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    學(xué)生如何才能學(xué)好數(shù)學(xué)(續(xù))

    2022-11-18 14:26:15鄭毓信南京大學(xué)哲學(xué)系210093
    中學(xué)數(shù)學(xué)月刊 2022年6期
    關(guān)鍵詞:學(xué)會(huì)解題思維

    鄭毓信 (南京大學(xué)哲學(xué)系 210093)

    3 聚焦“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”(1):加強(qiáng)思考

    如果你將來(lái)不想成為數(shù)學(xué)家,甚至也不想從事任何與數(shù)學(xué)密切相關(guān)的工作,那么數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要意義又是什么?畢竟我們自入學(xué)以來(lái)已經(jīng)、并可能仍將在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上花費(fèi)大量的時(shí)間和精力,自然就應(yīng)認(rèn)真地思考如何才能通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)得到真正的收獲,后者當(dāng)然不應(yīng)局限于一般所謂的“日常數(shù)學(xué)”,即日常生活中要用到的基本數(shù)學(xué)知識(shí)與技能.

    在筆者看來(lái),著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞的以下論述已為上述問(wèn)題提供了明確解答:“一個(gè)教師,他若要同樣地去教他所有的學(xué)生——未來(lái)用數(shù)學(xué)和不用數(shù)學(xué)的人,那么他在教解題時(shí)應(yīng)當(dāng)教三分之一的數(shù)學(xué)和三分之二的常識(shí).對(duì)學(xué)生灌注有益的思維習(xí)慣和常識(shí)也許不是一件太容易的事,一個(gè)數(shù)學(xué)教師假如他在這方面取得了成績(jī),那么他就真正為他的學(xué)生們(無(wú)論他們以后是做什么工作的)做了好事.能為那些70%的在以后生活中不用科技數(shù)學(xué)的學(xué)生做好事當(dāng)然是一件最有意義的事情.”[8]

    具體地說(shuō),由于數(shù)學(xué)可以被看成“思維的科學(xué)”,因此,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要作用就是有助于學(xué)生思維的發(fā)展,對(duì)此我們應(yīng)超出數(shù)學(xué)、從更一般的角度進(jìn)行理解,這也正是波利亞何以特別強(qiáng)調(diào)“思維習(xí)慣和常識(shí)”的主要原因.簡(jiǎn)言之,我們應(yīng)當(dāng)致力于通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)逐步學(xué)會(huì)更清晰、更全面、更合理、更深入地進(jìn)行思考,或者說(shuō),應(yīng)努力提升自已的思維品質(zhì).因此,就如何學(xué)好數(shù)學(xué)而言,這就是最重要的一點(diǎn),即加強(qiáng)思考.

    在筆者看來(lái),從同一角度我們可以更清楚地認(rèn)識(shí)現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教學(xué)存在的問(wèn)題,特別是“題海戰(zhàn)術(shù)”所造成的嚴(yán)重后果.因?yàn)椋^的“大運(yùn)動(dòng)量”事實(shí)上就是機(jī)械學(xué)習(xí),希望學(xué)生單憑機(jī)械記憶和簡(jiǎn)單模仿(包括“解題活動(dòng)的程序化和算法化”),就能在數(shù)學(xué)考試中取得較好成績(jī).但是,即使上述做法確實(shí)對(duì)提升考試成績(jī)起到一定作用,但考慮到我們?yōu)榇烁冻龅木薮笈?,而這些除考試外又無(wú)任何真正的用處,那么,這顯然就是一種得不償失的行為.

    另外,如果著力于解決問(wèn)題能力的提升,而不只是如何能在各種常規(guī)考試中取得較好成績(jī),那么上述做法的效能也就大可質(zhì)疑.因?yàn)檎嬲摹皢?wèn)題解決”,無(wú)論這是指數(shù)學(xué)內(nèi)部或是數(shù)學(xué)以外,都應(yīng)視為一種創(chuàng)造性的工作,從而就不可能單純依靠現(xiàn)成的知識(shí)與技能(包括“解題策略”)的簡(jiǎn)單應(yīng)用就能實(shí)現(xiàn).恰恰相反,由于問(wèn)題的多樣性和復(fù)雜性,更由于相應(yīng)思維活動(dòng)的非邏輯性,即不僅可能表現(xiàn)為純粹的靈感或頓悟,更必然有一定的或然性與個(gè)體性,因此,盡管我們應(yīng)當(dāng)充分肯定“題型分析”的重要性,努力提升學(xué)生的辨識(shí)能力,也應(yīng)高度重視“解題策略”的學(xué)習(xí),從而在遇到困難時(shí)就可獲得一定啟示,但是單靠這些顯然還不足以保證解題活動(dòng)的成功,恰恰相反,我們應(yīng)由具體的數(shù)學(xué)思想方法和解題策略轉(zhuǎn)向一般性的思維策略與思維品質(zhì)的提升.

