四元數(shù)調(diào)制重疊變換及其在雙彩色圖像數(shù)字水印中的應(yīng)用

陳北京 田翠翠 戴 慧 王定成 舒華忠

(1南京信息工程大學(xué)計(jì)算機(jī)與軟件學(xué)院,南京 210044)

(2南京信息工程大學(xué)江蘇省網(wǎng)絡(luò)監(jiān)控工程中心,南京 210044)

(3南京工程學(xué)院計(jì)算機(jī)工程學(xué)院,南京 210013)

(4東南大學(xué)影像科學(xué)與技術(shù)實(shí)驗(yàn)室,南京 210096)

著名數(shù)學(xué)家Hamilton[1]提出的四元數(shù)(quaternions)是傳統(tǒng)復(fù)數(shù)的推廣, 1個(gè)四元數(shù)包含1個(gè)實(shí)部和3個(gè)虛部.20世紀(jì)90年代,國內(nèi)外部分學(xué)者開始將四元數(shù)的相關(guān)理論引入到彩色圖像處理中[2-6],將彩色圖像的每個(gè)像素值采用1個(gè)純四元數(shù)來表示,3個(gè)分量作為其3個(gè)虛部.基于四元數(shù)彩色圖像表示方法,很多經(jīng)典的針對(duì)灰度圖像的算法和工具都已經(jīng)有效推廣應(yīng)用于彩色圖像處理中,特別是一些常用的數(shù)學(xué)變換,如Fourier變換[2]、小波變換[3]、Gabor變換[4]、Curvelet變換[5]和矩變換[6]等.研究結(jié)果表明,該表示方法維護(hù)了三通道的整體性,考慮了色彩關(guān)聯(lián),能夠有效避免現(xiàn)有彩色圖像常用處理方法(灰度化和三通道分別處理)的不足,即丟失了色彩信息和破壞了三通道的整體性.

復(fù)數(shù)調(diào)制重疊變換(modulated complex lapped transform, MCLT)是將調(diào)制重疊變換(modulated lapped transform, MLT)由實(shí)數(shù)域向復(fù)數(shù)域擴(kuò)充得到的[7].MCLT系數(shù)與MLT系數(shù)具有相同的幅度,但前者較后者增加了相位信息.MCLT具有完全重建、無邊界效應(yīng)和較高的編碼增益等優(yōu)良特性,已廣泛應(yīng)用于音頻處理、數(shù)字水印、去噪和身份鑒別等諸多領(lǐng)域[7-8].

本文定義了一種四元數(shù)調(diào)制重疊變換(modulated quaternion lapped transform, MQLT),將MCLT變換由復(fù)數(shù)域向四元數(shù)域擴(kuò)充,以處理四元數(shù)信號(hào)(特別是彩色圖像).通過建立彩色圖像MQLT系數(shù)和三通道MCLT系數(shù)之間的關(guān)系,提出針對(duì)MQLT變換的有效計(jì)算方法.通過分析MQLT系數(shù)的相關(guān)性質(zhì),將MQLT變換應(yīng)用于彩色圖像數(shù)字水印中,提出魯棒的雙彩色圖像盲水印算法.

1 四元數(shù)及MCLT

1.1 四元數(shù)及四元數(shù)彩色圖像表示方法

一個(gè)四元數(shù)q可以表示為

q=a+bi+cj+dk

(1)

式中,a,b,c,d∈R;i, j, k為虛數(shù)單位,且滿足如下運(yùn)算法則:

i2=j2=k2=-1
ij=-ji=k
jk=-kj=i
ki=-ik=j

(2)

以RGB顏色空間為例,彩色圖像f(m,n)可以表示為

f(m,n)=fR(m,n)i+fG(m,n)j+fB(m,n)k

(3)

式中,fR(m,n),fG(m,n),fB(m,n)分別為彩色圖像的紅、綠、藍(lán)3個(gè)分量.

由式(3)可知,1幅彩色圖像可表示為1個(gè)純四元數(shù)矩陣.對(duì)于采用其他顏色空間表示的彩色圖像,比如CIE XYZ，HSV，YUV等,只需替換式(3)中相應(yīng)的3個(gè)虛部即可.

