小內(nèi)射環(huán)的擴(kuò)張

沈 亮 陳建龍

(東南大學(xué)數(shù)學(xué)系,南京 210096)

設(shè)R為環(huán),MR表示M為右R-模,EndMR表示MR的自同態(tài)環(huán).f=c·(c∈R)表示f為通過R中元素c進(jìn)行左乘的一個(gè)映射.J=J(R)表示環(huán)R的Jacobson根.

環(huán)R稱為右自內(nèi)射環(huán)如果其作為右R-模為自內(nèi)射模.這等價(jià)于每個(gè)從R的右理想到RR的同態(tài),存在c∈R使得f=c·.類似可定義左自內(nèi)射環(huán).通過將環(huán)的理想限制在小理想上,Yousif和Zhou在文獻(xiàn)[1]中引入小內(nèi)射環(huán)的定義.環(huán)R的右理想I是小理想當(dāng)且僅當(dāng)I包含在J(R)中[2].環(huán)R稱為右小內(nèi)射環(huán)如果每個(gè)從R的小右理想I到RR的同態(tài)f可擴(kuò)張為RR的一個(gè)自同態(tài).類似可定義左小內(nèi)射環(huán).

文獻(xiàn)[1]中給出了環(huán)的小內(nèi)射性與自內(nèi)射性及相關(guān)自內(nèi)射性的推廣之間的聯(lián)系.其中的一些主要結(jié)論在文獻(xiàn) [3-4]中得到改進(jìn).本文將討論一些擴(kuò)張環(huán)如環(huán)的平凡擴(kuò)張、形式三角矩陣環(huán)、上三角矩陣環(huán)以及群環(huán)的小內(nèi)射性.

1 一些定義

首先給出一些環(huán)的擴(kuò)張的定義.

定義3設(shè)R為環(huán),n≥1.Tn(R)表示R上的n階上三角矩陣環(huán).可證明Tn(R)的Jacobson根即該環(huán)中對(duì)角線元素取自J(R)的所有矩陣的集合.

式中,cμ=∑aσbτ滿足στ=μ.

2 主要結(jié)論

設(shè)R為環(huán),RVR為一個(gè)雙R-模.則R=EndVR如果對(duì)?f∈EndVR,存在元素c∈R使得f=c·.首先討論環(huán)的平凡擴(kuò)張的小內(nèi)射性.

引理1[5]設(shè)S=R∝V,其中R為環(huán),RVR為一個(gè)雙R-模.則S為右自內(nèi)射環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)V作為右R-模為自內(nèi)射模且R=EndVR.

有如下定理:

定理1設(shè)S=R∝V,其中R為環(huán),RVR為一個(gè)雙R-模.下列性質(zhì)等價(jià):

1)S為右自內(nèi)射環(huán).

2)S為右小內(nèi)射環(huán).

3)V作為右R-模為自內(nèi)射模且R=EndVR.

故f(a)=ba,?a∈K.所以f=b·.因此V作為右R-模為自內(nèi)射模且R=EndVR.

由于環(huán)R作為R-模為雙模,且R=EndRR,則有如下推論:

推論1設(shè)R為環(huán),S=R∝R.下列性質(zhì)等價(jià):

1)R為右自內(nèi)射環(huán).

2)S為右自內(nèi)射環(huán).

3)S為右小內(nèi)射環(huán).

注1在上述推論中,如果R為右小內(nèi)射環(huán),S未必為右小內(nèi)射環(huán).例如,令S=Z∝Z,其中Z為整數(shù)環(huán).由于Z的Jacobson根為零,則Z為右小內(nèi)射環(huán),但S不是右小內(nèi)射環(huán).否則由上述推論得Z為右自內(nèi)射環(huán),但Z不是右自內(nèi)射環(huán).

接下來討論形式三角矩陣環(huán)的小內(nèi)射性.

1)S為右小內(nèi)射環(huán).

2) HomS(K,S)=0.

3) 如果f∈HomS(K,V),則存在r∈R使得?k∈K,f(k)=rk.特別地,VS為自內(nèi)射模.

注2根據(jù)定理2中的結(jié)論2),如果VS非零且S是右S-模的上生成子，則U不是右小內(nèi)射環(huán).

下述命題說明非平凡的上三角矩陣環(huán)不是右小內(nèi)射環(huán).

命題1設(shè)R為環(huán),n≥2.則S=Tn(R)不是右小內(nèi)射環(huán).

證明用eij表示S中的滿足第(i,j)位元素為1，其余位置元素為0的矩陣,1≤i≤j≤n.令 0≠x∈R,則K=e1nxR為S的一個(gè)小右理想.下面定義從K到S的映射γ使得γ(e1nxt)=ennxt,?t∈R.則γ為從小右理想K到SS的一個(gè)右S-模同態(tài).如果S為右小內(nèi)射環(huán),則存在矩陣C∈S使得γ(e1nxt)=Ce1nxt,?t∈R.取t=1,則ennx=Ce1nx.得x=0,與假設(shè)矛盾.

注3根據(jù)上述命題,如果取n=2,則S=T2(R)同時(shí)也是一個(gè)非右小內(nèi)射的形式三角矩陣環(huán)的例子.

下面給出一個(gè)右小內(nèi)射的形式三角矩陣環(huán)的例子.

最后,給出關(guān)于群環(huán)小內(nèi)射性的部分結(jié)論.環(huán)R稱為半局部環(huán)如果商環(huán)R/J為半單環(huán).

引理2[6]設(shè)R為環(huán),G為有限群.則群環(huán)RG為右自內(nèi)射環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R為右自內(nèi)射環(huán).

引理3[7]設(shè)R為半局部環(huán),G為有限群.則群環(huán)RG也為半局部環(huán).

命題2設(shè)R為半局部環(huán),G為有限群.下列性質(zhì)等價(jià):

1)R為右自內(nèi)射環(huán).

2)R為右小內(nèi)射環(huán).

3)RG為右自內(nèi)射環(huán).

4)RG為右小內(nèi)射環(huán).

證明根據(jù)引理2,1)?3)、1)?2)和3)?4)顯然成立.由于R為半局部環(huán),G為有限群,由引理 3知,RG為半局部環(huán).再由文獻(xiàn)[3]中引理3.13的結(jié)論(如果R為半局部環(huán),則R為右小內(nèi)射環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R為右自內(nèi)射環(huán))可得2)?1)和4)?3).

)

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