    特殊地,從上述角度我們也可以清楚地認(rèn)識(shí)并努力糾正這樣一種傾向,即對(duì)于“快”的片面追求.以下就是這方面的兩個(gè)實(shí)例:

    其一,著名數(shù)學(xué)家姜伯駒先生在接受采訪時(shí)明確提及數(shù)學(xué)帶給他的最大收益是學(xué)會(huì)了長(zhǎng)時(shí)間的思考,而不是匆忙地處理問(wèn)題.

    其二,我國(guó)最年輕的數(shù)學(xué)院士孫斌勇(2019年)在被問(wèn)及如何學(xué)好數(shù)學(xué)時(shí)給出的回答:“我從不要求快的,能用筆算的不口算.我和女兒也這么說(shuō),穩(wěn)是最重要的.”

    養(yǎng)成“長(zhǎng)時(shí)間思考”的習(xí)慣和能力有重要的普遍意義:“快思”占據(jù)主導(dǎo)的地位是人類(lèi)思維的一個(gè)重要特點(diǎn),雖然這對(duì)于人們的工作和生活具有十分重要的作用,但也有明顯的局限性,特別是,經(jīng)常會(huì)導(dǎo)致各種規(guī)律性的錯(cuò)誤.因此,作為自覺(jué)的努力,我們應(yīng)十分重視如何能夠逐步學(xué)會(huì)“長(zhǎng)時(shí)間思考”,從而切實(shí)提高自身的思維與認(rèn)識(shí)能力,包括有效克服與糾正“快思”可能導(dǎo)致的各種錯(cuò)誤,這就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所應(yīng)發(fā)揮的一個(gè)重要作用(詳見(jiàn)文[9]).

    以下就對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)當(dāng)如何進(jìn)行思考做出具體分析,即我們應(yīng)當(dāng)圍繞哪些問(wèn)題進(jìn)行思考.

    第一,“為什么?”這是指,學(xué)習(xí)中我們必須明確反對(duì)機(jī)械記憶與簡(jiǎn)單模仿,而應(yīng)切實(shí)做好理解的工作.

    這事實(shí)上也正是孫斌勇院士在接受采訪時(shí)提到的主要經(jīng)驗(yàn):“我小時(shí)候看書(shū)特別仔細(xì),我想這是唯一的不同.”“細(xì)到每一句話都能理解它什么意思.?dāng)?shù)學(xué)里每一個(gè)定理,比如不等式,我都能自己證明.”“我就是想搞明白,想學(xué)得清楚,不稀里糊涂地學(xué)習(xí).很多人越學(xué)越糊涂,尤其是數(shù)學(xué).”[1]

    當(dāng)然,這并非一個(gè)全新的主張,因?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)從來(lái)強(qiáng)調(diào)理解,我們更應(yīng)將此很好地落實(shí)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個(gè)方面,如為什么要對(duì)概念做出相應(yīng)的定義,其合理性究竟何在?相關(guān)結(jié)論是否真的可靠,或者說(shuō)我們究竟為什么可以將此看成完全可靠的?在解決問(wèn)題的過(guò)程中為什么要采取相應(yīng)的方法,你又是如何想到的?等等.

    應(yīng)當(dāng)提及的是,認(rèn)知科學(xué)的現(xiàn)代研究已為上述做法提供了直接的論據(jù).具體地說(shuō),這也是一篇綜合性的文章的直接主題[10]:“我們?cè)噲D定義一個(gè)研究支持下的建議子集……該子集……對(duì)課堂教學(xué)有清晰而直接的啟示.”這就是文中提到的第一條建議:“解釋性提問(wèn).”“精心訊問(wèn),簡(jiǎn)單說(shuō)來(lái)就是問(wèn)‘為什么’……包括‘為什么這是真的?’‘為什么……是合理的’……”這就是相關(guān)作者何以將此稱(chēng)為“解釋性提問(wèn)”的主要原因:“學(xué)習(xí)者可以通過(guò)向自己解釋來(lái)理解新知識(shí).”“使用解釋性提問(wèn)不僅促使學(xué)生回憶信息,而且促使他們綜合、闡述、生成、假設(shè)和解釋信息.從理論上來(lái)說(shuō)……這種提問(wèn)方式是讓學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)過(guò)程的一種方法.”(1)文中所提到的另外兩個(gè)建議分別是“范例的使用”和“元認(rèn)知策略的訓(xùn)練”

