載人航天器柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)建模方法

劉志全 危清清 王耀兵

（北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094）

1 引言

空間機(jī)械臂是實(shí)現(xiàn)航天器在軌組裝和空間維修等作業(yè)的重要支持設(shè)備。從20世紀(jì)70年代起，加拿大、日本、歐洲等相繼開(kāi)展了空間機(jī)械臂的研究，并成功將空間機(jī)械臂應(yīng)用在多種載人航天器上。加拿大SPAR公司研制的航天飛機(jī)遙操作機(jī)械臂系統(tǒng)（Shuttle Remote Manipulator System，SRMS）［1-2］于1981年應(yīng)用于美國(guó)的航天飛機(jī)上。SPAR 公司的空間站遙操作機(jī)械臂系統(tǒng)（Space Station Remote Manipulator System，SSRMS）［3］和日本實(shí)驗(yàn)艙遙控機(jī)械臂系統(tǒng)（Japanese Experiment Module Remote Manipulator System，JEMRMS）［4］及歐洲機(jī)械臂（European Robotic Arm，ERA）［5-9］也分別于2001年、2008年 和2013年應(yīng)用到“國(guó)際空間站”上。中國(guó)未來(lái)的空間站也將應(yīng)用空間機(jī)械臂執(zhí)行相關(guān)空間作業(yè)任務(wù)［10］。

應(yīng)用于載人航天器上的大型空間機(jī)械臂的質(zhì)量小、負(fù)載質(zhì)量大、活動(dòng)范圍大的設(shè)計(jì)需求決定了機(jī)械臂一般設(shè)計(jì)為細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)，而細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)和大質(zhì)量的末端負(fù)載使得機(jī)械臂系統(tǒng)頻率一般為零點(diǎn)幾赫茲，柔性特征十分明顯，因此帶來(lái)的動(dòng)力學(xué)與控制問(wèn)題影響著空間機(jī)械臂在軌應(yīng)用的效果。SRMS的應(yīng)用結(jié)果表明［1］：SRMS約有工作時(shí)間的30%被用于等待柔性機(jī)械臂振動(dòng)的衰減，可見(jiàn)，空間柔性機(jī)械臂大柔性的特點(diǎn)嚴(yán)重影響了空間柔性機(jī)械臂的工作效率。

針對(duì)上述問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外相關(guān)研究部門(mén)展開(kāi)了空間機(jī)械臂柔性多體動(dòng)力學(xué)［2］和關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)的研究，基于上述研究工作，本文結(jié)合未來(lái)中國(guó)空間柔性機(jī)械臂工程應(yīng)用所面臨的技術(shù)問(wèn)題，對(duì)空間柔性機(jī)械臂多體動(dòng)力學(xué)、關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)建模方法進(jìn)行分析，旨在建立更為準(zhǔn)確的機(jī)械臂系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，以期更準(zhǔn)確地反映空間柔性機(jī)械臂動(dòng)態(tài)性能，由此設(shè)計(jì)和驗(yàn)證的控制系統(tǒng)可有效縮短柔性機(jī)械臂在軌運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的振動(dòng)衰減時(shí)間，提高空間柔性機(jī)械臂的控制精度，促進(jìn)空間柔性機(jī)械臂在航天器工程中的應(yīng)用。

