高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)，把握其來(lái)龍去脈

摘 要：高中階段數(shù)學(xué)概念眾多，如果抓住其中的一些重要的概念，抓住那些貫串高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)全程，能夠起到牽一發(fā)而動(dòng)全身的概念，實(shí)施精細(xì)化的教學(xué). 這樣既有利于學(xué)生學(xué)會(huì)概念學(xué)習(xí)，也能起到四兩撥千斤的作用.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)，概念教學(xué)，精細(xì)化

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石，這已經(jīng)是數(shù)學(xué)教學(xué)同行所公認(rèn)的一點(diǎn)，但公認(rèn)背后卻存在兩種相異的認(rèn)識(shí)：一種認(rèn)識(shí)是因?yàn)槠涫腔虼瞬槐貭砍哆^(guò)多的時(shí)間，讓學(xué)生學(xué)懂概念即可，重要的是后面數(shù)學(xué)規(guī)律的學(xué)習(xí)，以及數(shù)學(xué)解題能力的培養(yǎng)；另一種認(rèn)識(shí)是既然是基石，那就應(yīng)該是一個(gè)牢固的基石，只有牢固才能支持后面知識(shí)的學(xué)習(xí).相信不少教師從理論上都是持后一種認(rèn)識(shí)的觀點(diǎn)的，但在實(shí)際教學(xué)中卻未必真能做到重視概念的教學(xué)，因此也就出現(xiàn)了人們常說(shuō)的“兩張皮”的現(xiàn)象. 這其中的問(wèn)題倒不完全出在教師身上，一是因?yàn)榭陀^原因，由于考試壓力（實(shí)際上也就是解題能力）的存在，由于高中學(xué)習(xí)時(shí)間緊張等，教師沒(méi)有精力、沒(méi)有時(shí)間去精心實(shí)施數(shù)學(xué)概念的教學(xué)；二是因?yàn)橹饔^原因，即數(shù)學(xué)教師在概念教學(xué)意識(shí)與概念教學(xué)能力上有時(shí)會(huì)有所欠缺，沒(méi)有意識(shí)去認(rèn)真實(shí)施概念教學(xué)，有意識(shí)沒(méi)有能力去實(shí)施概念教學(xué)，都會(huì)造成實(shí)際的概念教學(xué)被弱化的現(xiàn)象. 當(dāng)然，高中階段數(shù)學(xué)概念眾多，如果每一個(gè)概念都去實(shí)施細(xì)致的教學(xué)，確實(shí)會(huì)有較大的現(xiàn)實(shí)困難，因此筆者的思路是抓住其中的一些重要的概念，抓住那些貫串高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)全程，能夠起到牽一發(fā)而動(dòng)全身的概念，實(shí)施精細(xì)化的教學(xué). 這樣既有利于學(xué)生學(xué)會(huì)概念學(xué)習(xí)，也能起到四兩撥千斤的作用.

本文試以高中數(shù)學(xué)的重要概念函數(shù)為例，談?wù)劰P者的教學(xué)思路.

[?] 函數(shù)概念理解，要把握來(lái)龍去去脈

像函數(shù)這樣的重要概念，往往在數(shù)學(xué)發(fā)展史上都具有重要的地位，因此我們說(shuō)要把握概念的來(lái)龍去脈，不妨先從數(shù)學(xué)史上的函數(shù)概念來(lái)邁開研究的第一步. 根據(jù)我們能夠搜集到的相關(guān)數(shù)學(xué)史料，我們可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)概念經(jīng)歷了這樣的一些過(guò)程：1694年，著名數(shù)學(xué)家萊布尼茲（就是與牛頓一起發(fā)明微積分的那位）開始使用函數(shù)這一數(shù)學(xué)概念，其當(dāng)時(shí)是用來(lái)描述一個(gè)與曲線相關(guān)的量的. 根據(jù)人們的比較研究，人們得知萊布尼茲當(dāng)時(shí)所用的函數(shù)就是我們現(xiàn)在所學(xué)的函數(shù)，包括將來(lái)到了大學(xué)學(xué)到的可導(dǎo)函數(shù). 事實(shí)上，萊布尼茲可能就是在對(duì)函數(shù)的使用過(guò)程中，才積累了發(fā)明微積分的基礎(chǔ). 根據(jù)國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)研究者考證，函數(shù)翻譯到中國(guó)是由清朝的一位叫做李善蘭的人完成的，這位被稱之為中國(guó)古代數(shù)學(xué)家在其《代數(shù)學(xué)》中這樣說(shuō)道，“凡此變量中函彼變量者，則此為彼之函數(shù)”. 筆者此處之所以要將李善蘭的這段話引述出來(lái)，是為了與下面一段話進(jìn)行呼應(yīng)，即著名數(shù)學(xué)家歐拉在其《微分學(xué)原理》中給函數(shù)所下的另一個(gè)定義：如果某些量以如下方式依賴于另一些量，即當(dāng)后者變化時(shí)，前者本身也發(fā)生變化，則稱前一些量是后一些量的函數(shù). 盡管這種定義與我們現(xiàn)行教材上的精確函數(shù)定義尚有區(qū)別，但我們已經(jīng)可以由這些定義看出函數(shù)發(fā)展的一些端倪了.