    應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是,除去數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身以外,上述方向的思考還具有更普遍的意義:這十分有益于我們學(xué)會(huì)理性思維,包括理性精神的養(yǎng)成,后者可以看成未來(lái)社會(huì)特別需要的一種品質(zhì),即有助于我們糾正行事過(guò)于倉(cāng)促、過(guò)于任性這一常見(jiàn)的弊病,包括對(duì)于時(shí)髦潮流的盲目追隨.

    第二,“如何發(fā)展和優(yōu)化?”這是指,除去單純的“為什么”,我們還應(yīng)十分重視更高層次的思考,即如何能對(duì)已獲得的結(jié)果作出推廣和發(fā)展?如何能夠通過(guò)新的抽象獲得更深刻的認(rèn)識(shí)?我們又如何能對(duì)已有的方法作出改進(jìn)?等等.另外,我們又如何能由已有工作得到更大的收獲?

    具體地說(shuō),這正是“數(shù)學(xué)傳統(tǒng)”的一項(xiàng)基本涵義,即數(shù)學(xué)家們通常并不滿足于簡(jiǎn)單的“問(wèn)題解決”,而是力圖通過(guò)提出新的問(wèn)題和進(jìn)一步的研究不斷取得新的進(jìn)步,如我們能否對(duì)已獲得的結(jié)果作出推廣?在各種看上去并無(wú)聯(lián)系的事實(shí)背后是否隱藏著某種普遍性的理論?他們也總是希望達(dá)到更大的簡(jiǎn)單性和精致性,如能否找到更簡(jiǎn)單的證明?又能否對(duì)于相應(yīng)的表述方式(包括符號(hào)等)作出改進(jìn)?等等.

    再者,這可以看成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)所在:這主要地不是指知識(shí)和技能的單純積累,也不是指不斷的糾錯(cuò),而是一個(gè)不斷優(yōu)化的過(guò)程,包括認(rèn)識(shí)的深化與方法的改進(jìn)等.

    鑒于我們的立場(chǎng),筆者特別強(qiáng)調(diào)“入”和“出”這樣兩個(gè)關(guān)鍵詞,我們不僅應(yīng)當(dāng)十分重視“理解”的工作,如通過(guò)自己的思考使得相應(yīng)的過(guò)程和方法真正成為“可以理解的和可以學(xué)到手的”,而且也應(yīng)高度重視如何能夠?qū)Υ俗鞒鐾茝V,包括超出數(shù)學(xué)發(fā)揮更大的作用.例如,從上述角度我們可以更好地理解以下主張的合理性,即就日常的解題活動(dòng)而言,我們不應(yīng)滿足于順利地解決問(wèn)題,而應(yīng)由單純的“就題論題”上升到“就題論法”和“就題論道”(王華語(yǔ)).

    更一般地說(shuō),這就是筆者何以特別強(qiáng)調(diào)以下幾點(diǎn)的主要原因,即我們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)當(dāng)特別重視這樣一些思想的學(xué)習(xí)和應(yīng)用:“序”的思想與思維的清晰性,“聯(lián)系的觀點(diǎn)”與思維的深刻性,“變化的思想”與思維的靈活性,“總結(jié)、反思和再認(rèn)識(shí)”與思維的自覺(jué)性.(詳見(jiàn)文[11])

    最后,正如前面已提及的,我們也應(yīng)十分重視個(gè)體的特殊性:“適合自己的才是最好的.”當(dāng)然,我們不應(yīng)將此理解成學(xué)習(xí)上的固步自封,恰恰相反,我們應(yīng)當(dāng)努力做好“創(chuàng)造的自由性和指導(dǎo)的約束性”之間的適當(dāng)平衡.