圖1 航天飛機(jī)遙操作機(jī)械臂系統(tǒng)（SRMS）Fig．1 Shuttle Remote Manipulator System

2 柔性機(jī)械臂多體動(dòng)力學(xué)的建模方法

多體動(dòng)力學(xué)研究由多個(gè)柔性體或剛體所組成的復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)在經(jīng)歷大范圍空間運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)力學(xué)行為［11］?？臻g柔性機(jī)械臂是典型的多體系統(tǒng)［12-13］，由機(jī)械臂臂桿、關(guān)節(jié)、控制器等組成，圖1展示了加拿大SPAR 公司的SRMS機(jī)械臂的組成［14］。為了給關(guān)節(jié)提供準(zhǔn)確的輸出力矩命令、預(yù)測(cè)機(jī)械臂關(guān)節(jié)及末端的軌跡，須要建立并求解機(jī)械臂的多體動(dòng)力學(xué)模型［15］。常用的多體動(dòng)力學(xué)建模理論主要有牛頓-歐拉法［13，16］、拉格朗日法［11，17］和kane法［12］等，這幾類(lèi)方法各有所長(zhǎng)，目前國(guó)外載人航天器機(jī)械臂廣泛應(yīng)用的動(dòng)力學(xué)建模理論主要有牛頓-歐拉法和拉格朗日法；對(duì)柔性體進(jìn)行離散化處理的方法主要有集中參數(shù)法（LMM）、有限元法（FEM）和假設(shè)模態(tài)法（AMM）［18-19］；剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模方法主要有運(yùn)動(dòng)-彈性動(dòng)力學(xué)法與混合坐標(biāo)法［16，19-20］。

為了預(yù)測(cè)并驗(yàn)證SRMS的動(dòng)力學(xué)性能，加拿大SPAR 公司從1974年起，耗時(shí)18個(gè)月建立了兩套多體動(dòng)力學(xué)仿真系統(tǒng)：實(shí)時(shí)仿真設(shè)備（Real-Time Simulation Facility，SIMFAC）和非實(shí)時(shí)仿真設(shè)備（ASAD）［21-22］。ASAD 采用集中參數(shù)法將機(jī)械臂簡(jiǎn)化為由7個(gè)集中質(zhì)量體組成的開(kāi)環(huán)鏈（open kinematic chain）（如圖2所示），每個(gè)關(guān)節(jié)被簡(jiǎn)化為一個(gè)桿和一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副，桿的兩端各連接一個(gè)扭簧用來(lái)模擬關(guān)節(jié)殼體的扭轉(zhuǎn)剛度。ASAD 用幾段具有集中質(zhì)量的懸臂梁來(lái)計(jì)算臂桿的模態(tài)特征，計(jì)算中只涉及了臂桿的彎曲變形而忽略了臂桿的剪切變形。

SPAR 公司在機(jī)械臂的每個(gè)桿與前后桿的連接處固連兩個(gè)坐標(biāo)系（如圖3 所示），其中O0X0Y0Z0是基座坐標(biāo)系（與航天器本體相固連的坐標(biāo)系）；Oi-1Xi-1Yi-1Zi-1和Oi-1X′i-1Y′i-1Z′i-1是與桿i-1相固連的兩個(gè)坐標(biāo)系；OiXiYiZi和OiX′iY′iZ′i是與桿i相固連的兩個(gè)坐標(biāo)系。通過(guò)坐標(biāo)系Oi-1X′i-1Y′i-1Z′i-1和OiXiYiZi的坐標(biāo)變換矩陣，建立桿i-1與桿i的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系。這樣，由桿i-1的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（含角位移、角速度和角加速度）可以遞推得到桿i的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，分析桿件間的作用力，利用牛頓-歐拉法得到機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型的一般形式：

式中：Fj，i和Tj，i分別為桿j對(duì)桿i施加的合力與合力矩（j對(duì)應(yīng)于圖3中i-1和i＋1），顯然，F(xiàn)j，i＝-Fi，j、Tj，i＝-Ti，j；rCij則為坐標(biāo)系OjXjYjZj的坐標(biāo)原點(diǎn)Oj到質(zhì)心Ci的矢量；Ji和mi分別為桿i的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和質(zhì)量；vi和aCii分別表示桿i質(zhì)心Ci的平動(dòng)速度和加速度；˙θi和¨θi分別為桿i的角速度和角加速度。

