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    關(guān)注數(shù)學(xué)聯(lián)系 提升教學(xué)品質(zhì)

    2013-12-27 06:45王鐵成杜先富
    關(guān)鍵詞:銳角三角對(duì)稱(chēng)軸切線

    王鐵成 杜先富

    摘要:數(shù)學(xué)充滿聯(lián)系,發(fā)現(xiàn)聯(lián)系建立聯(lián)系,是數(shù)學(xué)活動(dòng)的重要目的.本文從三個(gè)方面探討“三角函數(shù)”與其他數(shù)學(xué)主題的關(guān)聯(lián),重點(diǎn)討論與“銳角三角函數(shù)”、“直線和圓”、“函數(shù)單調(diào)性”的聯(lián)系.具體而言,第一,要突出與初中“銳角三角函數(shù)”的銜接;第二,要強(qiáng)化與直線和圓的關(guān)聯(lián);第三,要實(shí)現(xiàn)與函數(shù)性質(zhì)以及指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的對(duì)接.無(wú)論是從“怎樣學(xué)數(shù)學(xué)”的角度,還是提升教學(xué)品質(zhì)的角度,關(guān)注數(shù)學(xué)聯(lián)系,尋求數(shù)學(xué)聯(lián)系,都應(yīng)該成為教學(xué)目標(biāo)之一,或者說(shuō)數(shù)學(xué)教師的任務(wù)之一.

    關(guān)鍵詞:學(xué)習(xí)目標(biāo);數(shù)學(xué)聯(lián)系

    作為教師,在教材中讀出聯(lián)系,是不成問(wèn)題的.問(wèn)題是,怎樣在課堂中 在教學(xué)中幫助學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)外的聯(lián)系,甚至“發(fā)現(xiàn)”數(shù)學(xué)聯(lián)系,把“隱性的數(shù)學(xué)聯(lián)系”“顯現(xiàn)”出來(lái),從而保證上述目標(biāo)的達(dá)成?下面就“三角函數(shù)”與其他各個(gè)主題的聯(lián)系,談一些思考.

    一、作為理論化的三角函數(shù),要突出與初中“銳角三角函數(shù)”的銜接

    從認(rèn)知心理角度講,學(xué)生初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù),是高中學(xué)習(xí)任意角三角函數(shù)的基礎(chǔ).作為理論化的任意角的三角函數(shù),要突出與初中“銳角三角函數(shù)”的銜接.

    圖1例1以銳角三角函數(shù)為基礎(chǔ)的“和角公式”和“半角公式”

    解:(1)如圖1,在△ABC中,設(shè)∠ABC=α(α為鈍角),

    AB=BC,E為AC的中點(diǎn),AD⊥CD于D,

    則∠ABE=α12,∠ABD=180°-α,不妨設(shè)AB=1,

    在Rt△ABD中,AD=-cosα,AD=sinα,

    所以CD=1-cosα,AC=AD2+CD2=2-2cosα,

    AE=2-2cosα12,所以sinα12=2-2cosα12,cosα12=2+2cosα12.

    圖2(2)設(shè)∠BAC=α,∠ABC=β(α+β<90°),過(guò)C作CD⊥AB于D,過(guò)B作BE⊥AC ,交AC的延長(zhǎng)線于E,如圖2.

    不妨設(shè)AC=1,在Rt△ACD中,AD=cosα,CD=sinα.

    在Rt△CDB中,BD=CD·cosβ1sinβ=sinαcosβ1sinβ,

    BC=CD1sinβ=sinα1sinβ.在Rt△BCE中,∠BCE=α+β,BE=BCsin∠BCE=sinα1sinβsin(α+β).

    在Rt△BAE中,AB=cosα+sinαcosβ1sinβ,BE=cosαsinβ+sinαcosβ1sinβsinα,

    所以sinα1sinβ·sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ1sinβ·sinα.