    第三,強(qiáng)調(diào)思考并不意味著對(duì)其他各種學(xué)習(xí)形式的絕對(duì)排斥,恰恰相反,這正是所謂的“多元表征理論”(可參見(jiàn)文[12])給予我們的一個(gè)重要啟示,即人們的思維活動(dòng)往往與其他一些活動(dòng)密切相關(guān),后者對(duì)此具有重要的促進(jìn)作用.

    例如,就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言,所謂的“動(dòng)手實(shí)踐”就是特別重要的一個(gè)方面,特別是,鑒于學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn),這甚至可以看成不可或缺.當(dāng)然,就這方面的具體工作而言,我們應(yīng)堅(jiān)持這樣一個(gè)原則:不應(yīng)為動(dòng)手而動(dòng)手,而應(yīng)更加注重“以動(dòng)促思”,即以動(dòng)手促進(jìn)自己的思考.

    在此筆者特別強(qiáng)調(diào)“畫(huà)圖”的重要性.從理論的角度看,這也同樣涉及到了“內(nèi)”與“外”之間的關(guān)系,只是其重點(diǎn)并非“活動(dòng)的內(nèi)化”,而是思維的“顯性化”或“可視化”.由以下論述我們可以很好地認(rèn)識(shí)“思維外化”(具象化)的重要性,盡管其直接論及的只是“編程思維”:“通過(guò)把原本抽象的程序具象化,我們可以對(duì)其進(jìn)行全局審視和局部聚焦,不斷地進(jìn)行修改和完善……如果一個(gè)想法只是裝在我們的腦子里,我們往往會(huì)認(rèn)為自己對(duì)它足夠熟悉,而很少會(huì)對(duì)它進(jìn)行不同角度的審視和思考,也就很難發(fā)現(xiàn)其中的問(wèn)題和缺陷.可是一旦把它寫(xiě)出來(lái)(畫(huà)出來(lái)——注),我們就能梳理清楚它的結(jié)構(gòu)脈絡(luò),仔細(xì)斟酌并完善其中的每個(gè)細(xì)節(jié).在這個(gè)過(guò)程中,我們還可以讓更多的人加入進(jìn)來(lái),利用集體的智慧來(lái)避免個(gè)人認(rèn)知和視角的局限.”[13]

    顯然,由以上論述我們也能引出這樣一個(gè)結(jié)論:相對(duì)于“直觀性”而言,我們應(yīng)當(dāng)更加重視圖形對(duì)于思維的輔助和促進(jìn)作用,這也是指,相對(duì)于一般所謂的“直觀圖”或“幾何圖形”而言,我們應(yīng)當(dāng)更加重視“流程圖”和“概念圖”的學(xué)習(xí)和應(yīng)用.由此我們可以更好地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的普遍意義,因?yàn)?,?shù)學(xué)學(xué)習(xí)顯然十分有益于我們很好地掌握所說(shuō)的方法,后者可以、并且事實(shí)上已在各個(gè)領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用.

    總之,我們既應(yīng)高度重視各種學(xué)習(xí)方式的綜合應(yīng)用,又應(yīng)很好地落實(shí)這樣一個(gè)要求,即應(yīng)以各種方式促進(jìn)思維,而不應(yīng)喧賓奪主.

    最后,為了避免錯(cuò)誤的解讀,筆者特別強(qiáng)調(diào)這樣兩點(diǎn):

    其一,我們是否可以完全不去考慮考試成績(jī)的提高?恰恰相反,上述建議事實(shí)上也可以看成為我們?nèi)绾文軌蛱嵘约航鉀Q問(wèn)題的能力,從而也就能在各種考試中取得較好成績(jī)提供了一條“正道”,這也是指,與機(jī)械記憶和簡(jiǎn)單模仿相對(duì)照,我們應(yīng)當(dāng)更加重視思維策略的學(xué)習(xí)和應(yīng)用,特別是自身思維品質(zhì)的提升.

    例如,類(lèi)比聯(lián)想顯然有助于解題途徑的發(fā)現(xiàn),包括通過(guò)將事物聯(lián)系起來(lái)加以考察我們即可獲得更深入的認(rèn)識(shí);通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兓覀兛梢愿玫貙?shí)現(xiàn)“化未知為已知、化繁為簡(jiǎn)、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單”,包括逐步學(xué)會(huì)從不同的角度分析問(wèn)題和解決問(wèn)題;再者,借助“總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)”我們可以實(shí)現(xiàn)更大的自覺(jué)性,特別是,使相應(yīng)的思維過(guò)程對(duì)于自身而言真正成為“可以理解的,可以學(xué)到手和可以推廣應(yīng)用的”.

