熱振動在納米力學(xué)測量中的應(yīng)用

王世良，侯麗珍，MA Shu－jun，HUANH Han

（1.中南大學(xué)，湖南 長沙 410083；2.湖南師范大學(xué)，湖南 長沙 410081；3.The University of Queensland，QLD4072，Australia）

熱運動廣泛存在于微觀世界中，并通過布朗（Brown）運動和約翰遜（Johnson）效應(yīng)等可觀測的宏觀現(xiàn)象為人們所認識［1］。通常，作為精密測量中經(jīng)常遇到的問題，熱運動被認為是影響測量精度的主要因素之一［2］。本文中，從另一個側(cè)面出發(fā)，以能量均分定量和懸臂梁振動理論作為基礎(chǔ)，闡述了利用熱振動進行精密力學(xué)測量的基本原理，并通過多個測量實例來說明其具體應(yīng)用。本文中所涉及的基本理論為物理系高年級學(xué)生所熟知，所涉及的表征和測量手段廣泛應(yīng)用于物理和工程測量，所獲得實驗結(jié)果卻代表了相關(guān)領(lǐng)域的研究前沿。

1 理論模型

處于熱平衡狀態(tài)的微懸臂梁可近似成理想彈簧諧振子。該系統(tǒng)的Ha miltonian量為［3］

其中：p、q、m和ω0分別為彈簧諧振子的動量、位移、質(zhì)量和角頻率。按照能量均分定理可得：

其中，kB、T和〈q2〉分別為波爾茲曼常數(shù)、環(huán)境溫度和諧振子位移的方均值。對于彈性常數(shù)為K（對應(yīng)于懸臂梁的法向彈性常數(shù)）的彈簧振子，有K＝mω20，所以，

由傅里葉變換中的帕斯瓦爾定理可知［2］，頻域中熱振動的功率密度譜面積等于時域中熱振動幅度的均方值。因此，在一定溫度下，如果能獲取微懸臂梁的熱噪聲功率密度譜，則通過對其共振峰進行面積積分，就可確定其法向彈性常數(shù)。

另一方面，微懸臂梁進行熱振動時，只在其固有振動頻率處的振動幅度是最大的。在忽略空氣粘滯阻力的情況下，由Euler－Ber noulli理論可知［4］，懸臂梁的第n階振動頻率fn為，

其中：E、I、A、L和ρ分別懸臂梁的楊氏模量、慣性矩、截面積、長度和密度，β1≈1.875，β2≈4.694，β3≈7.855，β4≈10.996，βn（n＞5）≈ （n0.5）π。懸臂梁的第n階振動模的振幅的方均值（q2n）為［5］。

由于懸臂梁的所有振動模彼此相互獨立，且都對懸臂梁的熱振動振幅的方均值（q2）有貢獻［4］，所以與公式（3）相一致。

2 應(yīng)用舉例

2.1 標定微懸臂梁法向彈性系數(shù)

微懸臂梁結(jié)構(gòu)在微觀領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，而其力學(xué)特性又是研發(fā)和使用過程中最受關(guān)注的參數(shù)之一。比如，在原子力顯微鏡（AFM）中，微懸臂梁的力學(xué)特性直接影響到AFM的成像質(zhì)量和測試精度。但在通常情況下，對于商品化的懸臂梁，由制造商直接給出的彈性常數(shù)只具有參考意義；因為給定的參考值與實際標定的彈性常數(shù)之間有很大的偏差，有時甚至?xí)_到一個數(shù)量級［6］。因此，在進行力學(xué)測量之前，我們必須對其進行精確標定。

基于上述理論模型，我們可以采用頻譜分析技術(shù)獲取微懸臂梁的熱噪聲譜，然后再通過數(shù)據(jù)擬合和計算，由方程（3）來求出其法向彈性常數(shù)。比如，當測得某一懸臂梁在室溫下的熱漲落幅度為0.3 n m，則該懸臂梁的法向彈性系數(shù)約為0.05 N／m［4］。當然，在實際情況下，AFM 懸臂梁是在傾斜狀態(tài)下進行工作，通過光杠桿技術(shù)測量的并不是懸臂梁末端的位移，而是斜率。經(jīng)修正后，傾斜放置的懸臂梁的法向彈性系數(shù)為［4］。