圖2 SRMS柔性模型Fig．2 Flexible model of SRMS

圖3 牛頓-歐拉法動(dòng)力學(xué)模型Fig．3 Newton-Euler dynamic model

ASAD 根據(jù)末端軌跡規(guī)劃計(jì)算機(jī)械臂開(kāi)環(huán)系統(tǒng)各個(gè)部件的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，采用運(yùn)動(dòng)-彈性動(dòng)力學(xué)法把機(jī)械臂看作是運(yùn)動(dòng)的彈性系統(tǒng)，在描述機(jī)械臂大范圍運(yùn)動(dòng)時(shí)，將臂桿視為剛體；描述機(jī)械臂變形時(shí)將臂桿視為柔性體。對(duì)應(yīng)的，ASAD 動(dòng)力學(xué)模型由兩部分組成，一部分用于描述柔性體的高頻振動(dòng)，另一部分用于描述剛體的低頻運(yùn)動(dòng)。ASAD 把外力和剛體慣性力施加到柔性臂桿上計(jì)算柔性體的變形，并將此變形與臂桿剛性運(yùn)動(dòng)疊加，在此基礎(chǔ)上求出機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)參數(shù)。這種算法簡(jiǎn)化了動(dòng)力學(xué)求解的難度，但是忽略了柔性體變形與剛體運(yùn)動(dòng)的相互影響，這也是ASAD 仿真結(jié)果與SRMS遙測(cè)數(shù)據(jù)之間總存在較大誤差的原因之一［1，22-23］。

20世紀(jì)90年代中期，為了輔助組裝和維護(hù)“國(guó)際空間站”上的俄羅斯艙段，荷蘭Fokker公司開(kāi)始研制歐洲機(jī)械臂并開(kāi)發(fā)了歐洲機(jī)械臂的多體動(dòng)力學(xué)仿真系統(tǒng)（ERA Simulation Facility，ESF）［24-25］，該系統(tǒng)采用臂桿的前兩階彎曲模態(tài)與第一階扭轉(zhuǎn)模態(tài)來(lái)表征臂桿柔性特征；同時(shí)將關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化為非線(xiàn)性扭簧來(lái)表征關(guān)節(jié)剛度特征，關(guān)節(jié)摩擦力矩模型則采用如圖4所示的模型［26］，為了方便計(jì)算，ESF 將實(shí)驗(yàn)測(cè)量的動(dòng)摩擦力矩作為常值處理。

圖4 關(guān)節(jié)摩擦力矩模型Fig．4 Joint friction model

與ASAD 一樣，ESF 也是采用運(yùn)動(dòng)-彈性動(dòng)力學(xué)法建立歐洲臂柔性多體動(dòng)力學(xué)模型，也存在同樣的問(wèn)題，即忽略了柔性體變形與剛性運(yùn)動(dòng)的相互影響［25］。

2001年應(yīng)用于“國(guó)際空間站”的7 自由度機(jī)械臂SSRMS，利用其冗余自由度靈巧避障、避奇異點(diǎn)，改善了各關(guān)節(jié)的力矩狀況，這也是SSRMS 優(yōu)于SRMS，ERA，JEMRMS 的 地 方［27-28］。文 獻(xiàn)［29］采用拉格朗日法建立SSRMS 多體動(dòng)力學(xué)模型，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法來(lái)優(yōu)化軌跡及各個(gè)關(guān)節(jié)的輸出。

定義與各個(gè)關(guān)節(jié)相固連的坐標(biāo)系（如圖5 所示），并將每個(gè)關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角定義為廣義坐標(biāo)，即可得到各個(gè)部件之間的坐標(biāo)變換矩陣和各個(gè)部件間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系。通過(guò)系統(tǒng)動(dòng)能和系統(tǒng)勢(shì)能可建立機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型：

式中：Q為機(jī)械臂的系統(tǒng)動(dòng)能；V為機(jī)械臂的系統(tǒng)勢(shì)能；Ti為關(guān)節(jié)i的輸出力矩；L為拉格朗日函數(shù)。

