小內射環(huán)的擴張

沈 亮 陳建龍

(東南大學數(shù)學系,南京 210096)

設R為環(huán),MR表示M為右R-模,EndMR表示MR的自同態(tài)環(huán).f=c·(c∈R)表示f為通過R中元素c進行左乘的一個映射.J=J(R)表示環(huán)R的Jacobson根.

環(huán)R稱為右自內射環(huán)如果其作為右R-模為自內射模.這等價于每個從R的右理想到RR的同態(tài),存在c∈R使得f=c·.類似可定義左自內射環(huán).通過將環(huán)的理想限制在小理想上,Yousif和Zhou在文獻[1]中引入小內射環(huán)的定義.環(huán)R的右理想I是小理想當且僅當I包含在J(R)中[2].環(huán)R稱為右小內射環(huán)如果每個從R的小右理想I到RR的同態(tài)f可擴張為RR的一個自同態(tài).類似可定義左小內射環(huán).

文獻[1]中給出了環(huán)的小內射性與自內射性及相關自內射性的推廣之間的聯(lián)系.其中的一些主要結論在文獻 [3-4]中得到改進.本文將討論一些擴張環(huán)如環(huán)的平凡擴張、形式三角矩陣環(huán)、上三角矩陣環(huán)以及群環(huán)的小內射性.

1 一些定義

首先給出一些環(huán)的擴張的定義.

定義3設R為環(huán),n≥1.Tn(R)表示R上的n階上三角矩陣環(huán).可證明Tn(R)的Jacobson根即該環(huán)中對角線元素取自J(R)的所有矩陣的集合.

式中,cμ=∑aσbτ滿足στ=μ.

2 主要結論

設R為環(huán),RVR為一個雙R-模.則R=EndVR如果對?f∈EndVR,存在元素c∈R使得f=c·.首先討論環(huán)的平凡擴張的小內射性.

引理1[5]設S=R∝V,其中R為環(huán),RVR為一個雙R-模.則S為右自內射環(huán)當且僅當V作為右R-模為自內射模且R=EndVR.

有如下定理:

定理1設S=R∝V,其中R為環(huán),RVR為一個雙R-模.下列性質等價:

1)S為右自內射環(huán).

2)S為右小內射環(huán).

3)V作為右R-模為自內射模且R=EndVR.

故f(a)=ba,?a∈K.所以f=b·.因此V作為右R-模為自內射模且R=EndVR.

由于環(huán)R作為R-模為雙模,且R=EndRR,則有如下推論:

推論1設R為環(huán),S=R∝R.下列性質等價:

1)R為右自內射環(huán).

2)S為右自內射環(huán).

3)S為右小內射環(huán).

注1在上述推論中,如果R為右小內射環(huán),S未必為右小內射環(huán).例如,令S=Z∝Z,其中Z為整數(shù)環(huán).由于Z的Jacobson根為零,則Z為右小內射環(huán),但S不是右小內射環(huán).否則由上述推論得Z為右自內射環(huán),但Z不是右自內射環(huán).

接下來討論形式三角矩陣環(huán)的小內射性.

1)S為右小內射環(huán).

2) HomS(K,S)=0.

3) 如果f∈HomS(K,V),則存在r∈R使得?k∈K,f(k)=rk.特別地,VS為自內射模.

注2根據(jù)定理2中的結論2),如果VS非零且S是右S-模的上生成子，則U不是右小內射環(huán).

下述命題說明非平凡的上三角矩陣環(huán)不是右小內射環(huán).

命題1設R為環(huán),n≥2.則S=Tn(R)不是右小內射環(huán).

證明用eij表示S中的滿足第(i,j)位元素為1，其余位置元素為0的矩陣,1≤i≤j≤n.令 0≠x∈R,則K=e1nxR為S的一個小右理想.下面定義從K到S的映射γ使得γ(e1nxt)=ennxt,?t∈R.則γ為從小右理想K到SS的一個右S-模同態(tài).如果S為右小內射環(huán),則存在矩陣C∈S使得γ(e1nxt)=Ce1nxt,?t∈R.取t=1,則ennx=Ce1nx.得x=0,與假設矛盾.

注3根據(jù)上述命題,如果取n=2,則S=T2(R)同時也是一個非右小內射的形式三角矩陣環(huán)的例子.

下面給出一個右小內射的形式三角矩陣環(huán)的例子.

最后,給出關于群環(huán)小內射性的部分結論.環(huán)R稱為半局部環(huán)如果商環(huán)R/J為半單環(huán).

引理2[6]設R為環(huán),G為有限群.則群環(huán)RG為右自內射環(huán)當且僅當R為右自內射環(huán).

引理3[7]設R為半局部環(huán),G為有限群.則群環(huán)RG也為半局部環(huán).

命題2設R為半局部環(huán),G為有限群.下列性質等價:

1)R為右自內射環(huán).

2)R為右小內射環(huán).

3)RG為右自內射環(huán).

4)RG為右小內射環(huán).

證明根據(jù)引理2,1)?3)、1)?2)和3)?4)顯然成立.由于R為半局部環(huán),G為有限群,由引理 3知,RG為半局部環(huán).再由文獻[3]中引理3.13的結論(如果R為半局部環(huán),則R為右小內射環(huán)當且僅當R為右自內射環(huán))可得2)?1)和4)?3).

)

[1] Yousif M F, Zhou Y Q.FP-injective, simple-injective and quasi-Frobenius rings [J].CommAlgebra, 2004,32(6): 2273-2285.

[2] Anderson F W, Fuller K R.Ringsandcategoriesofmodules:graduatetextsinmathematics[M]. 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 1992.

[3] Shen L, Chen J L. New characterizations of quasi-Frobenius rings [J].CommAlgebra, 2006,34(6): 2157-2165.

[4] Shen L.J-regular rings with injectivities [J].AlgebraColloq, 2013,20(2): 343-347.

[5] Faith C. Self-injective rings [J].ProcAmerMathSoc, 1979,77(2): 157-164.

[6] Connell I G. On the group rings [J].CanadianJMath, 1963,15: 650-685.

[7] Chin A Y M, Lumpur K. A note on semilocal group rings [J].CzechoslovakMathJ, 2012,52(127): 749-755.