例談中學(xué)數(shù)學(xué)教材例題的功能

教材，又稱課本，是根據(jù)教學(xué)大綱系統(tǒng)闡述學(xué)科內(nèi)容的教學(xué)用書[1]。數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了學(xué)習(xí)主題、基本線索和知識結(jié)構(gòu)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源[2]，例題是教科書概念命題與習(xí)題之間的橋梁與紐帶。教材例題在數(shù)量、水平、風(fēng)格和側(cè)重點(diǎn)上的差異反映了一個國家的教科書的整體水平、風(fēng)格和傾向，對具體的教學(xué)實(shí)踐產(chǎn)生著不可忽視的影響?？v觀國內(nèi)外文獻(xiàn)，單獨(dú)研究教科書例題功能的文獻(xiàn)比較少。研究對于教師更好挖掘教材，優(yōu)化自己課堂教學(xué)，大面積提高教學(xué)質(zhì)量，發(fā)展學(xué)生智能是至關(guān)重要的。因此本文以中學(xué)數(shù)學(xué)教材為研究對象，結(jié)合案例，來分析其功能，以供商榷。

對于例題的界定，國內(nèi)教科書中標(biāo)有“例”或者“例×”或者“例××”，國外教科書則標(biāo)有“Example”或者“Worked Example”及類似字詞。

一、 鞏固新知

教材例題的首要功能是鞏固新知。教材通過一個典型案例直觀描述新知，或通過三五個案例歸納概括出新知，或由問題逐步探究解決獲得新知，或通過學(xué)生操作活動獲得新知，或由舊知類比引申新知，不論如何得出新知，需要進(jìn)行鞏固性消化吸收。于是例題緊隨其后，鞏固新知。概念和規(guī)則既是陳述性知識的核心成分，也是程序性知識的核心成分[3]，如何使學(xué)生從剛剛獲取的陳述性知識轉(zhuǎn)化成程序化知識？例題是陳述性知識向程序性知識轉(zhuǎn)化的第一步，習(xí)題是陳述性知識向程序性知識轉(zhuǎn)化的第二步。在陳述性知識向程序性知識轉(zhuǎn)化的過程中，通過例題，教材呈現(xiàn)的知識慢慢內(nèi)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以加深對知識的理解與掌握。如人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)（必修2）》第49頁中的例4是個選擇題，很好地鞏固了本節(jié)的重要知識點(diǎn)：如何判斷空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，澄清學(xué)生的錯誤理解，更深地理解了判斷直線與平面關(guān)系的本質(zhì)。

有時，教科書例題還承載著進(jìn)一步展示新知的作用，這樣的案例在小學(xué)教材中比比皆是。例題往往既是“舊知”合乎邏輯的延伸與拓展，又是后續(xù)知識的基礎(chǔ)，從而為練習(xí)乃至后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下比較牢固的知識基礎(chǔ)。有的例題在分析中蘊(yùn)含著新知識，譬如人教社初中數(shù)學(xué)（九上），“當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個或更多的因素（例如從3個口袋中取球）時，列方形表就不方便了，為補(bǔ)充不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖（tree diagram）”這是一道例題的分析過程，中間隱含著新的概念——樹形圖，使得鞏固新概念——概率的同時又拓展延伸出新知識；再譬如人教社初中數(shù)學(xué)（九上）27.2.2“相似三角形”例5的分析中引出“仰角”新概念。

二、 解題示范

數(shù)學(xué)教材例題的第二個功能是解題示范。例題既是教師教的范例，也是學(xué)生學(xué)的范例，是教師與學(xué)生進(jìn)行教學(xué)活動的載體，是該部分概念或者命題的“最佳原型”，是某一單元或者某一節(jié)核心知識內(nèi)容程序化的集中體現(xiàn)。教科書例題的示范主要體現(xiàn)在兩個方面：一是問題解決過程的示范；二是解題格式的示范，使得學(xué)生了解基本流程，學(xué)會表達(dá)。例如人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)（必修3）》第11頁中的例5，“設(shè)計(jì)一個求解一元二次方程的算法，并畫出程序框圖表示。”對于初涉算法的學(xué)生來說，既學(xué)會了利用算法的思想解決他們曾經(jīng)熟知問題的具體流程，又演示了如何正確使用程序框圖進(jìn)行表達(dá)的問題。

