螺桿動力鉆具壓耗計算方法研究與分析

王鄂川 樊洪海 李巖澤 羅立新 沈維格 王義頃

（1.中國石油大學(xué)，北京 102249；2.川慶鉆探工程有限公司工程技術(shù)研究院，陜西西安 710018）

0 引言

鉆井循環(huán)系統(tǒng)循環(huán)壓耗的計算是鉆井水力學(xué)的核心內(nèi)容，其值計算的準(zhǔn)確程度關(guān)系到鉆井水力參數(shù)設(shè)計的合理性。一般而言，鉆井循環(huán)系統(tǒng)壓耗包括地面管匯壓耗、鉆柱內(nèi)壓耗、鉆頭壓耗、井下動力鉆具壓耗、環(huán)空壓耗等部分。井下動力鉆具壓耗根據(jù)動力鉆具的類型可分為螺桿鉆具壓耗、渦輪鉆具壓耗和電動鉆具壓耗。螺桿鉆具［1-2］又稱為定排量馬達（Positive Displacement Motor，簡稱PDM）。隨著鉆井技術(shù)的發(fā)展，在深井、超深井和大位移鉆井中采用螺桿鉆具同時配合使用PDC 鉆頭的復(fù)合鉆井技術(shù)是提高機械鉆速的較好的方法［3］。螺桿鉆具壓耗計算對有效提高鉆井液循環(huán)系統(tǒng)壓耗計算精度具有重要工程意義。螺桿鉆具壓耗計算比較復(fù)雜，國外G. Robello Samuel 教授和國內(nèi)蘇義腦院士等人已經(jīng)做過許多研究，但至今關(guān)于其計算方法還不夠成熟，沒有形成簡單統(tǒng)一的方法。因此，筆者通過綜合歸納現(xiàn)有螺桿鉆具壓耗計算方法，并對各方法進行對比分析，優(yōu)選具有較高計算精度的螺桿鉆具壓耗計算方法，為相關(guān)計算和設(shè)計提供一定的指導(dǎo)。

1 螺桿鉆具工作原理

螺桿鉆具是一種容積式馬達，其作用是將鉆井液的水力能量轉(zhuǎn)換為機械能供給鉆頭。它主要是通過擠壓被隔絕的工作液，使其不斷地變換限定的空間，這樣液體在轉(zhuǎn)子和定子之間擠壓推動轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動。螺桿鉆具由4 部分構(gòu)成，主要是旁通閥總成、馬達總成、萬向軸總成和轉(zhuǎn)動軸總成，如圖1 所示。

圖1 螺桿鉆具結(jié)構(gòu)示意圖

螺桿鉆具在工作或循環(huán)鉆井液時，從馬達內(nèi)流出的鉆井液穿過萬向軸殼體內(nèi)壁與萬向軸間的空間，通過傳動軸上端的通道進入傳動軸的內(nèi)部通道，再從鉆頭水眼流出。鉆井液在循環(huán)過程中，螺桿鉆具在高壓循環(huán)流體的作用下，對外做功。馬達中的定子和轉(zhuǎn)子具有一定的嚙合關(guān)系，這些嚙合點沿軸線形成螺旋的密封線，進而形成一個個密封的空腔。當(dāng)具有一定能量的流體進入密封的空腔，并從馬達的一端流動到另一端時，推動轉(zhuǎn)子在定子中轉(zhuǎn)動，這就是螺桿鉆具工作的基本原理。

2 螺桿鉆具壓耗計算方法

螺桿鉆具的壓耗是一個隨鉆壓和扭矩變化的物理量，對于其計算過程，很多學(xué)者和專家進行了深入研究和探討［4-5］。筆者將現(xiàn)有螺桿鉆具壓耗計算方法分為一般法和模型法，同時對這兩大類方法進行對比分析，并對模型法進行了完善。

2.1 一般法

一般法是計算螺桿鉆具壓耗的方法簡單明了，既不需要建立比較復(fù)雜的模型，也不需要求解數(shù)學(xué)模型。主要包括固定值法、插值法、反算法、數(shù)據(jù)回歸法等。