1.2 MCLT

令f(x,y)為1個(gè)2M×2N的二維圖像密度函數(shù),其MCLT定義為[7]

jpS(x,y,U,V)]

(4)

式中

(5)

(6)

令FC(U,V)和FS(U,V)分別表示F(U,V)的實(shí)部和虛部,由式(4)～(6)易得如下的對(duì)稱性或反對(duì)稱性公式:

fC(2M-1-U, 2N-1-V)=(-1)M+NFC(U,V)

fC(2M-1-U,V)=(-1)M+1FC(U,V)

fC(U,2N-1-V)=(-1)N+1FC(U,V)

fS(2M-1-U,2N-1-V)=(-1)M+NFS(U,V)

fS(2M-1-U,V)=(-1)MFS(U,V)

fS(U,2N-1-V)=(-1)NFS(U,V)

U=0,1,2,…,M-1;V=0,1,2,…,N-1

(7)

因此,逆變換IMCLT可定義為

jpS(x,y,U,V)]

(8)

2 四元數(shù)調(diào)制重疊變換及其應(yīng)用

2.1 定義

根據(jù)灰度圖像MCLT的定義式(4)和四元數(shù)代數(shù)理論,令大小為2M×2N的彩色圖像f(m,n)的右邊型四元數(shù)調(diào)制重疊變換MQLT變換及其逆變換IMQLT分別為

μpS(m,n,U,V)]

(9)

μpS(m,n,U,V)]

(10)

由式(2)可知,四元數(shù)的乘法不滿足交換律,因此交換式(9)累加項(xiàng)中兩項(xiàng)的位置,將pC(m,n,U,V)-μpS(m,n,U,V)移到f(m,n)的左邊,可以定義左邊型MQLT及相應(yīng)的左邊型IMQLT.本文中討論的都是右邊型MQLT,左邊型MQLT可以類似分析.

2.2 系數(shù)特性及有效計(jì)算

MQLT和IMQLT可由單通道傳統(tǒng)的MCLT及其逆變換IMCLT表示.下面分別給出μ=k和μ=μLum時(shí)的關(guān)系式,并據(jù)此提出MQLT的有效快速計(jì)算算法以及分析MQLT系數(shù)的相關(guān)特性.

當(dāng)μ=k時(shí),將式(3)代入式(9)可得

fB(m,n)k][pC(m,n,U,V)-kpS(m,n,U,V)]=

fG(m,n)pS(m,n,U,V)]+

fR(m,n)pS(m,n,U,V)]+

A(U,V)+B(U,V)i+C(U,V)j+

D(U,V)k

(11)

式中

A(U,V)=-Im(MCLT(fB)(U,V))

B(U,V)=Re(MCLT(fR)(U,V))+
Im(MCLT(fG)(U,V))

C(U,V)=Re(MCLT(fG)(U,V))-
Im(MCLT(fR)(U,V))

D(U,V)=Re(MCLT(fB)(U,V))

(12)

式中,MCLT(fR), MCLT(fG),MCLT(fB)分別為紅、綠、藍(lán)通道傳統(tǒng)的MCLT系數(shù).

式(11)和式(12)提供了一種關(guān)于MQLT變換的有效快速計(jì)算方法,即將MQLT變換的計(jì)算轉(zhuǎn)換為3個(gè)通道MCLT變換的計(jì)算.目前,對(duì)于MCLT變換的快速計(jì)算已有廣泛研究[8-9],將這些快速算法與式(11)和式(12)相結(jié)合即可實(shí)現(xiàn)MQLT變換的有效快速計(jì)算.

另外,由式(11)可知,MQLT頻域空間是一個(gè)四維空間.由式(12)和MCLT系數(shù)的對(duì)稱性可得MQLT系數(shù)4個(gè)分量的對(duì)稱性和反對(duì)稱性分別為

A(2M-1-U,2N-1-V)=(-1)M+NA(U,V)

A(2M-1-U,V)=(-1)MA(U,V)

A(U,2N-1-V)=(-1)NA(U,V)

B(2M-1-U,2N-1-V)=(-1)M+NB(U,V)

C(2M-1-U,2N-1-V)=(-1)M+NC(U,V)

D(2M-1-U,2N-1-V)=(-1)M+ND(U,V)

D(2M-1-U,V)=(-1)M+1D(U,V)

D(U,2N-1-V)=(-1)N+1D(U,V)

U=0,1,2,…,M-1;V=0,1,2,…,N-1

(13)

對(duì)于IMQLT,類似可得

C(U,V)j+D(U,V)k][pC(m,n,U,V)+

pC(m,n,U,V)-D(U,V)pS(m,n,U,V)]+

C(U,V)pS(m,n,U,V)]+

B(U,V)pS(m,n,U,V)]+

A(U,V)pS(m,n,U,V)]=

(14)

式中

(15)

式中,IMCLT(·)表示傳統(tǒng)的MCLT逆變換.