圖5 拉格朗日法動(dòng)力學(xué)模型Fig．5 Establishment of Lagrange dynamic model

在圖5中，θi和θi＋1分別為桿i和i＋1相對(duì)于前一桿的轉(zhuǎn)動(dòng)角度，˙θi和˙θi＋1則為對(duì)應(yīng)的角速度。

混合坐標(biāo)法將空間機(jī)械臂臂桿假設(shè)為彈性連續(xù)體，在臂桿上建立浮動(dòng)坐標(biāo)系（坐標(biāo)系與柔性臂桿固連，柔性臂桿的變形使坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)位置及坐標(biāo)軸方向都隨之改變，故稱(chēng)為浮動(dòng)坐標(biāo)系），則柔性臂桿上任意一點(diǎn)的位置坐標(biāo)由浮動(dòng)坐標(biāo)系的剛體坐標(biāo)與柔性體相對(duì)于浮動(dòng)坐標(biāo)系的模態(tài)坐標(biāo)疊加得到。相比于SRMS的動(dòng)力學(xué)模型，混合坐標(biāo)法建立的動(dòng)力學(xué)模型描述了空間機(jī)械臂系統(tǒng)大范圍剛性運(yùn)動(dòng)與柔性振動(dòng)的相互影響，更加接近實(shí)際情況。

20世紀(jì)90年代中期，日本宇宙航空研究開(kāi)發(fā)機(jī)構(gòu)（JAXA）也開(kāi)展了空間機(jī)械臂JEMRMS的多體動(dòng)力學(xué)研究，最初也是利用有限元法計(jì)算模態(tài)特征值［30］。JEMRMS主要實(shí)現(xiàn)電池插拔等靈巧操作，最大操作載荷只有7000kg，JEMRMS臂桿設(shè)為剛性，只考慮關(guān)節(jié)柔性，這樣與SRMS、ERA、SSRMS等有很大不同。

2007年，文獻(xiàn)［31］認(rèn)為，簡(jiǎn)單將SSRMS臂桿假設(shè)為末端自由的懸臂梁來(lái)建立SSRMS動(dòng)力學(xué)模型并不能反映實(shí)際情況，于是JSC 采用拉格朗日法建立一套SSRMS模擬臂的動(dòng)力學(xué)模型，在求解柔性臂桿模態(tài)方程時(shí)，將末端邊界條件中加入了末端質(zhì)量影響因子，以表征不同末端質(zhì)量下臂桿的模態(tài)特性，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，修正末端邊界后的動(dòng)力學(xué)模型更加接近實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

2009年，文獻(xiàn)［32-33］利用牛頓-歐拉法建立了含空間站、機(jī)械臂及負(fù)載的多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，其中柔性臂桿模型也是通過(guò)混合坐標(biāo)法建立的；針對(duì)關(guān)節(jié)與機(jī)械臂末端振動(dòng)抑制問(wèn)題提出了一種控制策略，但其機(jī)械臂系統(tǒng)只考慮了一個(gè)關(guān)節(jié)，動(dòng)力學(xué)模型比較簡(jiǎn)單。

上述空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)建模方法的比較見(jiàn)表1。

表1 空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)建模方法比較Table 1 Comparison between different dynamic modeling methods of space manipulator

文獻(xiàn)［12］認(rèn)為采用拉格朗日法建立的空間機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型比牛頓歐拉法建立的動(dòng)力學(xué)模型規(guī)模小，計(jì)算效率更高。對(duì)于柔性多體系統(tǒng)，采用混合坐標(biāo)法建?？紤]了剛性運(yùn)動(dòng)與柔性振動(dòng)的耦合，更符合實(shí)際情況。因此，推薦用拉格朗日法建立空間機(jī)械臂多體動(dòng)力學(xué)模型，同時(shí)用混合坐標(biāo)法描述臂桿柔性變形與剛性運(yùn)動(dòng)的耦合。