（1）固定值法。在普通鉆井中，當(dāng)鉆井參數(shù)比較穩(wěn)定，地層地質(zhì)情況比較良好，此時動力螺桿鉆具的壓耗一般不大，通?？蛇x取某一常數(shù)值作為螺桿鉆具的壓耗，使鉆井計算簡單便捷。具體取值的大小，需根據(jù)實鉆地層和鉆井參數(shù)等有關(guān)經(jīng)驗確定。

（2）插值法。插值法指通過查閱井下螺桿鉆具的使用工作參數(shù)表確定合適的排量和壓耗，包括排量、壓降、轉(zhuǎn)速、鉆壓、扭矩、功率等，再通過實際排量來進行插值可近似得到螺桿鉆具的壓耗。具體計算公式為

式中，Δpm為井下動力螺桿鉆具的壓耗，MPa；Qa為實際排量，L/s；Q1，Q2為插值時的排量，L/s；Δp1，Δp2為插值時的壓耗，MPa。

（3）反算法。反算法［6］是利用已知鉆井循環(huán)壓耗來反算井下動力螺桿鉆具的壓耗系數(shù)fm。在穩(wěn)定鉆井且環(huán)空和井眼清潔的前提下，根據(jù)鉆井循環(huán)過程中，組成循環(huán)系統(tǒng)壓耗Δps的幾個部分，具體包括地面管匯壓耗Δpg，鉆柱內(nèi)壓耗Δpp，鉆頭壓耗Δpb，井下動力螺桿鉆具壓耗Δpm，環(huán)空壓耗Δpa，利用下式計算得出井下動力螺桿鉆具的壓耗系數(shù)fm，并利用其結(jié)果計算后續(xù)螺桿鉆具的壓耗。

式中，Qa為排量，L/s；fm為井下動力螺桿鉆具壓耗系數(shù)，無因次。

當(dāng)鉆井參數(shù)變化不大時，可通過上述式子計算得動力螺桿鉆具壓耗系數(shù)，進而求解動力螺桿鉆具壓耗，計算誤差可以滿足工程需要。

（4）回歸法?；貧w法是充分利用實測數(shù)據(jù)將動力螺桿鉆具在當(dāng)前鉆井液性能條件下和某一工況下壓耗與排量的關(guān)系式回歸確定為

通過實測數(shù)據(jù)回歸出a，b 系數(shù)值，進而可以確定動力螺桿鉆具壓耗與排量之間的關(guān)系式，據(jù)此可以根據(jù)現(xiàn)場實測排量計算螺桿鉆具壓耗大小。

2.2 模型法

模型法是指計算動力螺桿鉆具壓耗時，根據(jù)螺桿鉆具的幾何結(jié)構(gòu)建立一定的數(shù)學(xué)模型，對建立的模型，列出滿足模型的方程式，再求解方程。一般而言，通過建立模型法求解動力螺桿鉆具壓耗大小主要分為以下幾個步驟：（1）模型的建立；（2）模型的求解與計算；（3）實例驗證模型理論；（4）計算結(jié)果分析與比較；（5）結(jié)論與建議。

文中對現(xiàn)階段計算動力螺桿鉆具壓耗的2 種主要模型方法：圓筒模型和復(fù)雜模型，進行了闡述和完善。

2.2.1 圓筒模型 考慮每一種動力螺桿鉆具的結(jié)構(gòu)和外形存在差異性，其中定子和轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)又比較復(fù)雜，且二者頭數(shù)比也不一樣，因此準(zhǔn)確計算得出實際螺桿鉆具的壓耗十分困難。采用簡化模型，把實際動力螺桿鉆具的馬達簡化成一個環(huán)形的圓筒形狀，如圖2 所示。針對簡單的圓筒模型，在鉆井條件穩(wěn)定、井眼清潔時，將相關(guān)參數(shù)代入計算得到的螺桿鉆具壓耗結(jié)果與實際壓耗相近，滿足一定的工程條件。