由頻域系數(shù)的實(shí)部A(U,V)和其中一個(gè)虛部D(U,V)具有如式(13)所示的(反)對(duì)稱性可知,Re(IMCLT(A))=0,Im(IMCLT(D))=0,以及

(16)

如果式(9)中取μ=μLum,采用如上所述類似的方法推導(dǎo)可得

fB(m,n)k][pC(m,n,U,V)-

μLumpS(m,n,U,V)]=A(U,V)+

B(U,V)i+C(U,V)j+D(U,V)k

(17)

式中

Im(MCLT(fG)(U,V))+

Im(MCLT(fB)(U,V))]

B(U,V)=Re(MCLT(fR)(U,V))+

Im(MCLT(fB)(U,V))]

C(U,V)=Re(MCLT(fG)(U,V))+

Im(MCLT(fR)(U,V))]

D(U,V)=Re(MCLT(fB)(U,V))+

Im(MCLT(fG)(U,V))] (18)

系數(shù)A,B和C同樣具有如式(13)所示的(反)對(duì)稱性.系數(shù)D則具有如下特性:

D(2M-1-U,2N-1-V)=(-1)M+ND(U,V)

U=0,1,2, …,M-1;V=0,1,2,…,N-1

(19)

經(jīng)過IMQLT變換后可得

C(U,V)j+D(U,V)k][pC(m,n,U,V)+

(20)

式中

Im(IMCLT(C))+Im(IMCLT(D))]

Im(IMCLT(C)(m,n))-

Im(IMCLT(D)(m,n))]

Im(IMCLT(B)(m,n))+

Im(IMCLT(D)(m,n))]

Im(IMCLT(B)(m,n))-

Im(IMCLT(C)(m,n))]

(21)

2.3 基于MQLT的雙彩色圖像數(shù)字水印

2.3.1 嵌入水印前提條件

而對(duì)于μ=μLum,由式(21)以及Re(IMCLT(A))=0可知,如果按照式(13)的對(duì)稱性同時(shí)修改系數(shù)A(u,v)及其對(duì)稱系數(shù)而不修改其余3個(gè)系數(shù),即可滿足式(16)的前提條件.因此,只可將水印數(shù)據(jù)嵌入到MQLT系數(shù)的1個(gè)分量A中.

2.3.2 數(shù)字水印算法

結(jié)合MQLT變換、Arnold置亂變換以及冗余嵌入策略,將彩色水印重復(fù)嵌入到載體圖像中,水印算法框圖見圖1.下面分別從水印嵌入和提取2個(gè)方面進(jìn)行詳細(xì)闡述.

1) 水印嵌入

令嵌入到彩色載體圖像中的彩色圖像水印為

圖1 彩色圖像水印算法框圖

w.為了增強(qiáng)算法的魯棒性(特別是裁剪攻擊),采用冗余嵌入策略通過如下步驟重復(fù)嵌入KT個(gè)水印:

① 水印圖像預(yù)處理.為了增強(qiáng)水印安全和水印算法的魯棒性,將KT個(gè)水印w進(jìn)行KI次周期為KP的Arnold置亂,然后將置亂后彩色水印的每個(gè)分量十進(jìn)制像素值轉(zhuǎn)換為8位二進(jìn)制數(shù)據(jù),最終將彩色水印轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)比特流水印b.

② 載體圖像分塊MQLT變換.將彩色載體圖像重疊劃分成16×16的單位小塊,相鄰塊之間有50%的重疊,然后分別對(duì)這些小塊進(jìn)行MQLT變換得到8×8的MQLT系數(shù)小塊.

