多重網(wǎng)格法求解雷諾方程

許勝麗，樊文欣

（中北大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，山西 太原 030051）

0 引言

內(nèi)燃機(jī)的主軸承、連桿軸承承受著非常高的非穩(wěn)定載荷，即動(dòng)載荷，故內(nèi)燃機(jī)軸承是典型動(dòng)載滑動(dòng)軸承。內(nèi)燃機(jī)軸承在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方面有很多特殊性，隨著對軸承潤滑理論及設(shè)計(jì)計(jì)算法研究的深入，尤其是計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和普及，使內(nèi)燃機(jī)的設(shè)計(jì)計(jì)算方法更加完善、更加可靠、更加系統(tǒng)。1986 年，Osborne Reynolds在一定假設(shè)條件下，由流體力學(xué)原理提出動(dòng)壓滑動(dòng)軸承的潤滑基本方程，總結(jié)出流體膜建立動(dòng)壓力的機(jī)理，為流體力學(xué)潤滑理論奠定基礎(chǔ)。內(nèi)燃機(jī)軸承油膜壓力計(jì)算、軸心軌跡計(jì)算、最小油膜厚度計(jì)算都是以雷諾方程為基礎(chǔ)的。

對于Reynolds方程的求解，現(xiàn)在主要的數(shù)值計(jì)算方法包括有限差分法和有限元法。有限差分法主要針對常用的軸承形式；有限元法用在軸瓦表面結(jié)構(gòu)復(fù)雜的情況，例如開有小孔、溝槽、臺階等時(shí)。對于普通常用的軸承，采用有限差分法在很短的計(jì)算時(shí)間內(nèi)就能得到比較滿意的結(jié)果。有限差分法使用的是單純的超松弛迭代法求解雷諾方程，而多重網(wǎng)格法是加速后的超松弛迭代方法，它比單純的超松弛迭代法具有更短的計(jì)算時(shí)間、更高的計(jì)算精度和更快的收斂速度。本文主要研究用多重網(wǎng)格法求解雷諾方程。

1 多重網(wǎng)格法

多重網(wǎng)格法的實(shí)質(zhì)就是求解線性方程組的一種加速收斂的手段。多重網(wǎng)格法的三大基本思想是：①細(xì)網(wǎng)格松弛，負(fù)責(zé)消除高頻振蕩的誤差；②粗網(wǎng)格校正，負(fù)責(zé)低頻光滑誤差；③套迭代技術(shù)，負(fù)責(zé)通過限制和延拓算子連接所有層共同求解同一個(gè)問題。多重網(wǎng)格法就是在不同的層上進(jìn)行求解，所有層相互協(xié)調(diào)地求解同一個(gè)問題，從而使高、低頻偏差分量都能很快地消除和最大限度地提高迭代效率。由于限制和拖延的次數(shù)不同，多重網(wǎng)格法可分為如圖1所示的幾種循環(huán)方法。

圖1 多重網(wǎng)格的不同循環(huán)方法

下面以兩重網(wǎng)格“V”循環(huán)為例介紹多重網(wǎng)格法的計(jì)算方法。取粗網(wǎng)格和細(xì)網(wǎng)格步長，且粗網(wǎng)格步長是細(xì)網(wǎng)格步長的2倍。具體步驟如下：①設(shè)定初始值；②計(jì)算細(xì)網(wǎng)格上的虧損量；③從細(xì)網(wǎng)格到粗網(wǎng)格轉(zhuǎn)移虧損量；④在粗網(wǎng)格上精確求解修正量；⑤由粗網(wǎng)格到細(xì)網(wǎng)格轉(zhuǎn)移修正量；⑥計(jì)算細(xì)網(wǎng)格修正后的量。多次重復(fù)步驟①～⑥，直至結(jié)果收斂。

2 求解二維雷諾方程加速性驗(yàn)證

本文通過具體實(shí)例，驗(yàn)證多重網(wǎng)格法是一種高效的加速收斂的手段。實(shí)例是基于有限差分法求解滑動(dòng)軸承的雷諾方程得到油膜壓力，分別采用單純的超松弛迭代法和多重網(wǎng)格法，最后再與使用了迭代精度要求的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對比。

