雙邊四元數(shù)傅里葉變換的性質(zhì)

許旺明

（三峽大學(xué)理學(xué)院，湖北宜昌 443002）

近年來，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了許多新方法來進(jìn)行信號(hào)處理.值得注意的是四元數(shù)傅里葉變換這一工具得到了廣泛的研究和應(yīng)用.在文獻(xiàn)［1］中，作者成功地將四元數(shù)傅里葉變換運(yùn)用于二維線性時(shí)不變系統(tǒng).在文獻(xiàn)［2－4］中，作者將四元數(shù)傅里葉變換運(yùn)用于彩色圖像分析.在文獻(xiàn)［5－6］中，與四元數(shù)傅里葉變換有關(guān)的四元數(shù)校正技術(shù)得到很大的發(fā)展.除此之外，四元數(shù)傅里葉變換還被應(yīng)用于二維解析信號(hào)［7］，圖像水?。?－9］等.由此可以看出，四元數(shù)傅里葉變換已經(jīng)成為信號(hào)處理的有力工具.

由于四元數(shù)傅里葉變換具有廣泛的應(yīng)用背景，許多學(xué)者對(duì)四元數(shù)傅里葉變換的性質(zhì)進(jìn)行了研究.然而，四元數(shù)乘法的非交換性導(dǎo)致四元數(shù)傅里葉變換具有3種不同的定義方式，即右邊四元數(shù)傅里葉變換，雙邊四元數(shù)傅里葉變換，以及左邊四元數(shù)傅里葉變換.在文獻(xiàn)［7］中，Bülow 及其合作者給出了一些雙邊四元數(shù)傅里葉變換的性質(zhì)并據(jù)此引進(jìn)了二維超復(fù)信號(hào).在文獻(xiàn)［10］中，Bahri及其合作者研究了右邊四元數(shù)傅里葉變換，給出了許多右邊四元數(shù)傅里葉變換的重要性質(zhì).作者證明了右邊四元數(shù)傅里葉變換將實(shí)信號(hào)分解成具有不同對(duì)稱性的4個(gè)部分.

在本文中，將首先給出文獻(xiàn)［7］第5 節(jié)的定理1的另一證明，并利用此結(jié)果證明雙邊四元數(shù)傅里葉變換也可將二維實(shí)信號(hào)分解成具有不同對(duì)稱性的4個(gè)部分.

1 雙邊四元數(shù)傅里葉變換的性質(zhì)

為了更清楚地理解雙邊四元數(shù)傅里葉變換，首先回顧一下四元數(shù)的概念.四元數(shù)集是一個(gè)定義了乘法法則的集合H＝｛a＋ib＋jc＋kd｜a，b，c，d∈R｝，該乘法法則定義如下：

定義函數(shù)f∈L2（R2；H）的雙邊四元數(shù)傅里葉變換Fqf 為

其中，x＝（x1，x2），u＝（u1，u2）∈R2.需要指出的是，一般情況下，（1）中的等號(hào)是在L2（R2；H）范數(shù)意義成立，而不是在點(diǎn)態(tài)意義下幾乎處處成立，但在本文中，總是假設(shè)∫R2｜f（x）｜2d2x 存在，即式（1）中的等號(hào)也可視為在點(diǎn)態(tài)意義下幾乎處處成立.該變換是可逆的，它的逆變換由下面式子給出：

與實(shí)函數(shù)f 的傅里葉變換具有埃爾米特對(duì)稱性類似，雙邊四元數(shù)傅里葉變換具有下列性質(zhì).

定理1 一個(gè)二維實(shí)函數(shù)f 的雙邊四元數(shù)傅里葉變換Fq具有四元埃爾米特性.

證明：僅僅需要證明（Fqf）（－u1，u2）＝αj（（Fqf）（u1，u2））其余情況類似可得.注意到－jij＝－i并且f 是實(shí)的，有：

證畢.

一個(gè)實(shí)函數(shù)的傅里葉變換可以分解成具有不同對(duì)稱性的兩個(gè)部分：偶對(duì)稱部分fe→Fe和奇對(duì)稱部分fo→Fo，其中Fe是實(shí)值的，而Fo是純虛數(shù)值的.事實(shí)上，能將任意的實(shí)函數(shù)寫成如下形式：

它是一個(gè)實(shí)值函數(shù)與一個(gè)純虛數(shù)值函數(shù)之和.一個(gè)二維實(shí)值函數(shù)的雙邊四元數(shù)傅里葉變換也具有類似的性質(zhì).

定理2 一個(gè)二維實(shí)值函數(shù)f 的雙邊四元數(shù)傅里葉變換Fqf 可以被分解成具有不同對(duì)稱性的4個(gè)部分

這里下標(biāo)e和o表示偶和奇對(duì)稱元素.

注意到

證畢.

3 結(jié) 論

為了在圖像處理等領(lǐng)域中更好地利用雙邊四元數(shù)傅里葉變換，本文研究了雙邊四元數(shù)傅里葉變換的部分性質(zhì).首先重新證明了一個(gè)二維實(shí)函數(shù)的雙邊四元數(shù)傅里葉變換具有四元埃爾米特性.這一重新證明從新的角度理解了雙邊四元數(shù)傅里葉變換.基于這一新的理解，構(gòu)造性地證明了一個(gè)二維實(shí)值函數(shù)的雙邊四元數(shù)傅里葉變換可以被分解成具有不同對(duì)稱性的4個(gè)部分.

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