基于目標(biāo)坐標(biāo)系的高超聲速無(wú)動(dòng)力滑翔能態(tài)方程

閆曉東，王 智

（西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，西安710072）

發(fā)展具有超遠(yuǎn)程、快速打擊能力的戰(zhàn)略武器系統(tǒng)一直是各軍事大國(guó)的興趣。由于彈道導(dǎo)彈易于被探測(cè)，而且隨著反導(dǎo)技術(shù)的發(fā)展，彈道導(dǎo)彈的作戰(zhàn)效能逐漸降低，近年來(lái)，采用高超聲速滑翔飛行器替代彈道導(dǎo)彈完成遠(yuǎn)程打擊任務(wù)日益受到重視。美國(guó)國(guó)防部和空軍2003年聯(lián)合推出了“獵鷹”（Falcon）計(jì)劃，該計(jì)劃提出的通用航空飛行器（CAV）是一種采用助推火箭發(fā)射的升力體外形高超聲速滑翔飛行器，依靠氣動(dòng)力控制，可跨大氣層無(wú)動(dòng)力滑翔飛行［1－2］。

高超聲速滑翔飛行器采用升力式外形，依靠氣動(dòng)力控制，可跨大氣層無(wú)動(dòng)力滑翔飛行，從而實(shí)現(xiàn)快速遠(yuǎn)程攻擊。由于高超聲速滑翔過程十分復(fù)雜，其作戰(zhàn)任務(wù)又具有多樣性與靈活性，對(duì)制導(dǎo)系統(tǒng)的自主性、自適應(yīng)性都提出了很高的要求。在線軌跡規(guī)劃是提高制導(dǎo)系統(tǒng)自適應(yīng)性的有效途徑。一般在線軌跡規(guī)劃過程中，均需要對(duì)動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行積分以獲取相關(guān)參數(shù)，因此，動(dòng)力學(xué)方程的形式對(duì)于軌跡規(guī)劃算法的復(fù)雜度和計(jì)算效率具有重要影響。

文獻(xiàn)［3］提出了一種將目標(biāo)平面地心固連坐標(biāo)系作為參考坐標(biāo)系的動(dòng)力學(xué)方程，該動(dòng)力學(xué)方程忽略了地球旋轉(zhuǎn)的影響，盡管簡(jiǎn)化了方程形式，但是對(duì)于長(zhǎng)時(shí)間、超遠(yuǎn)程高超聲速滑翔飛行，其誤差較大。本文將目標(biāo)平面坐標(biāo)系作為參考坐標(biāo)系，推導(dǎo)了三自由度無(wú)動(dòng)力滑翔能態(tài)方程，并考慮了地球旋轉(zhuǎn)的影響。該能態(tài)方程使得原終端時(shí)間自由問題轉(zhuǎn)化為定積分區(qū)間問題，且動(dòng)力學(xué)方程的狀態(tài)變量量級(jí)相同，有效提高了軌跡規(guī)劃及優(yōu)化的數(shù)值效率。此外，縱程和橫程是軌跡規(guī)劃的重要規(guī)劃變量，該能態(tài)方程的狀態(tài)變量經(jīng)度和緯度直接表征了縱程和橫程，有效提高了軌跡規(guī)劃的便利性。

1 坐標(biāo)系的定義及變換

三自由度無(wú)動(dòng)力滑翔動(dòng)力學(xué)方程一般建立在彈道坐標(biāo)系中，以地心固連坐標(biāo)系為參考坐標(biāo)系。

地心固連坐標(biāo)系：坐標(biāo)系原點(diǎn)為地心O，OXe軸在赤道平面內(nèi)指向格林威治子午線，OZe軸垂直于赤道平面指向北極，OXeYeZe構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。

設(shè)再入點(diǎn)Oi（θ0，φ0）為對(duì)應(yīng)的星下點(diǎn)經(jīng)緯度；再入段終點(diǎn)Of（θf(wàn)，φf）為對(duì)應(yīng)的星下點(diǎn)經(jīng)緯度。現(xiàn)將地心固連坐標(biāo)系的赤道平面重新定義為目標(biāo)平面，即包含再入點(diǎn)Oi、終點(diǎn)Of的地球大圓平面，如圖1所示。

圖1 坐標(biāo)系示意圖

轉(zhuǎn)換后的地心固連坐標(biāo)系（以下稱為目標(biāo)平面坐標(biāo)系）原點(diǎn)為地心O，軸由地心指向再入點(diǎn)星下點(diǎn)Oi，軸垂直于參考再入平面，其方向?yàn)檠刂S看去，目標(biāo)Of在Oi的順時(shí)針方向。構(gòu)成右手直角坐標(biāo)系。

地心固連坐標(biāo)系和目標(biāo)平面坐標(biāo)系對(duì)應(yīng)的球坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

式中：A0為再入點(diǎn)瞬時(shí)縱向平面與正北方向的夾角，即視線角，從正北順時(shí)針轉(zhuǎn)到視線為正；φ0和θ0分別為再入點(diǎn)地心緯度和再入點(diǎn)經(jīng)度。當(dāng)A0、φ0、θ0確定后，G為常數(shù)矩陣。

2 無(wú)動(dòng)力三自由度動(dòng)力學(xué)方程

2.1 動(dòng)力學(xué)方程

不考慮地球旋轉(zhuǎn)，假設(shè)飛行器的側(cè)滑角為0，無(wú)動(dòng)力三自由度質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程為［4－5］