研究不同情況下函數(shù)的定義，是為了讓我們?cè)趯?shí)施教學(xué)時(shí)能讓學(xué)生感受到函數(shù)在數(shù)學(xué)發(fā)展史中的分量與力量. 即，函數(shù)不是一個(gè)機(jī)械的、生硬的、抽象的數(shù)學(xué)概念，而是一個(gè)有著豐富發(fā)展歷史的概念，透過(guò)函數(shù)概念的歷史發(fā)展脈絡(luò)，可以讓我們對(duì)此概念的理解更為真實(shí)，更為合理. 于是，我們的概念學(xué)習(xí)就進(jìn)入了思想的階段.

函數(shù)給我們帶來(lái)的思想是什么？在筆者看來(lái)是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系. 其體現(xiàn)在數(shù)學(xué)上時(shí)，往往是一種符號(hào)上的對(duì)應(yīng)關(guān)系，其體現(xiàn)在生活中時(shí)，往往是不同事物之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 于這當(dāng)中，我們看到了數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系：數(shù)學(xué)中是有對(duì)應(yīng)的，生活中也是有對(duì)應(yīng)的，數(shù)學(xué)與生活也是對(duì)應(yīng)的. 而數(shù)學(xué)中的定義域與值域，我們也可以視作生活中事件的條件. 因此，當(dāng)看起來(lái)純粹的數(shù)學(xué)知識(shí)有了形象的生活事物作為支撐時(shí)，我們就觸摸到了函數(shù)學(xué)習(xí)的脈搏，從而為學(xué)習(xí)函數(shù)概念、理解函數(shù)概念提供了一種有益的“場(chǎng)”.

[?] 函數(shù)概念教學(xué)，要結(jié)合來(lái)龍與去脈

在函數(shù)概念學(xué)習(xí)的過(guò)程中，如何將理念中的來(lái)龍去脈轉(zhuǎn)換成實(shí)際的教學(xué)行為呢？這是挑戰(zhàn)本概念教學(xué)的一個(gè)問(wèn)題，甚至也是挑戰(zhàn)整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)的問(wèn)題. 我們對(duì)函數(shù)概念教學(xué)的理念是清晰的，就是將抽象的函數(shù)概念放到一個(gè)豐富的歷史與生活發(fā)展的場(chǎng)當(dāng)中去，讓學(xué)生在對(duì)歷史事件的體悟中，在對(duì)生活事物的思考中，獲得函數(shù)的思想，最終以函數(shù)這一形式來(lái)表達(dá)這種思想.

因此，我們?cè)诤瘮?shù)概念教學(xué)中要做的第一件事，就是營(yíng)造這種場(chǎng). 筆者運(yùn)用的策略是：

首先，讓學(xué)生到生活中去尋找一種對(duì)應(yīng)關(guān)系. 從生活入手，永遠(yuǎn)是抽象的數(shù)學(xué)概念教學(xué)的第一選擇策略，憑著高一學(xué)生的智力基礎(chǔ)與生活經(jīng)驗(yàn)的儲(chǔ)備，他們是可以尋找到這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系的，如生活中身高與時(shí)間是對(duì)應(yīng)關(guān)系（當(dāng)然也有一定的生長(zhǎng)階段，而恰恰可以與定義域聯(lián)系起來(lái)），如一天或一個(gè)月或一年中的溫度與時(shí)間的關(guān)系等. 此后我們還可以讓學(xué)生到生活中尋找這些對(duì)應(yīng)關(guān)系的表達(dá)形式，如圖表，如圖像，盡管這些關(guān)系在學(xué)生思維中還不能得到有效的數(shù)學(xué)加工，但可以為后面知識(shí)的理解埋下一顆種子. 在這些對(duì)應(yīng)關(guān)系事例的列舉之后，在這些聯(lián)系形式得到關(guān)注之后，我們?cè)僖龑?dǎo)學(xué)生去提取其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系，就可以喚醒學(xué)生在初中階段學(xué)到的函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，當(dāng)被喚醒的知識(shí)與生活關(guān)系對(duì)應(yīng)起來(lái)時(shí)，教師要做的就是下面第二個(gè)工作.

