以直代曲”的辯證思想實現(xiàn)了整體與局部的互換，使得以常量代替變量成為可能，有利于將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題.

鏈接：割圓術(shù)與圓周率

中國古代三國時期的劉徽與南北朝時期的祖沖之利用割圓術(shù)曾經(jīng)創(chuàng)造了π值的世界紀錄，并保持一千多年之久.

解決方法：利用幾何畫板工具箱中的圓規(guī)工具畫圓，結(jié)合幾何畫板特有的編輯參數(shù)值功能，對n賦值，運用割圓術(shù)計算圓周率.

課后探究：試以n=6和12為例研究用割圓術(shù)計算圓周率π的方法.

設(shè)計意圖說明：由數(shù)學中的經(jīng)典實例出發(fā)，加深學生對“以直代曲”辯證思想的理解和掌握. 通過幾何畫板的編輯參數(shù)值功能編寫數(shù)學教學軟件，展示“以直代曲” 思想在解決數(shù)學問題中的可操作性和實際應(yīng)用性.

（2）尋找經(jīng)過曲線上一點P處最逼近曲線的直線L

探究2：如圖2所示，直線L1，L2為經(jīng)過曲線上一點P的兩條直線.

（1）試判斷哪一條直線在點P附近更加逼近曲線.

（2）在點P附近你能作出一條比L1，L2更加逼近曲線的直線L3嗎？

（3）在點P附近你能作出一條比L1，L2，L3更加逼近曲線的直線L4嗎？

解決方法：課前利用幾何畫板的動態(tài)展示功能，編寫好曲線上割線逼近切線的功能，通過不斷拋出“問題串”，逐層深入地講解和演示，讓學生形象生動地體會割線逼近切線的關(guān)系.

學生活動：你還能作出比L1，L2，L3，L4更加逼近曲線的直線嗎？怎樣才能找到經(jīng)過曲線上一點P處最逼近曲線的直線L？你能否通過上述過程的展示，歸納總結(jié)一下切線的定義？

設(shè)計意圖說明：由幾個層層遞進問題的設(shè)置，使點Q沿曲線C向點P運動，割線PQ在點P附近越來越逼近曲線C，幫助學生逐步感知割線逼近曲線變成切線的過程. 同時結(jié)合幾何畫板的作圖、動畫等功能，使點Q無限逼近點P，直線PQ最終就成為在點P處最逼近曲線的直線，形象化展示由割線逼近切線、由割線斜率過渡到切線斜率的過程，讓學生能夠更直觀化地體會“以直代曲”思想數(shù)量化的意義和過程，理解曲線切線的逼近定義.

4. 數(shù)學運用

（1）簡單運用

書后習題：練習1“利用直尺，用割線逼近切線的方法作出下列曲線在P點處的切線.”

解決方法：先由學生自行作圖處理，最后運用幾何畫板作圖中的動態(tài)功能進行逐一演示，再次強化和鞏固“割線逼近切線”的數(shù)學方法.

設(shè)計意圖說明：設(shè)計以上簡單運用，目的是為了讓學生親手應(yīng)用“割線逼近切線”的作圖方法，體會切線定義的形成過程，為接下來的學習和研究做好準備.

（2）深入運用

設(shè)計意圖說明：練習1、練習2主要是鞏固學生對本節(jié)課知識點的理解，有助于學生做到融會貫通，加深對知識點的理解. 這兩道題目的設(shè)置在于讓學生從形和數(shù)兩方面、多層次地運用知識點，提高學生對知識的應(yīng)用能力，進而完成對知識點的理解和鞏固.

5. 回顧小結(jié)

（1）思想：已直代曲；

（2）方法：割線逼近切線；

（3）知識：計算曲線上一點處切線的斜率.

6. 課外作業(yè)