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一項(xiàng)基本功，是最基本的活動形式。喬治·波利亞對解題方法進(jìn)行了多年的研究和實(shí)踐，終于繪制出一張“解題表”，分為四個步驟：弄清題意——擬定計(jì)劃——實(shí)行計(jì)劃——回顧[4]。而例題呈現(xiàn)方式一般形式是先分析或提示，然后是解答，最后是小結(jié)或者歸納，這本身也提供了對于分析的一般流程，為學(xué)生解決其它類似問題提供了范本，這也符合喬治·波利亞的解題表。數(shù)學(xué)教材以例帶類，讓學(xué)生學(xué)會問題解決的基本程序，如人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)（必修2）》第94頁中的例2，先是解題思路分析，又規(guī)范寫出解題過程，最后歸納小結(jié)。對于文字證明題，知道先寫已知求證，再分析思路，然后求證，最后檢驗(yàn)回顧。形成思路之后，如何表達(dá)自己的思路，這個也是非常重要和必要的。教科書的例題解答過程具有非常好的示范作用，畢竟教科書例題本身就是使得學(xué)生能夠按部就班，按照程序來進(jìn)行，需要“照葫蘆畫瓢”，學(xué)會數(shù)學(xué)的表達(dá)。同時教科書的例題表達(dá)簡潔、明了，為課后習(xí)題解答提供了樣板，為進(jìn)一步后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。在這個過程中學(xué)會基本解題的流程，為學(xué)生養(yǎng)成良好書寫、數(shù)學(xué)表達(dá)。當(dāng)然，并非所有的教科書的所有例題都有這三步：分析、解答、小結(jié)，有些只有分析與解答，有些只有解答與小結(jié)，有些只有解答。在澳大利亞教材《Heinemann Maths Zone 8 ：Enhanced》中所有的例題是分欄設(shè)計(jì)的[5]，左邊是“Steps”，寫著“1，2，3，…”，是文字步驟，稱作思路，步驟詳細(xì)；右邊是對應(yīng)的“solution”（解答），對應(yīng)的符號步驟，這樣設(shè)計(jì)利于說明對應(yīng)步驟的操作方法，解釋原因，理解算理。再者，兩欄同時同步呈現(xiàn)，既清晰對比呈現(xiàn)思維過程的兩種完全不一樣的表征——文字表征和符號表征，對學(xué)生更具有示范作用，也容易養(yǎng)成學(xué)生良好的書寫格式，學(xué)會解題。

三、 揭示思想方法

中學(xué)教材中的概念、定理、公式與法則等都是以定論的形式呈現(xiàn)出來，是嚴(yán)謹(jǐn)、精煉的，是高度概括和抽象的，其中包含的思想方法被濃縮、隱藏了，只有冰冷的美麗，掩蓋了火熱的思考。雖然數(shù)學(xué)題目浩如煙海，千變?nèi)f化，但是教材中的例題是有限的，譬如人教社初中數(shù)學(xué)八年級教科書總共有100道例題，而澳大利亞《Heinemann Maths Zone 8 ：Enhanced》中123道，這些例題是經(jīng)過專家千挑萬選，千錘百煉，層層審核，里面一定蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法。如何使例題蘊(yùn)含的隱性的數(shù)學(xué)思想方法顯性化，發(fā)揮例題的更大功能，顯得更為重要。眾所周知，數(shù)學(xué)概念的形成、結(jié)論的推導(dǎo)、方法的思考、規(guī)律的揭示以及問題的發(fā)現(xiàn)過程都隱含著一定的數(shù)學(xué)思想方法，是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等，如人教社初中數(shù)學(xué)（九下）第10頁“二次函數(shù)”中的例4，蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)建模的基本思想。例題還在揭示微觀的思想方法，如化歸、換元法、反證法、數(shù)形結(jié)合法、分析法、綜合法、綜合分析法、解析法、三角法等，畢竟方法需要一定載體來呈現(xiàn)。中小學(xué)數(shù)學(xué)教材例題面對著大多數(shù)學(xué)生群體，是為了掌握基礎(chǔ)知識和基本思想方法而設(shè)置，關(guān)注更多的是通性通法，而不是特殊的解題技巧，特殊的解題方法。思想方法是需要領(lǐng)悟的，只有使得學(xué)生充分經(jīng)歷對問題的分析、解答、小結(jié)等，才能使學(xué)生有充分的時間去“感悟”，而不是在匆忙之中的“趕悟”，否則就達(dá)不到對概念的準(zhǔn)確理解，更談不上“領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值”[6]。此外解決“例題”過程中，需要教師在教學(xué)中充分利用其豐富的內(nèi)容情節(jié)和語言規(guī)律，來設(shè)置學(xué)生參與的比較、判斷、歸納、發(fā)散等思維活動，引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑問難，有效實(shí)現(xiàn)解決問題中的語言轉(zhuǎn)換，啟迪學(xué)生思維，有效地發(fā)展學(xué)生的智力和思維能力，使得學(xué)生進(jìn)行廣泛聯(lián)系，猜測，延伸和拓寬，由例及類、由此及彼，觸類旁通，領(lǐng)悟里面蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，以避免聽懂不會做題的現(xiàn)狀。一道例題再好也不過是解決了一個問題，只有領(lǐng)悟里面的數(shù)學(xué)思想方法，才能達(dá)到掌握，為此需要具有聯(lián)系的觀點(diǎn)，不孤立的看待一個例題，以小見大，管中窺豹。人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)（必修4）》第97頁中的例5，兩種方法來求解，分別滲透著方程思想、向量思想。