當(dāng)然，這里所說(shuō)的生活既可以是實(shí)際的生活，也可以是曾經(jīng)的數(shù)學(xué)發(fā)展史上的生活，即將函數(shù)發(fā)展史上的知識(shí)加以生活化，然后引入到教學(xué)中來(lái)也是可以的. 譬如上面所提到的歐拉和萊布尼茲的定義，我們就可以在課堂上加以引述，以作為一種生活素材. 但要注意的是，無(wú)論是什么樣的素材，讓學(xué)生看得懂，能感悟，是最重要的.

其次，通過(guò)問(wèn)題的提出，將簡(jiǎn)單的函數(shù)關(guān)系引向高級(jí)的函數(shù)理解，即高中階段的函數(shù)教學(xué)內(nèi)容. 于是，“將我們以前學(xué)過(guò)的函數(shù)知識(shí)與現(xiàn)在所學(xué)到的集合與映射關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，我們高中的函數(shù)概念是怎樣的呢？應(yīng)當(dāng)怎樣理解呢？”等問(wèn)題就會(huì)出現(xiàn)在學(xué)生的面前，這些問(wèn)題的提出，使得函數(shù)概念的學(xué)習(xí)由感性進(jìn)入理性的階段. 譬如學(xué)生會(huì)思考：如果說(shuō)我們以前所理解的函數(shù)就是兩個(gè)變量x和y的簡(jiǎn)單聯(lián)系，那時(shí)所說(shuō)的“條件”就應(yīng)當(dāng)是今天的“集合”，那映射是什么？如何體現(xiàn)？等.

梳理這樣的一個(gè)教學(xué)思路，我們可以發(fā)現(xiàn)在函數(shù)教學(xué)之前，經(jīng)歷了對(duì)生活和數(shù)學(xué)史的感悟；在學(xué)習(xí)過(guò)程中經(jīng)歷了對(duì)集合、映射概念下的函數(shù)理解，經(jīng)歷了對(duì)函數(shù)三要素的理解與對(duì)所舉生活事例的反芻，我們認(rèn)為學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解將是深刻的.

[?] 總結(jié)與反思

作為數(shù)學(xué)基本元素，概念教學(xué)的重要性是不言而喻的，然后在實(shí)際中的可操作性，卻往往成為攔在我們面前的一個(gè)不小的困難. 如果完全遵照教材，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)其與學(xué)生之間的一些不適切性，這些不容易為人所覺察的不適切性，往往積累起來(lái)之后就會(huì)成為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的巨大困難，因此在概念教學(xué)中，將這些問(wèn)題消弭于無(wú)形，實(shí)際是一件很重要的事情.

事實(shí)上，通過(guò)高中教學(xué)的諸多教學(xué)類雜志，以及出去聽課等活動(dòng)我們可以看到，概念教學(xué)有著很多種突破方法. 但這些方法往往因?yàn)橐暯遣粔驅(qū)掗煹仍?，往往?duì)某個(gè)概念的學(xué)習(xí)可能會(huì)起到相應(yīng)的促進(jìn)作用，但卻難以起到觸類旁通的作用，因此我們更希望有一種能夠在更大范圍內(nèi)起作用的方法. 筆者所思考的尋找概念的來(lái)龍去脈的思路雖然不是最好的方法，但從筆者自身的教學(xué)實(shí)踐來(lái)看，卻能夠在一定時(shí)間內(nèi)讓學(xué)生保持對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，也能加強(qiáng)他們對(duì)重要數(shù)學(xué)概念的理解，因此筆者以為是有益的. 只是這一思路需要教師做的事情很多，比如重要數(shù)學(xué)概念有哪些相應(yīng)的數(shù)學(xué)史料和生活知識(shí)等，都需要去尋找和加工，這其中需要付出不少額外的努力.

總而言之，高中數(shù)學(xué)概念的教學(xué)要在理論和實(shí)踐上同時(shí)予以重視，要盡量豐富概念的形成過(guò)程，以讓學(xué)生的其他數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)有一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ). 只有通過(guò)這樣的努力，學(xué)生才可能在三年的高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中實(shí)現(xiàn)可持續(xù)發(fā)展. 以上是筆者的一點(diǎn)淺見，不足之處，還請(qǐng)專家同行批評(píng)指正.