3 柔性機(jī)械臂關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)建模方法

空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)是空間機(jī)械臂提供動(dòng)力、感知位置和機(jī)械連接的重要部件，是保證機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)范圍、運(yùn)動(dòng)精度和運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)性的關(guān)鍵?？臻g機(jī)械臂關(guān)節(jié)主要由動(dòng)力源、傳動(dòng)裝置、傳感器和控制器等組成。

空間柔性機(jī)械臂關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)建模是指建立關(guān)節(jié)輸出力矩與關(guān)節(jié)輸出運(yùn)動(dòng)參數(shù)的聯(lián)系。關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型與關(guān)節(jié)傳動(dòng)裝置有關(guān)，長(zhǎng)壽命大型空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)一般采用行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)作為主要傳動(dòng)裝置，圖6為某空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)。

圖6 某空間機(jī)械臂關(guān)節(jié)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)Fig．6 A gear transmission system of space manipulator joint

目前，針對(duì)空間柔性機(jī)械臂關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)建模研究主要有兩種思路：

（1）基于簡(jiǎn)化模型的空間柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)研究。此方法將柔性關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化成扭簧，不考慮傳動(dòng)裝置內(nèi)部動(dòng)力傳動(dòng)關(guān)系，只考慮關(guān)節(jié)輸出力矩與關(guān)節(jié)輸出運(yùn)動(dòng)參數(shù)的關(guān)系。

（2）基于精細(xì)模型的空間柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)研究。此方法深入分析傳動(dòng)裝置各個(gè)部件間的受力、運(yùn)動(dòng)關(guān)系，考察部件與部件之間的各種非線(xiàn)性影響因素，建立整個(gè)關(guān)節(jié)的動(dòng)力學(xué)模型，由此得到關(guān)節(jié)輸出力矩與關(guān)節(jié)輸出運(yùn)動(dòng)參數(shù)的關(guān)系。

3．1 基于簡(jiǎn)化模型的動(dòng)力學(xué)建模方法

關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)的早期研究是將關(guān)節(jié)假設(shè)為線(xiàn)性扭簧，此模型無(wú)法涵蓋齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的摩擦及間隙等非線(xiàn)性因素的影響。1982年，文獻(xiàn)［2］在研究SRMS關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)時(shí)，將關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化為一個(gè)非線(xiàn)性扭簧，該扭簧剛度曲線(xiàn)由一段直線(xiàn)與一段拋物線(xiàn)組成（如圖7所示），其中直線(xiàn)段斜率為關(guān)節(jié)輸出參數(shù)穩(wěn)定時(shí)的關(guān)節(jié)剛度，直線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)與橫軸的交點(diǎn)即為關(guān)節(jié)間隙角的一半，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)交點(diǎn)（δ1，T1）則通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合獲得。此剛度模型綜合考慮了剛度與間隙的影響，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合修正，可信程度較大。

文獻(xiàn)［34］在關(guān)節(jié)模型中引入摩擦力矩的影響，將電機(jī)自身的摩擦力矩與關(guān)節(jié)傳動(dòng)系統(tǒng)的摩擦力矩區(qū)別對(duì)待，關(guān)節(jié)摩擦力矩模型簡(jiǎn)化為圖4所示的庫(kù)侖摩擦模型，忽略非線(xiàn)性影響。文獻(xiàn)［30］也將JEMRMS關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化為此類(lèi)彈簧-阻尼模型。

圖7 SRMS關(guān)節(jié)剛度模型Fig．7 Joint stiffness model of SRMS

2008年，文獻(xiàn)［35-36］在建立柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型時(shí)也將關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化為非線(xiàn)性扭簧，并在此基礎(chǔ)上建立關(guān)節(jié)控制系統(tǒng)。