③ 水印嵌入.對(duì)于每一個(gè)8×8宏塊,隨機(jī)選擇圖2所示的中頻候選位置中的部分位置作為水印嵌入?yún)^(qū)域KM.對(duì)于KM中任意一個(gè)位置(U,V),針對(duì)不同的單位純四元數(shù)(如μLum和k),選擇頻域系數(shù)4個(gè)分量(Ah,Bh,Ch和Dh)中的1～4個(gè)分量,通過量化索引調(diào)制算法[10]嵌入比特流水印b,即

圖2 8×8宏塊中用于水印嵌入的中頻候選位置

(22)

④ 分塊IMQLT變換.對(duì)所有的單位小塊進(jìn)行IMQLT變換,得到含水印圖像.

由此可知,所提算法中的密鑰Key主要包括Arnold置亂變換的置亂次數(shù)KI和周期KP、中頻嵌入位置信息KM、冗余嵌入個(gè)數(shù)KT以及量化步長KΔ.

2) 水印提取

依據(jù)密鑰Key,按如下步驟提取水印:

① 測(cè)試圖像分塊MQLT變換.將測(cè)試圖像按50%區(qū)域重疊分成16×16的單位小塊,并分別對(duì)這些小塊進(jìn)行MQLT變換.

② 提取嵌入的比特流水印.利用密鑰Key中的中頻嵌入位置信息KM和量化步長KΔ,采用量化解碼公式

(23)

提取KT個(gè)冗余嵌入的比特流水印bs(s=1,2,…,KT).然后,獲取最終比特流水印b′,即

(24)

由此可知,水印提取無需原始載體和原始水印,故該操作為盲提取.

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文算法的有效性,下面通過一系列實(shí)驗(yàn)從不可見性和抗攻擊魯棒性2個(gè)方面進(jìn)行測(cè)試.將本文算法與Zhang等[11]提出的基于MCLT的算法進(jìn)行對(duì)比.該算法首先對(duì)載體圖像進(jìn)行8×8分塊MCLT變換,然后在變換后每個(gè)4×4系數(shù)宏塊的直流系數(shù)中嵌入1個(gè)比特水印.實(shí)驗(yàn)對(duì)比中,將本文算法和文獻(xiàn)[11]算法分別運(yùn)用于彩色圖像的3個(gè)通道中.

3.1 性能評(píng)價(jià)參數(shù)

為了更好地評(píng)估算法性能,引入如下2個(gè)客觀評(píng)價(jià)參數(shù).

1) 峰值信噪比(peak signal to noise ratio,PSNR).用于評(píng)估嵌入水印的不可見性.PSNR值越大,表明嵌入信息的不可見性越好.大小為Mh×Nh的彩色載體圖像h和含水印圖像h′之間PSNR的計(jì)算公式為

PSNR=

(25)

NC=

(26)

3.2 不可見性測(cè)試

采用6幅大小為512×512像素的標(biāo)準(zhǔn)圖像作為載體圖像集,包括經(jīng)典的Lena、Woman和Peppers等圖像(見圖3).彩色水印圖像則采用了大小為32×32像素的東南大學(xué)校徽和Mandrill圖像(見圖4).

圖3 彩色載體圖像

圖4 彩色水印圖像

文獻(xiàn)[11]基于MCLT的算法在每個(gè)分量的4×4系數(shù)宏塊中只嵌入1個(gè)比特?cái)?shù)據(jù),因此最多可在512×512的載體圖像中冗余嵌入1.9個(gè)32×32的彩色水印.而采用不同單位純四元數(shù)的基于MQLT變換的算法則具有更大的水印容量:對(duì)于采用k的算法(記為算法1),如果將圖2中所有58個(gè)中頻位置都選為嵌入?yún)^(qū)域,則MQLT頻域中每個(gè)8×8宏塊可以嵌入232比特?cái)?shù)據(jù),最大可重復(fù)嵌入37.4個(gè)水印;而對(duì)于采用μLum的算法(記為算法2),由于只能在分量A中嵌入水印,故最多可重復(fù)嵌入9.3個(gè)水印.其他參數(shù)設(shè)置為:Arnold變換的置亂次數(shù)KI=10,量化步長KΔ=80.