    其二,如果自已在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中感到十分輕松,如對(duì)教師課堂上的講授一聽(tīng)就懂,做作業(yè)時(shí)也沒(méi)有任何特別的困難,上面所講的對(duì)我而言是否就不具有任何意義?事實(shí)上,這也正是筆者的一個(gè)親身體驗(yàn):盡管在校學(xué)習(xí)期間自己的成績(jī)一直不錯(cuò),卻只是在走上工作崗位的多年以后才認(rèn)識(shí)到了未能盡早思考更重要的一些問(wèn)題所造成的嚴(yán)重后果,甚至更可說(shuō)因此而浪費(fèi)了大量的時(shí)間和精力.還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是,就如何更好地進(jìn)行學(xué)習(xí)而言,上面的論述也有重要的啟示意義.相信讀者由下一節(jié)的論述可以更好地體會(huì)到這樣一點(diǎn),因?yàn)?,這些方面在現(xiàn)實(shí)中常常未能獲得人們的足夠重視,但它們對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)事實(shí)上也非常重要.

    4 聚焦“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”(2):其他一些重要的方面

    第一,總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí).

    不同于一般所謂的反思,即我們?nèi)绾文軌蚯宄卣J(rèn)識(shí)與有效糾正自己的缺點(diǎn)與錯(cuò)誤,數(shù)學(xué)中所說(shuō)的反思具有更廣泛的涵義,并與再認(rèn)識(shí)有著直接的關(guān)系,這也是指,我們?nèi)绾文軌蛲ㄟ^(guò)進(jìn)一步的分析思考,包括更高層次的抽象等,實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)的不斷深化.

    這事實(shí)上也可以看成數(shù)學(xué)發(fā)展的基本形式:除去“由少到多、由簡(jiǎn)單到復(fù)雜”這一明顯的趨勢(shì)以外,存在相反方向上的發(fā)展,即我們?nèi)绾文軌蛲ㄟ^(guò)深入研究很好地實(shí)現(xiàn)“化多為少、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單”.例如,我們應(yīng)從這一角度更好地理解數(shù)學(xué)的高度抽象性,包括人們?yōu)槭裁磿?huì)將此稱(chēng)為“自反抽象”,并因此而認(rèn)定數(shù)學(xué)發(fā)展主要?dú)w結(jié)為“縱向的發(fā)展”,而不只是同一層次上的擴(kuò)展.

    又如華羅庚先生的以下論述所清楚表明的,上述的辯證運(yùn)動(dòng)也可以看成我們?nèi)绾文軌蛘嬲龊脤W(xué)習(xí)的關(guān)鍵,盡管他使用的語(yǔ)言并不完全相同:“由薄到厚是學(xué)習(xí)、接受的過(guò)程,由厚到薄是消化、提煉的過(guò)程.”“經(jīng)過(guò)‘由薄到厚’和‘由厚到薄’的過(guò)程,對(duì)所學(xué)的東西做到懂,徹底懂,經(jīng)過(guò)消化的懂,我們的基礎(chǔ)就算是真正打好了.”[14]不難想到,這里所說(shuō)的“總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)”事實(shí)上也可以看成我們很好地實(shí)現(xiàn)“消化”與“提煉”的基本途徑.

    當(dāng)然,我們不應(yīng)將所說(shuō)的“縱向發(fā)展”與“橫向發(fā)展”簡(jiǎn)單對(duì)立起來(lái),而應(yīng)清楚地認(rèn)識(shí)兩者之間的辯證關(guān)系,特別是,相對(duì)于單純的積累而言(無(wú)論就數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,或是“活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”而言),我們更加重視如何能夠通過(guò)“總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)”很好實(shí)現(xiàn)由“局部性認(rèn)識(shí)”向“整體性把握”的過(guò)渡,包括逐步建立結(jié)構(gòu)性的認(rèn)識(shí),真正做好“突出重點(diǎn),以主帶次”.