關(guān)節(jié)簡(jiǎn)化模型忽略了實(shí)際關(guān)節(jié)中復(fù)雜的齒輪構(gòu)形與受力關(guān)系，僅考慮關(guān)節(jié)宏觀動(dòng)力學(xué)特點(diǎn)。以此建立的關(guān)節(jié)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單。簡(jiǎn)化模型對(duì)關(guān)節(jié)的非線(xiàn)性剛度特別是齒輪嚙合剛度的時(shí)變特性無(wú)法準(zhǔn)確描述，也不能解釋關(guān)節(jié)的高頻振動(dòng)等現(xiàn)象，模型的各個(gè)參數(shù)均需通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量獲得，代價(jià)較大，簡(jiǎn)化模型對(duì)關(guān)節(jié)零部件的機(jī)械系統(tǒng)設(shè)計(jì)、減重及優(yōu)化指導(dǎo)意義不大，難以獲得關(guān)節(jié)內(nèi)部傳動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特性。然而，由于該模型簡(jiǎn)單且能反映關(guān)節(jié)的宏觀運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，所以在單關(guān)節(jié)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中應(yīng)用較多。

3．2 基于精細(xì)模型的動(dòng)力學(xué)建模方法

為了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)行為，要用更高精度的機(jī)械臂關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型來(lái)反映真實(shí)動(dòng)力學(xué)特性，須要建立更加細(xì)化的、全面考慮關(guān)節(jié)非線(xiàn)性影響因素的關(guān)節(jié)模型。

多級(jí)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模一般參照齒輪的動(dòng)力學(xué)建模方法［37］。影響齒輪嚙合的非線(xiàn)性因素主要包括時(shí)變嚙合剛度、傳動(dòng)誤差、齒側(cè)間隙和嚙合阻尼（圖8）。

圖8 齒輪精細(xì)動(dòng)力學(xué)模型Fig．8 Detail dynamic model of gears

（1）時(shí)變嚙合剛度［38］。嚙合剛度即輪齒抵抗沿嚙合線(xiàn)方向變形的能力。由于輪齒嚙合位置的變化及重合度的影響，齒輪嚙合剛度呈周期性變化。

（2）傳動(dòng)誤差［39］。齒輪加工、裝配過(guò)程中產(chǎn)生的幾何偏心及運(yùn)動(dòng)偏心等誤差，造成的齒輪機(jī)構(gòu)從動(dòng)輪實(shí)際轉(zhuǎn)角與理論轉(zhuǎn)角之差即為傳動(dòng)誤差，此誤差屬于隨機(jī)誤差。

（3）齒側(cè)間隙。齒輪加工時(shí)造成的輪齒變薄及裝配中齒輪副中心距的改變，使得嚙合輪齒對(duì)之間存在間隙。齒側(cè)間隙一般由分段函數(shù)表示。

（4）嚙合阻尼。由于齒面摩擦等引起的阻礙齒輪副相對(duì)運(yùn)動(dòng)的能力。

1993年，文獻(xiàn)［40］在設(shè)計(jì)一個(gè)容錯(cuò)關(guān)節(jié)時(shí)，采用精細(xì)模型分析了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)各個(gè)齒輪間的嚙合關(guān)系，計(jì)算了關(guān)節(jié)頻域特性，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基本吻合。然而，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，此模型只考慮了齒輪扭轉(zhuǎn)剛度與慣性等線(xiàn)性因素，將嚙合剛度當(dāng)作常值處理，忽略了齒側(cè)間隙等非線(xiàn)性因素的影響。

2010年，文獻(xiàn)［41-42］將這種方法引入到多級(jí)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模中，采用集中參數(shù)法分析了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中每對(duì)齒輪的時(shí)變嚙合剛度、齒側(cè)間隙、傳動(dòng)誤差及嚙合阻尼的影響，建立了細(xì)化關(guān)節(jié)模型。