圖2 動力螺桿鉆具馬達等效圓筒示意圖

在圓筒模型中，螺桿鉆具中定子的直徑ds是圓筒的外徑，轉(zhuǎn)子的直徑dr是圓筒的內(nèi)徑，結(jié)合螺桿鉆具操作手冊計算環(huán)空的當(dāng)量直徑進而計算其壓耗。具體計算過程如下。

（1）環(huán)空流速v 計算。

式中，Q 為環(huán)空流體理論流量，L/s；ds，dr分別為定子直徑和轉(zhuǎn)子直徑，mm。

由式（5）可知，在螺桿鉆具馬達的定子中，環(huán)空內(nèi)流體的返速與流量成正比，與環(huán)空間隙的橫截面積成反比。

（2）鉆井液流變性分析。主要是確定鉆井液流體的流變參數(shù)［7］。選取合適的鉆井液流變模式對準(zhǔn)確計算螺桿鉆具壓耗十分重要。常見的鉆井液流變模式主要有賓漢模式、冪律模式、赫—巴模式、卡森模式、羅伯遜—斯蒂夫模式、Sisko 模式和比較新穎的四參數(shù)模式。因此，首先要對鉆井液流變模式進行優(yōu)選，優(yōu)選流變模式時一般采用曲線對比法、剪切應(yīng)力誤差對比法、相關(guān)系數(shù)法等。

當(dāng)優(yōu)選出比較適合的流變模式后，再確定鉆井液的流變參數(shù)。對于賓漢、冪律、卡森等較為簡單的流變模式，可以直接用流變參數(shù)的計算公式計算，稱之為常規(guī)計算方法。也可以采用回歸分析法計算鉆井液的流變參數(shù)，這種方法適用于所有的流變模式。本文選取羅伯遜—斯蒂夫流變模式為例說明鉆井液流變參數(shù)計算過程。

黃逸仁［8］等對羅伯遜—斯蒂夫流變模式流變參數(shù)進行了相關(guān)研究，在其基礎(chǔ)上，進行優(yōu)化和完善。首先假設(shè)有τmax、γmax、Nmax，τmin、γmin、Nmin，τx、γx、Nx3組數(shù)據(jù)，可得

式中，Ri，Ro分別表示旋轉(zhuǎn)黏度計儀器的內(nèi)筒外徑和外筒內(nèi)徑，mm。

將τmax、γmax，τmin、γmin，τx、γx代入整理得羅伯遜—斯蒂夫流變模式中的相關(guān)參數(shù)

故由式（9）、式（10）和式（11），可求得羅伯遜—斯蒂夫流變模式中的流變參數(shù)。

（3）鉆井液流體環(huán)空流動壓耗計算。當(dāng)鉆井液在螺桿鉆具轉(zhuǎn)子和定子的環(huán)空流動時，其流態(tài)是變化的，不是恒定不變的，可能存在層流、過渡流和紊流等幾種流態(tài)［9］。

羅伯遜—斯蒂夫流體在環(huán)空層流狀態(tài)下的壓耗 計算表達式為

式中， fars為羅伯遜—斯蒂夫流體環(huán)空摩阻因數(shù)，其表達式為

羅伯遜—斯蒂夫流體在環(huán)空紊流段的壓耗ΔpT計算表達式為

式（14）中， fa為范寧阻力系數(shù)，對于環(huán)空紊流的范寧阻力系數(shù)的計算一般是通過等效管徑轉(zhuǎn)化為圓管紊流計算，先計算出等效管徑，接著計算等效的雷諾數(shù)，再按圓管紊流的范寧阻力系數(shù)與雷諾數(shù)的經(jīng)驗關(guān)系式計算范寧阻力系數(shù)，最后計算羅伯遜—斯蒂夫流體環(huán)空紊流壓耗。過渡流狀態(tài)的壓耗Δptr計算，可采用在層流臨界雷諾數(shù)與紊流雷諾數(shù)之間用線性插值方法求解出過渡區(qū)范寧阻力系數(shù)，再代入式（14）計算過渡流狀態(tài)下的壓耗結(jié)果。