    還應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是,即使就日常的學(xué)習(xí)活動(dòng)而言,后一方面的思考也有十分重要的意義.例如,如果我們?cè)诮忸}過(guò)程中遇到了很大困難,這時(shí)就不應(yīng)始終局限于單一方向上的思考,乃至唯一集中于如何能夠盡快地解決問(wèn)題,而應(yīng)跳出這一框架從更大的范圍進(jìn)行分析思考,如什么是近期學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容?什么是要解決的主要問(wèn)題?主要的難點(diǎn)是什么?什么又可以看成突破難點(diǎn)的主要手段或方法?等等——盡管這些思考似乎已在一定程度上偏離了當(dāng)前的任務(wù),但又正如“居高臨下”這一成語(yǔ)所清楚表明的,相關(guān)思考往往會(huì)對(duì)我們順利地解決所面對(duì)的問(wèn)題有很大的幫助.

    最后,上述分析更清楚地表明了學(xué)會(huì)“長(zhǎng)時(shí)間思考”的重要性,因?yàn)樯钊氲姆治鏊伎?、特別是“總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)”都不可能單純依靠“快思”得到完成,這更可以看成真正的數(shù)學(xué)工作(乃至一般性創(chuàng)造性工作)的一個(gè)重要特征.

    第二,努力提升自身提出問(wèn)題的能力.

    這事實(shí)上可以看成中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)十分重要的一個(gè)特征,即教師特別善于通過(guò)適當(dāng)提問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生積極進(jìn)行思考,從而在充分發(fā)揮引領(lǐng)作用的同時(shí),也能很好地落實(shí)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的主體地位.顯然,依據(jù)這一分析我們可以清楚認(rèn)識(shí)“學(xué)會(huì)提問(wèn)”對(duì)于學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的特殊重要性:屆時(shí)我們就可由主要是在教師引領(lǐng)下進(jìn)行學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)變?yōu)橥ㄟ^(guò)適當(dāng)提問(wèn)實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)上的自我引領(lǐng),也即真正成為學(xué)習(xí)的主人.

    由“元認(rèn)知”在解題活動(dòng)中作用的分析相信讀者對(duì)此有更好的認(rèn)識(shí).具體地說(shuō),所謂“元認(rèn)知”,是指解題者對(duì)于自身正在從事的解題活動(dòng)(包括解題策略的選擇、整個(gè)過(guò)程的組織、目前所從事的工作在整個(gè)解題過(guò)程中作用等)能夠始終保持清醒的自我意識(shí),并能通過(guò)自我分析和評(píng)估及時(shí)作出必要調(diào)整.顯然,元認(rèn)知水平的提升十分有助于我們有效地防止與糾正“盲目干”這樣一個(gè)現(xiàn)象,后者既包括解題者不加思考地就投入到某一方向之中,也是指其始終未能作出及時(shí)的評(píng)估與調(diào)整,而是“一股勁地走到頭”,但卻未能取得任何的進(jìn)展,或是盡管取得了某些結(jié)果但卻對(duì)于最終解決問(wèn)題毫無(wú)作用.進(jìn)而,這又可以看成我們?nèi)绾文軌蛴行嵘陨碓J(rèn)知水平最重要的一個(gè)途徑,即在平時(shí)的解題活動(dòng)中應(yīng)當(dāng)經(jīng)常問(wèn)自己這樣三個(gè)問(wèn)題:我正在做什么?為什么要這樣做?這樣做了究竟產(chǎn)生了怎樣的效果?

    另外,依據(jù)先前的分析可以發(fā)現(xiàn):適當(dāng)?shù)奶釂?wèn)也是我們真正做好“總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)”的關(guān)鍵.又因?yàn)闊o(wú)論是后者或是“元認(rèn)知”都清楚地表明了主體是否在學(xué)習(xí)活動(dòng)中表現(xiàn)出了較大自覺(jué)性,由此我們可以更清楚地認(rèn)識(shí)“學(xué)會(huì)提問(wèn)”對(duì)于學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的特殊重要性.

    最后,我們也應(yīng)超出學(xué)習(xí)、并從更一般的角度認(rèn)識(shí)學(xué)會(huì)提問(wèn)的重要性,特別是這直接關(guān)系到了創(chuàng)新能力的培養(yǎng),因?yàn)樘岢鰡?wèn)題的能力應(yīng)當(dāng)說(shuō)比解決問(wèn)題的能力更加重要.再者,這當(dāng)然也是我們應(yīng)當(dāng)特別重視的一個(gè)事實(shí),即中國(guó)學(xué)生往往不善于提出問(wèn)題,從而就應(yīng)切實(shí)地加強(qiáng).