    即sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

    二、三角函數(shù)就是圓函數(shù),要強(qiáng)化三角函數(shù)與必修2之間的關(guān)聯(lián)

    我們知道任意角α的正弦和余弦就是角α的終邊與單位圓交點(diǎn)的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo),這一規(guī)定是整個(gè)三角函數(shù)體系化的基石.三角函數(shù)天然就與圓緊密相連,比如,單位圓的方程是x2+y2=1,所以sin2α+cos2α=1.三角函數(shù)的教學(xué)應(yīng)該提示、揭示這種關(guān)系,強(qiáng)化相互關(guān)聯(lián),一方面掌握正、余弦概念的程序操作,另一方面鞏固必修2的相關(guān)知識(shí).試舉兩例.

    圖3例2如圖3,A、B是單位圓O上的點(diǎn),且B在第二象限,C是圓與x軸正半軸的交點(diǎn),A點(diǎn)的坐標(biāo)是 (315,415),△AOB為正三角形.(1)求sin∠COA;(2)求cos∠COB.

    分析:設(shè)B的坐標(biāo)為(x,y)(x<0,y>0),由已知有

    x2+y2=1

    (x-315)2+(y-415)2=1 ,解得x=3-43110,

    所以cos∠COB=3-43110.

    例3已知圓 和圓外一點(diǎn) ,過(guò) 作圓的兩條切線,設(shè)兩切線夾角為 ,求 和 的值.析:設(shè)切線方程為 ,由已知有 ,解得 或 ,依題意 ,所以 三、作為一類(lèi)基本的初等函數(shù),要實(shí)現(xiàn)與必修1的對(duì)接

    顯然,函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)在整個(gè)高中需經(jīng)歷三個(gè)階段:第一階段,必修1——函數(shù)的基本性質(zhì),指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性;第二階段,必修4——三角函數(shù) 的單調(diào)性;第三個(gè)階段,文科選修1-1、理科選修2-2——導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用. 每個(gè)階段的側(cè)重點(diǎn)不同,第一階段,側(cè)重函數(shù)單調(diào)性的概念理解和判斷(證明)程序的學(xué)習(xí),第二個(gè)階段主要是求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間,第三個(gè)階段重點(diǎn)是用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.從概念理解到程序操作,三角函數(shù)承前啟后,作用不可低估.用換元法和圖象變換求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+h的單調(diào)區(qū)間.

    例3求函數(shù)y=2sin(2x+π13)圖象的對(duì)稱(chēng)中心、對(duì)稱(chēng)軸以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

    分析:由y=2sin(2x+π13)的對(duì)稱(chēng)中心是(kπ,0),對(duì)稱(chēng)軸是x=kπ+π12,增區(qū)間是[2kπ-π12,2kπ+π12],減區(qū)間是[2kπ+π12,2kπ+3π12],得

    y=2sin(2x+π13)的對(duì)稱(chēng)中心是(kπ-π1312,0),對(duì)稱(chēng)軸是x=kπ+π12-π1312,增區(qū)間是[2kπ-π12-π1312,2kπ+π12-π1312],減區(qū)間是[2kπ+π12-π1312,2kπ+3π12-π1312].3.2 用單調(diào)性求 的最大(?。┲道? 求函數(shù) 的最大值和最小值.析:當(dāng) 時(shí)函數(shù) 遞減,也就是 時(shí)函數(shù) 遞增,即函數(shù)在 上遞增,在區(qū)間 上遞減,所以當(dāng) 時(shí), 取得最小值 ,又當(dāng) 時(shí) ,當(dāng) 時(shí) ,所以 取得最大值 綜上,三角函數(shù)與多個(gè)數(shù)學(xué)主題相連,不僅如此,這種鏈接還可以延伸到選修4-4“極坐標(biāo)系”,延伸到向量空間,這里不再贅述.正如顧泠沅教授所說(shuō)的:“在概念之間建立聯(lián)系” 可以“保持高水平認(rèn)知”,同樣,教學(xué)中不斷地嘗試各種表征方式、各種數(shù)學(xué)活動(dòng)方式,保持?jǐn)?shù)學(xué)思想與方法之間的密切聯(lián)系,不斷地溝通各數(shù)學(xué)主題,或許可以提升教學(xué)的品質(zhì).

    參考文獻(xiàn):

    [1]普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))[M].北京:人民教育出版社.

    [2]鄭毓信.數(shù)學(xué)教育:從理論到實(shí)踐—熱點(diǎn)透視與個(gè)案點(diǎn)評(píng)[M]. 上海:上海教育出版,2002,11.

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