（4）計算動力螺桿鉆具壓耗。由前述的層流狀態(tài)壓耗ΔpL、紊流狀態(tài)壓耗ΔpT、過渡流狀態(tài)壓耗Δptr可得動力螺桿鉆具壓耗Δp 計算公式為

2.2.2 復(fù)雜模型 考慮了多葉片式馬達的動力螺桿鉆具，通過重點研究螺桿鉆具馬達的結(jié)構(gòu)，詳細(xì)給出螺桿鉆具壓耗計算表達式［10-13］。螺桿鉆具馬達橫截面示意圖如圖3 所示。

圖3 螺桿鉆具馬達橫截面示意圖

（1）螺桿鉆具橫截面分析。如圖（3）可知

式中，e 為定子直徑和轉(zhuǎn)子直徑之間的偏心距大小，mm；i 為馬達繞線比例，無因次；n 為馬達轉(zhuǎn)子為n頭擺線線型，則定子為n+1 頭擺線線型。

則螺桿鉆具兩葉馬達的橫截面積為

同時，轉(zhuǎn)子和定子之間通過齒數(shù)耦合產(chǎn)生的空腔的直徑Dc可表示為

綜合式（19）和式（20）可得

聯(lián)合式（16）～（18）可得

螺桿鉆具馬達橫截面積得出后，則可知動力螺桿鉆具的轉(zhuǎn)子和定子之間形成空隙的體積V 的表達式

式中，α 為螺旋角，其為切線與螺旋線之間的夾角。

（2）螺桿鉆具流量Q 計算。由式（22）和式（23）可得流量Q 的表達式為

式中，N 為旋轉(zhuǎn)角速度。

（3）扭矩計算分析。螺桿動力鉆具的實質(zhì)是將鉆井水力學(xué)能量轉(zhuǎn)換為螺桿鉆具機械能量，機械功率MHP 計算表達式可按下式計算。

由式（24）可得用流量表示的水力功率HHP 計算式為

則螺桿鉆具能量利用效率η 為

因此，由上式可得螺桿鉆具扭矩T 的表達式

（4）螺桿鉆具壓耗計算。當(dāng)?shù)貙痈飨虍愋孕∏揖矍鍧崰顩r良好時［14］，螺桿鉆具所需機械功率可用鉆壓W 表示為

式中，HHPm為螺桿鉆具功率；kb為考慮地層硬度的系數(shù)；db為鉆頭直徑；x，y 為常數(shù)指數(shù)。

聯(lián)合式（25）和式（29）可得

將式（28）和式（30）聯(lián)合可得

式中，ki為馬達線圈繞組系數(shù)。

用式（31）即可計算具有一定參數(shù)結(jié)構(gòu)的螺桿動力鉆具壓耗。

3 計算方法的對比與分析

綜上所述，一般方法中的固定值法，根據(jù)實鉆經(jīng)驗選取某一固定值作為動力螺桿鉆具的壓耗值；插值法使用螺桿鉆具設(shè)計的工作參數(shù)，結(jié)合實際工作參數(shù)近似得到螺桿鉆具的壓耗；反算法，關(guān)鍵在求解螺桿鉆具壓耗系數(shù)fm；回歸法利用大量實測數(shù)據(jù)來進行數(shù)據(jù)的回歸和擬合，得到螺桿鉆具壓耗與排量的關(guān)系式。模型法，考慮了螺桿鉆具的結(jié)構(gòu)形式，定子和轉(zhuǎn)子之間繞線比例等客觀條件。其中圓筒模型法將螺桿鉆具結(jié)構(gòu)簡化為環(huán)形的圓筒形狀，在求解螺桿鉆具壓耗時采取類似于鉆井液在環(huán)空流動所產(chǎn)生的壓耗計算方法，分別計算鉆井液在環(huán)空中流動時層流、過渡流、紊流狀態(tài)下的壓耗，得出螺桿鉆具壓耗；復(fù)雜模型，詳細(xì)分析了螺桿鉆具馬達中定子和轉(zhuǎn)子之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，從機械功率與水力功率之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系出發(fā)，詳細(xì)推導(dǎo)出螺桿鉆具壓耗計算方法。該方法具有較高的計算精度，已在鉆井現(xiàn)場實際運用，效果良好。因此，當(dāng)螺桿鉆具壓耗計算精確度要求較高時，可選用復(fù)雜模型方法計算。各方法的分析比較如表1 所示。