    例如,從教學(xué)的角度看,我們應(yīng)當(dāng)十分重視保護(hù)學(xué)生的提問(wèn)積極性,而不要因?yàn)橐恍┎磺‘?dāng)?shù)淖龇ㄊ顾麄冎鸩阶兊貌桓覇?wèn)、不愛(ài)問(wèn)、不善問(wèn).當(dāng)然,作為問(wèn)題的另一方面,我們也應(yīng)清楚地認(rèn)識(shí)到這樣一點(diǎn):正如解決問(wèn)題能力的培養(yǎng),提出問(wèn)題能力的提升同樣主要依賴(lài)于后天的學(xué)習(xí).因此,片面強(qiáng)調(diào)“學(xué)生所提的問(wèn)題都是合理的”只會(huì)起到誤導(dǎo)的作用,恰恰相反,無(wú)論是教師或?qū)W生都應(yīng)在這方面作出更大的努力,包括將這一思想很好地滲透于日常的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)之中.例如,這事實(shí)上也正是數(shù)學(xué)發(fā)展的又一重要特征,即每個(gè)數(shù)學(xué)分支都有自己的基本問(wèn)題,相關(guān)理論就是圍繞這些問(wèn)題逐步得到建立的.因此,我們應(yīng)將問(wèn)題的清楚界定與適當(dāng)表征看成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一項(xiàng)重要內(nèi)容,并通過(guò)這一途徑逐步提升自身提出問(wèn)題的能力.

    第三,學(xué)會(huì)合作.

    由以下論述我們可以清楚地認(rèn)識(shí)到學(xué)會(huì)合作的重要性:“到了21世紀(jì),我們大部分人將與他人一同協(xié)作,相互提供服務(wù)……我們必須意識(shí)到,工作的固有尊嚴(yán)來(lái)自人與人的關(guān)系,而非人與物的關(guān)系.我們必須意識(shí)到,好的工作就是與他人溝通交流,理解他們的期許與需求……”[3]

    當(dāng)然,相對(duì)于這種一般性的論述,我們應(yīng)深入地思考“學(xué)會(huì)合作”對(duì)于學(xué)好數(shù)學(xué)、特別是促進(jìn)自身思維發(fā)展的特殊重要性,包括我們?nèi)绾尾拍芎芎玫貙?shí)現(xiàn)這樣一個(gè)目標(biāo).

    例如,相對(duì)于“大聲地說(shuō),清楚地表達(dá)”這種一般性要求而言,我們應(yīng)當(dāng)更加重視“想清楚了再講”,即應(yīng)當(dāng)在表達(dá)前先對(duì)自己頭腦中的想法作出認(rèn)真的自我梳理、審視與必要的調(diào)整;再例如,相對(duì)于“仔細(xì)地聽(tīng)”這一要求,我們應(yīng)更加重視比較與分析的工作,因?yàn)槠渌说目捶ɑ蜃龇槲覀冞M(jìn)行深入思考提供了重要背景,我們應(yīng)當(dāng)通過(guò)不同想法或主張(包括主體原有想法)的比較分析實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)的不斷優(yōu)化.

    當(dāng)然,作為必要的平衡,我們也應(yīng)“學(xué)會(huì)獨(dú)處”,而這不僅可以看成是由數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身的性質(zhì)所直接決定的(這主要依賴(lài)于主體的獨(dú)立思考),也可以看成這樣一個(gè)主張的必然要求,即我們應(yīng)當(dāng)努力養(yǎng)成“長(zhǎng)時(shí)間思考”的習(xí)慣和能力,特別是具有較強(qiáng)的反省意識(shí),包括超出數(shù)學(xué)、并從更一般的角度進(jìn)行分析思考.