細(xì)化關(guān)節(jié)模型中，輪齒單齒嚙合剛度由國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)ISO6336提供的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算得到，雙齒或多齒嚙合情況下的嚙合剛度根據(jù)重合度的大小計(jì)算得到，雙齒或多齒嚙合剛度視為單齒嚙合的并聯(lián)系統(tǒng)，由此獲得齒輪傳動(dòng)嚙合剛度的周期性時(shí)變特性［42］。在該模型中，傳動(dòng)誤差視為齒輪轉(zhuǎn)角的正弦函數(shù)，齒側(cè)間隙用雙曲正切函數(shù)來(lái)模擬。

仿真結(jié)果表明，齒側(cè)間隙是造成關(guān)節(jié)諧振的重要因素，在建立關(guān)節(jié)傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型時(shí)必須考慮。然而，關(guān)節(jié)精細(xì)模型的計(jì)算精度雖有了較大提高，但是求解計(jì)算量大（每個(gè)關(guān)節(jié)模型由11個(gè)2階偏微分方程組成），不能直接應(yīng)用，需要予以簡(jiǎn)化。

2013年，文獻(xiàn)［43］基于關(guān)節(jié)精細(xì)模型對(duì)某多級(jí)行星齒輪傳動(dòng)的關(guān)節(jié)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)剛度進(jìn)行了分析，分析結(jié)果表明，關(guān)節(jié)多級(jí)行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)高速級(jí)與中速級(jí)剛度降低90%時(shí)，關(guān)節(jié)傳動(dòng)系統(tǒng)總剛度僅降低1．85%，關(guān)節(jié)傳動(dòng)系統(tǒng)的剛度主要受低速級(jí)影響，高速級(jí)則可當(dāng)作剛性對(duì)待，這樣簡(jiǎn)化后每個(gè)關(guān)節(jié)模型的規(guī)模將降低60%以上。

基于以上分析，采用精細(xì)模型來(lái)研究空間柔性機(jī)械臂關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)特性時(shí)，重點(diǎn)應(yīng)放在傳動(dòng)系統(tǒng)的低速級(jí)上。同時(shí)，還須通過(guò)相關(guān)實(shí)驗(yàn)獲得齒輪非線(xiàn)性嚙合剛度、傳動(dòng)誤差和間隙等參數(shù)來(lái)修正關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型。

4 結(jié)束語(yǔ)

基于對(duì)國(guó)內(nèi)外載人航天器柔性機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)建模方法的綜合分析，得出如下幾點(diǎn)結(jié)論：

（1）空間柔性機(jī)械臂多體動(dòng)力學(xué)可采用拉格朗日法建模，以利用拉格朗日法建模程序化、規(guī)范化、模型規(guī)模小的優(yōu)點(diǎn)；宜采用混合坐標(biāo)法來(lái)描述臂桿剛性運(yùn)動(dòng)與柔性變形的耦合，更準(zhǔn)確地描述機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)行為。

（2）應(yīng)建立含時(shí)變嚙合剛度、間隙及傳動(dòng)誤差等非線(xiàn)性因素的關(guān)節(jié)精細(xì)動(dòng)力學(xué)模型，使關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)行為的描述更準(zhǔn)確。

（3）建立關(guān)節(jié)精細(xì)動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，宜將重點(diǎn)放在齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的低速級(jí)上，可忽略高速級(jí)柔性，以簡(jiǎn)化關(guān)節(jié)精細(xì)模型。

（4）關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型建立時(shí)需要輔以實(shí)驗(yàn)手段，用關(guān)節(jié)參數(shù)的測(cè)試結(jié)果修正關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型。

（5）空間柔性機(jī)械臂多體動(dòng)力學(xué)模型和關(guān)節(jié)動(dòng)力學(xué)模型的準(zhǔn)確建立，有利于有的放矢地設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)，提高機(jī)械臂末端定位精度，降低末端振動(dòng)衰減時(shí)間。

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