表1 各方法分析比較結(jié)果

4 結(jié)論

文中歸納總結(jié)了現(xiàn)階段計算螺桿鉆具壓耗的幾種方法與模型，詳細(xì)地闡述了螺桿鉆具工作原理及其壓耗計算過程，并對各方法進行了分析和比較。同時在環(huán)空圓筒模型的基礎(chǔ)上，選用羅伯遜—斯蒂夫流變模式，通過流變參數(shù)計算、不同流態(tài)（層流、過渡流和紊流）壓耗計算，對螺桿鉆具壓耗求解進行了詳細(xì)推導(dǎo)和計算。對于復(fù)雜模型，比較全面地分析了螺桿鉆具馬達結(jié)構(gòu)，進一步推導(dǎo)和完善了螺桿鉆具壓耗計算公式。當(dāng)然，隨著鉆井面臨的條件越來越苛刻和復(fù)雜結(jié)構(gòu)井的推廣運用，對螺桿鉆具的壓耗及其他性能參數(shù)的研究任重道遠［15］。

［1］ 蘇義腦. 螺桿鉆具研究及應(yīng)用［M］. 北京：石油工業(yè)出版社，2001.

［2］ 蘇義腦. 螺桿鉆具的工作特性［J］. 石油鉆采工藝，1998，20（6）：11-15.

［3］ 馮定. 渦輪鉆具復(fù)合鉆進技術(shù)［J］. 石油鉆采工藝，2007，29（3）：19-21.

［4］ 鄭凱，李永平，郭玲玲，等 螺桿壓降的計算分析［J］. 青海石油，2009，27（6）：17-20.

［5］ 郭曉樂，汪志明. 大位移井循環(huán)壓耗精確計算方法研究及應(yīng)用［J］. 石油天然氣學(xué)報，2008，30（5）：99-102.

［6］ 張旭，劉小利.螺桿鉆具壓降分析計算［J］. 斷塊油氣田，2006，13（6）：60-61.

［7］ 周長虹，崔茂榮，黃雪靜，等.鉆井液常用流變模式及其優(yōu)選方法［ J］. 中國科技信息，2005（22） ：86-87.

［8］ 黃逸仁. 適用于鉆井液的羅伯遜—斯蒂夫模式［J］. 西南石油學(xué)院學(xué)報，1982，4（2）：16-28.

［9］ REED T D, PILEHVARI A A. A new model for Laminar, Transitional and Turbulent flow of drilling muds［R］. SPE 25456, 1993.

［10］ SAMUEL Robello G, MCCOLPIN Glenn. Wellbore hydraulic optimization with positive displacement motor and bit［R］.SPE 72320, 2001.

［11］ SAMUEL Robello G, MISKA Stefan.Analytical study of the performance of Positive Displacement Motor（PDM） modeling for incompressible fluid［R］. SPE 39026, 1997.

［12］ FULTZ J D, PITTARD F J. Openhole drilling using coiled tubing and a positive displacement mudmotor［R］.SPE 20459, 1990.

［13］ 汪海閣，劉杰，朱明亮.井下動力鉆具配合高效鉆頭提高鉆井效率的實驗研究［J］.鉆采工藝，1999，22（2）：1-3.

［14］ SAMUEL Robello G. Optimization of drilling parameters with the performance of multilobe Positive Displacement Motor（PDM）［R］.SPE 47791, 1998.

［15］ 沈忠厚，王瑞和.現(xiàn)代石油鉆井技術(shù)50 年進展和發(fā)展趨勢［J］. 石油鉆采工藝，2003，25（3）：1-6.