    例如,著名學(xué)者周?chē)?guó)平先生就曾指出:“怎樣才能使靈魂豐富呢?欣賞藝術(shù),欣賞大自然,情感的經(jīng)歷和體驗(yàn),這些都很重要.除此以外……要養(yǎng)成過(guò)內(nèi)心生活的習(xí)慣.人應(yīng)該留一點(diǎn)時(shí)間給自己,和自己的靈魂在一起,靜下來(lái),想一想人生的問(wèn)題,想一想自己的生活狀況……我承認(rèn)交往是一種能力,但獨(dú)處是一種更重要的能力,缺乏這種能力是更大的缺陷.”[15]更一般地說(shuō),這也正是現(xiàn)代人必須具備的又一基本素養(yǎng):“世界變化得越快……對(duì)我們生活方方面面改變得越多,每個(gè)人就越需要放慢速度……當(dāng)你按下一臺(tái)機(jī)器的暫停鍵時(shí),它就停止運(yùn)轉(zhuǎn)了.但是,當(dāng)一個(gè)人給自己暫停一下的時(shí)候,他就重新開(kāi)始了.你開(kāi)始反思,你開(kāi)始重新思考你的假設(shè)前提,你開(kāi)始以一種新的角度重新設(shè)想什么是可能做到的,而且,最重要的是,你內(nèi)心開(kāi)始與你內(nèi)心深處最堅(jiān)定的信仰重新建立聯(lián)系……”[3]

    最后,筆者愿意再次強(qiáng)調(diào)“學(xué)會(huì)自律、自立”的重要性,這不僅是因?yàn)檫@兩者應(yīng)被看成“做好合作”的必要前提,更重要的是,上述各項(xiàng)要求就總體而言為我們?nèi)绾文軌驅(qū)W好數(shù)學(xué)指明了努力方向,但是,假如我們不能在這些方面做出切實(shí)努力,特別是通過(guò)自律、自立不斷取得新的進(jìn)步,那么所說(shuō)的一切顯然就都只是純粹的空談.

    另外,上面的論述當(dāng)然也不應(yīng)看成已經(jīng)窮盡了所有重要的方面,恰恰相反,我們應(yīng)通過(guò)積極實(shí)踐和深入思考作出進(jìn)一步的分析思考.這事實(shí)上也應(yīng)看成一個(gè)十分重要的方面,即辯證思維的指導(dǎo),特別是,我們應(yīng)處理好這樣一些辯證關(guān)系:“學(xué)生取得自己的樂(lè)趣與滿足教師的要求”“創(chuàng)造的自由性和指導(dǎo)的約束性”“內(nèi)在的思維活動(dòng)與外部的活動(dòng)或表現(xiàn)”“合作與獨(dú)處”,等等.

    當(dāng)然,對(duì)于后者我們也應(yīng)聯(lián)系自己的學(xué)習(xí)作出進(jìn)一步的分析總結(jié).例如,我們應(yīng)當(dāng)如何處理“快與慢”之間的關(guān)系,特別是,我們不應(yīng)單純從時(shí)間的維度上去進(jìn)行理解,而應(yīng)更加注重相應(yīng)的實(shí)質(zhì)性問(wèn)題,在學(xué)習(xí)中應(yīng)“當(dāng)快則快,當(dāng)慢則慢”,特別是,既不應(yīng)在形式等方面花費(fèi)過(guò)多時(shí)間,又應(yīng)舍得花時(shí)間進(jìn)行深層次思考,特別是做好總結(jié)、反思與再認(rèn)識(shí)的工作.再者,這也是我們應(yīng)當(dāng)特別重視的一點(diǎn),就是既要十分重視方法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用,又要始終保持頭腦的開(kāi)放性和批判性,特別是,要清楚認(rèn)識(shí)各種方法都有一定的適用范圍或局限性,并努力做到“以正合,以奇勝.”

    5 結(jié)語(yǔ)

    盡管以上論述主要針對(duì)學(xué)生而言,但對(duì)教師如何做好數(shù)學(xué)教學(xué)顯然也有重要的啟示意義.建議相關(guān)讀者還可聯(lián)系以下兩個(gè)問(wèn)題與相關(guān)的解答對(duì)此作出進(jìn)一步的思考:

    第一,“‘你為什么要當(dāng)教師?’才當(dāng)教師的時(shí)候,我可能只是想以此謀生.隨著時(shí)間的推移,現(xiàn)在的我愿意這樣回答:‘我當(dāng)老師,是想讓一些人有所改變.’”[16]

    第二,“從過(guò)程看,文化的實(shí)質(zhì)就是找到美好的、值得追求的東西,然后用這樣的東西去影響人、改變?nèi)耍谷俗兊妹篮茫盵17]

    簡(jiǎn)言之,作為一名教師,作為一名文化繼承者,我們應(yīng)經(jīng)常地捫心自問(wèn):自己是否真的為學(xué)生提供了最好的東西?

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