目前，熱振動法作為一種簡易、無損和快捷的標定方法，已成為微懸臂梁法向彈性常數(shù)的主要標定方法之一［6］。

2.2 估測納米晶須的楊氏模量

在透射電子顯微（TEM）分析中，對于一端固定一端自由的細長納米晶須，其自由端因無法聚焦而只能得到模糊的影像，且其頂端影像的模糊程度隨溫度升高而增加。通過估測納米晶須頂端的模糊影像寬度，即2（q2），則由此可以估算出納米晶須的楊氏模量［7－10］。

比如，如果將一端固定的碳納米管（CNT）看成長度為L，外徑為a，內(nèi)徑為b的空心圓柱形懸臂梁，則由方程（6）可得CNT的楊氏模量

1996年，Treacy等［7］通過TEM原位測量的方法先測出 CNT的〈q2〉、a、b和L，然后通過方程（8）估算出11根CNT的平均楊氏模量，ECNT≈1.8 TPa。

通過TEM原位測量熱振動振幅來估算納米晶須的楊氏模量，雖然存在較大的誤差，但仍不失為一種對直徑在20 n m以下的納米晶須的楊氏模量進行估測的簡便、快捷而有效的方法。

2.3 定量測量納米晶須的楊氏模量

顯微激光多普勒技術(shù)的飛速發(fā)展，為納米懸臂梁熱振動譜的精確測量提供了可能。最近，Bieder mann 等［5－10］利用激光多普勒振動計（LDV）獲得了CNT和Ag2Ga的熱噪聲譜，并由此獲得了CNT和Ag2Ga的楊氏模量。

圖1 Al2O3納米晶須分析圖

作為一種驗證，利用Polytec MSA－500掃描LVD，對α－Al2O3納米晶須的楊氏模量進行了精確的測量。實驗中，我們先將單根Al2O3晶須固定在Si基底的邊緣，然后采用LVD來采集Al2O3納米晶須自由端的熱噪聲譜。圖1（a）和（b）對應(yīng)于同一Al2O3納米晶須的光學(xué)照片和掃描電子顯微鏡（SEM）照片，由此可測出Al2O3懸臂梁的長度為79.8μm。由高分辨SEM照片圖1（c）可知，Al2O3晶須的等效直徑（六邊形截面的對角線長度）d為295 n m。圖1（d）為Al2O3納米晶須的熱激發(fā)－速度譜，由此可得前三級振動模：f1＝63 k Hz，f2＝396 k Hz和f3＝1 130 k Hz。因為f2／f1＝6.286和f3／f1＝17.937與對應(yīng)的理論值6.267和17.551高度一致，可將Al2O3納米晶須視為理想的懸臂梁，且可以判斷出空氣粘滯阻力并不會引起納米晶須的振動模發(fā)生明顯改變。

將實驗測量到的d、L 和fn，以及I＝代入方程（4），可算出與三個振動模相對應(yīng)的楊氏模量E分別為450，453和452 GPa。由于 Al2O3［0001］單晶的楊氏模量為435～475 GPa，所以Al2O3納米晶須的楊氏模量與對應(yīng)的塊單晶體材料并沒有明顯區(qū)別。

此外，也可以通過Al2O3納米晶須的熱激發(fā)功率密度譜的面積，即各級振動模的振幅的方均值，〈qi2〉，來計算其楊氏模量。比如，由圖1（e）可得，〈q21〉＝6.0 nm2，通過公式（5）可得E＝446 GPa，與通過共振頻率算出的約450 GPa完全一致。

3 結(jié) 論

基于能量均分定量和懸臂梁振動理論，分析討論了微懸臂梁熱振動的物理模型，并列舉了利用該物理模型來標定微懸臂梁的彈性常數(shù)、估測和定量測量納米晶須楊氏模量的三個實例。本文中所討論的理論模型，忽略了空氣對懸臂梁的阻尼，且沒有考慮量子效應(yīng)對熱振動譜的影響（在高頻和低溫條件下有比較明顯的影響）。如要進行更精密的測量，則需要對本文中涉及的物理模型進行拓展和修正。

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