四、 育人功能

例題最后一個功能就是育人功能。實(shí)際上教育隨時都在育人，體現(xiàn)著社會性，數(shù)學(xué)教科書作為育人信息載體的性能，例題是重要組成部分，也還不例外，這個功能最容易忽視。

首先，通過例題教學(xué)可以有助于培養(yǎng)學(xué)生理性思維能力，學(xué)會數(shù)學(xué)的思考，程序化解決問題。有人曾說：“與其讓學(xué)生糊里糊涂地做一百道題，不如讓學(xué)生清清楚楚地做一道題”。這句話不無道理。它告誡我們，每講一道題都應(yīng)當(dāng)問一問為什么要講？它“范”在哪里？“例”在何方？學(xué)生在解決過程中，有哪些收益？通過一道道典型的例題深刻反思，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)歸納、類比能力，養(yǎng)成理性思維精神。使其明白例題是某個概念或者命題的特例，在用典型案例進(jìn)行分析的時候，需要?dú)w納提升其“類”或者“屬”，從個別的、特殊的事例，逐步抽象概括到一般一類事物的認(rèn)識，從而逐步掌握規(guī)律，認(rèn)識客觀世界。如人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)（必修2）》第69頁中的例3，學(xué)生從此例中應(yīng)概括出以后再證明平面與平面垂直，應(yīng)先證直線與平面垂直，而要證直線與平面垂直，又需先證直線與直線垂直，體會這種幾何推理能力，類似地，解決平面與平面平行，也需要類似的幾何思維。

其次，例題有助于培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義觀點(diǎn)。辯證唯物主義認(rèn)為事物是普遍聯(lián)系的，數(shù)學(xué)例題也不例外，一方面數(shù)學(xué)例題是在舊知基礎(chǔ)上鞏固新知，展示新知，延伸新知，學(xué)習(xí)例題就是要揭示這種聯(lián)系，這種解釋聯(lián)系的過程，使得學(xué)生的知識體系得到整合，逐步把知識連成線，串成網(wǎng)，構(gòu)成體，領(lǐng)悟隱含的數(shù)學(xué)思想方法，逐步深化形成自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)圖式?？煽闯鰯?shù)學(xué)教科書例題的聯(lián)系性比較強(qiáng)，具有拓展，還包括對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容之間的前后串聯(lián)、課本例題的深化引申、課后習(xí)題的整合統(tǒng)一。

最后，充分利用例題隱含的背景信息對學(xué)生進(jìn)行教育。譬如例題“某燈泡廠為測量一批燈泡的使用壽命，從中抽查了100只燈泡，它們的使用壽命如下表所示：…這批燈泡的平均使用壽命是多少？”在一旁批注“用全面調(diào)查的方法考察這批燈泡的平均使用壽命合適嗎？”這本身利用此題教育學(xué)生，當(dāng)要考察的對象很多、考察本身帶有破壞性時，統(tǒng)計(jì)中常常通過用樣本估計(jì)總體的方法來獲得對總體的認(rèn)識。

“用教材教，而不是教教材”，要求教師認(rèn)真鉆研教科書，其中包括認(rèn)真鉆研教科書的例題，吃透其精神與實(shí)質(zhì)，能更加靈活地、更富有創(chuàng)造性地使用教科書，通過“露出海面的冰山一角”，把“海面以下的巨大冰山托出海面”，讓學(xué)生領(lǐng)略到“整座冰山”[7]。

參考文獻(xiàn)

[1] 華中師范大學(xué)等五院校教育系.教育學(xué).北京：人民教育出版社，1980.

[2] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）.北京：北京師范大學(xué)出版社，2011.

[3] 喻平.數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué).北京：北京師范大學(xué)出版社，2010.

[4] [美]喬治·波利亞.怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法.涂泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2007.

[5] David Coffty. Heinemann Maths Zone 8 VELS Enhanced.Port Melbourne： Pearson，2008.

[6] 王芝平.構(gòu)建三角函數(shù)刻畫周期現(xiàn)象——任意角三角函數(shù)概念的教學(xué)反思.數(shù)學(xué)通報(bào)，2012（1）.

[7] 張傳鵬. 數(shù)學(xué)教學(xué)中對書本例題的使用例談.教學(xué)與管理，2012（3）.

（該文作者為北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院在讀博士）

（責(zé)任編輯 劉永慶）