計(jì)算參數(shù)如下：徑向滑動(dòng)軸承的內(nèi)徑D ＝120mm，寬徑比B／D＝1，偏心率ε＝0.6，半徑間隙c＝0.145 5mm，軸頸轉(zhuǎn)速n＝500r／min，潤滑油在工作狀態(tài)下的動(dòng)力黏度η＝0.028Pa·s，相對間隙ψ＝0.001 1；網(wǎng)格密度取20×20；總迭代次數(shù)為20次。超松弛迭代法的計(jì)算過程穩(wěn)定，所以第一種計(jì)算過程和多重網(wǎng)格法的各層計(jì)算都采用了超松弛迭代法，且取松弛因子為1.3。油膜壓力的坐標(biāo)原點(diǎn)放在軸承寬度中央。

（1）以單純的超松弛迭代法求解雷諾方程，迭代20次，得到軸承寬度中央的周向油膜壓力，如圖2所示。

圖2 單純超松弛迭代法

（2）以多重網(wǎng)格法求解雷諾方程，得到軸承寬度中央的周向油膜壓力。計(jì)算過程是采用兩重網(wǎng)格“V”循環(huán)法，設(shè)定第一重網(wǎng)格迭代8＋8次，第二重網(wǎng)格迭代4次，即在第一重細(xì)網(wǎng)格上迭代8次，轉(zhuǎn)移到第二重粗網(wǎng)格迭代4次，再轉(zhuǎn)回到第一重細(xì)網(wǎng)格迭代8次，總共迭代20次。

第一重網(wǎng)格迭代8次結(jié)果如圖3所示，第二重網(wǎng)格迭代4次，迭代次數(shù)k的值依次取1、2、3、4，且油膜壓力p的初值采用第一重網(wǎng)格的計(jì)算結(jié)果和誤差乘以相應(yīng)的完全加權(quán)限制操作數(shù)。第二重網(wǎng)格結(jié)點(diǎn)（除了網(wǎng)格邊界點(diǎn)）均由第一重網(wǎng)格的8個(gè)點(diǎn)包圍，故設(shè)定限制操作數(shù)由第一重的每個(gè)點(diǎn)的1／8相加得到。應(yīng)用限制操作數(shù)可把第一重的計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)移作為第二重計(jì)算的初值。

有了第二重網(wǎng)格求解結(jié)果，再轉(zhuǎn)回第一重網(wǎng)格迭代8次，油膜壓力p 的初值采取由第二重網(wǎng)格的計(jì)算結(jié)果乘以對應(yīng)的延拓操作數(shù)得到。同樣限制操作數(shù)可把第二重網(wǎng)格的計(jì)算結(jié)果轉(zhuǎn)移作為第二次在第一重網(wǎng)格計(jì)算的初值。最終求解結(jié)果如圖4所示。

（3）采用迭代精度要求為0.01的相對誤差來限制迭代次數(shù)，得到軸承寬度中央的周向油膜壓力。此次計(jì)算比前面兩種計(jì)算在精度上要高，用時(shí)也長，更接近精確值，所以它可以作為前面兩種計(jì)算方法相對比的標(biāo)準(zhǔn)。

增加收斂準(zhǔn)則，用迭代精度要求來限制迭代結(jié)果，保證相對誤差為0.01，求解結(jié)果如圖5所示。

由圖2、圖4和圖5可知，將迭代同樣的次數(shù)分別用單純的超松弛迭代法和用多重網(wǎng)格法求得的結(jié)果與使用迭代精度要求0.01相對誤差的結(jié)果比較，可知多重網(wǎng)格法的迭代結(jié)果更接近精確值，說明多重網(wǎng)格法有更高的迭代效率。在一般求解徑向滑動(dòng)軸承的雷諾方程時(shí)，都要求達(dá)到一定精度，采用普通的計(jì)算方法，可能要迭代的次數(shù)非常多，同時(shí)也非常耗時(shí)；而用多重網(wǎng)格法能在很少次數(shù)的迭代中達(dá)到很高的迭代精度，減少了計(jì)算量、節(jié)省了計(jì)算時(shí)間。

圖4 第三層網(wǎng)格求解結(jié)果

圖5 相對誤差為0.01的迭代結(jié)果

3 結(jié)束語

在求解二維雷諾方程中，使用常規(guī)的單網(wǎng)格，如果要達(dá)到很高的精度，將需要迭代相當(dāng)多的次數(shù)，整個(gè)計(jì)算過程也將耗費(fèi)很多時(shí)間，但是采用多重網(wǎng)格法在各層網(wǎng)格上進(jìn)行較少的迭代，便可以得到接近精確解的解，所以多重網(wǎng)格法求解雷諾方程將可以比較快地達(dá)到所要求的精度，是一種比較高效的計(jì)算方法。

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