采用3種算法在6幅載體圖像內(nèi)嵌入2個(gè)不同水印后,所得含水印圖像與載體圖像之間的PSNR值見表1.采用不同算法將圖4(a)嵌入到圖3(a)后,所得的含水印圖像以及提取的水印見表2.由表可知,不管是從含水印圖像的質(zhì)量還是從算法本身的穩(wěn)定性來看,算法1和算法2均優(yōu)于文獻(xiàn)[11]算法,這主要是因?yàn)楹笳卟捎昧怂脑獢?shù)彩色圖像表示方法將彩色載體圖像作為一個(gè)整體進(jìn)行處理,而且還考慮了通道之間的關(guān)聯(lián).此外,算法1的性能優(yōu)于算法2,可以獲取更高質(zhì)量的含水印圖像,并具有更小的PSNRSTD值.這主要是因?yàn)樗惴?完全利用了MQLT系數(shù)的4個(gè)分量;而算法2只考慮了1個(gè)分量,為了嵌入相同的水印數(shù)據(jù),需要在每個(gè)宏塊中修改更多系數(shù),故圖像質(zhì)量退化更厲害.在沒有攻擊的情況下,算法1和算法2能夠完全正確地提取水印,而文獻(xiàn)[11]算法則存在偏差.

表1 不同載體圖像和不同水印圖像的PSNR值

表2 含水印圖像和提取的水印

3.3 魯棒性測(cè)試

不可見性和魯棒性之間相互制約.為了更好地對(duì)比和分析不同算法的魯棒性,選取PSNR值相近的含水印圖像進(jìn)行魯棒性測(cè)試.以表2中文獻(xiàn)[11]算法得到的含水印圖像(PSNR=31.759 6)為基準(zhǔn),采用算法2嵌入3.2個(gè)水印圖像4(a)后,得到PSNR值為31.721 5的含水印圖像;采用算法1則嵌入4.1個(gè)水印,得到PSNR值為31.815 7的含水印圖像.對(duì)這3幅圖像進(jìn)行各種攻擊(包括JPEG壓縮、添加噪聲、裁剪、濾波以及幾何變換等),以測(cè)試算法的魯棒性.表3和表4給出了3種算法針對(duì)各種攻擊后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.需要說明的是,這3種算法本身并不抗幾何變換攻擊,故轉(zhuǎn)而測(cè)試其對(duì)由幾何校正帶來的截?cái)嗾`差的魯棒性;目前已有很多工作是通過估計(jì)幾何變換參數(shù)來進(jìn)行幾何校正的[12-13].實(shí)驗(yàn)中,先將含水印圖像進(jìn)行前向幾何變換,然后通過逆變換進(jìn)行校正,從而得到測(cè)試圖像集.這里主要考慮的幾何變換是旋轉(zhuǎn)和縮放.

表3 各算法針對(duì)圖3(a)提取的彩色水印及其NC值

表4 各算法針對(duì)測(cè)試載體圖像集的結(jié)果

由表3和表4可以看出,算法1和算法2較文獻(xiàn)[11]算法具有更強(qiáng)的魯棒性,提取水印圖像質(zhì)量更高,這歸功于四元數(shù)彩色圖像表示方法處理彩色圖像的整體性.算法1的性能優(yōu)于算法2,這是因?yàn)榍罢邔⑺∏度氲剿?個(gè)分量中,而后者只嵌入到1個(gè)分量中.對(duì)于裁剪攻擊,由于采用了冗余嵌入策略和Arnold置亂變換,基于算法1和算法2所提取的水印都能較好識(shí)別.算法1和算法2都具有很小的NCSTD值,是比較穩(wěn)定的算法.

4 結(jié)語

基于四元數(shù)彩色圖像表示方法和四元數(shù)代數(shù)理論,將傳統(tǒng)的MCLT變換推廣應(yīng)用于彩色圖像處理中,并通過分析為避免水印能量損失問題需要注意的系數(shù)對(duì)稱條件,基于MQLT變換、Arnold變換和冗余嵌入策略,提出了一種魯棒的雙彩色圖像盲水印算法.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,所提算法明顯優(yōu)于采用傳統(tǒng)三通道分別處理思想的MCLT算法,針對(duì)濾波、JPEG壓縮、添加噪聲和裁剪等攻擊具有更強(qiáng)的魯棒性.這主要是因?yàn)樗脑獢?shù)彩色圖像表示方法將一幅彩色圖像視為一個(gè)整體進(jìn)行處理,并且考慮了色彩之間的關(guān)聯(lián)性.特別是對(duì)于算法1,它充分利用四維MQLT頻域,將水印嵌入到頻域系數(shù)的全部4個(gè)分量中.

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