上述動(dòng)力學(xué)方程組中有6個(gè)狀態(tài)變量：r，θ，φ，v，γ，ψ。r為地球球心到飛行器質(zhì)心的距離；θ為經(jīng)度；φ為緯度；v為相對(duì)地球速度；γ為速度傾角；σ為速度傾側(cè)角；速度方位角ψ＝0表示正北方向，從正北順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正；ωd為地球旋轉(zhuǎn)角速度；aD，aL分別為阻力加速度和升力加速度，可由下式給出：

式中：CD，CL分別為飛行器的阻力系數(shù)和升力系數(shù)，它們是攻角α和馬赫數(shù)Ma的函數(shù)；Sref為飛行器參考面積；ρ為大氣密度。

2.2 目標(biāo)平面坐標(biāo)系下的動(dòng)力學(xué)方程

在目標(biāo)坐標(biāo)系中，縱向運(yùn)動(dòng)參數(shù)不變，即（后面公式中均采用原符號(hào)）：

橫向運(yùn)動(dòng)參數(shù)與地心球面固連坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)參數(shù)θ、φ的關(guān)系式由式（1）確定。與ψ之間的關(guān)系為

由式（1）、式（3）可得：

由式（8）可得：

由式（1）可得：

對(duì)式（10）求導(dǎo)，并整理得到目標(biāo)平面坐標(biāo)系下的動(dòng)力學(xué)方程為

3 目標(biāo)平面坐標(biāo)系下的三自由度無(wú)動(dòng)力能態(tài)方程

在高超聲速滑翔飛行器的無(wú)動(dòng)力飛行中，沿著軌跡能量是單調(diào)減小的，這使得能量是比時(shí)間更合適的控制變量。設(shè)能量E為

式中：Rd為地球平均半徑，μ為地球引力常數(shù)。由式（12）可知，v可以表示為E和r的函數(shù)，從而飛行器運(yùn)動(dòng)方程中的速度微分方程可以去掉，飛行器運(yùn)動(dòng)方程由六階降為五階。式（12）兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，有：

利用如下關(guān)系：

可將飛行器各運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)變?yōu)閷?duì)能量的導(dǎo)數(shù)。

為了提高數(shù)值計(jì)算的效率，對(duì)能量E進(jìn)行歸一化處理。令：

式中：E0為再入初始時(shí)刻的能量，Ef為終端時(shí)刻的能量。歸一化處理后，初始能量為0，終端能量為1，即e0＝0，ef＝1。將r采用Rd進(jìn)行歸一化，即＝r／Rd，結(jié)合式（11）、式（14）、式（15），可得目標(biāo)坐標(biāo)系中以歸一化能量為自變量的能態(tài)方程為

4 算例

4.1 初始條件

仿真計(jì)算以CAV－L為對(duì)象［6］，氣動(dòng)系數(shù)見文獻(xiàn)［6］，飛行器質(zhì)量m＝907.0kg，特征面積Sref＝0.35m2，h0為初始高度。狀態(tài)初值見表1和表2。

表1 地心球面固連坐標(biāo)系狀態(tài)初值

表2 目標(biāo)坐標(biāo)系狀態(tài)初值

仿真終端軌跡參數(shù)：θf(wàn)＝179.504°，φf＝28.61°，hf＝20km，vf＝1 800m／s。目標(biāo)坐標(biāo)系下，＝0°，＝58.653 3°，預(yù)定航程s＝Rd＝6 531km。

4.2 仿真結(jié)果

在目標(biāo)坐標(biāo)系下采用該能態(tài)方程的仿真結(jié)果如圖2～圖5所示。不難發(fā)現(xiàn)，以歸一化能量為獨(dú)立變量的能態(tài)方程積分區(qū)間為［0，1］，動(dòng)力學(xué)方程積分狀態(tài)的數(shù)量級(jí)相似。由于目標(biāo)平面坐標(biāo)系下縱程和橫程可由經(jīng)度和緯度直接計(jì)算得到，因而動(dòng)力學(xué)方程的狀態(tài)變量經(jīng)度表征了縱程，緯度表征了橫程，如圖2所示。

圖2 地面軌跡曲線

圖3 航向角曲線

圖4 高度曲線

圖5 速度曲線

5 結(jié)束語(yǔ)

高超聲速滑翔飛行器具有很高的機(jī)動(dòng)能力，可以實(shí)現(xiàn)超遠(yuǎn)程打擊任務(wù)。在其無(wú)動(dòng)力滑翔過程中，需要考慮諸多約束，如過程約束、終端約束以及地理約束等，因而多約束條件下的彈道規(guī)劃和優(yōu)化是高超聲速滑翔飛行器任務(wù)分析、制導(dǎo)方法研究的重要內(nèi)容。在彈道規(guī)劃和優(yōu)化設(shè)計(jì)中，由于動(dòng)力學(xué)方程的高度非線性，動(dòng)力學(xué)方程的求解只能采用數(shù)值解法，因此動(dòng)力學(xué)方程要盡可能提高數(shù)值求解效率，便于規(guī)劃問題的求解。本文推導(dǎo)了目標(biāo)平面坐標(biāo)系下的歸一化能態(tài)方程，盡管方程形式較為復(fù)雜，但有助于提高數(shù)值計(jì)算效率，便于彈道規(guī)劃。

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