基于公理設(shè)計的多目標(biāo)優(yōu)化方法研究

張海楊 田啟華，2 杜義賢，2

（1.三峽大學(xué)機械與材料學(xué)院，湖北宜昌 443002；2.三峽大學(xué)水電機械設(shè)備設(shè)計與維護湖北省重點實驗室，湖北宜昌 443002）

公理設(shè)計理論是通過對大量成功的設(shè)計案例進行分析歸納，并從中抽象出設(shè)計過程的本質(zhì).公理設(shè)計的最終目標(biāo)如下：為設(shè)計活動建立一個科學(xué)的模式，為設(shè)計人員提供一個基于邏輯和理性思維過程的理論基礎(chǔ)，進而來改進設(shè)計活動［1］.但公理設(shè)計常用于概念設(shè)計，很少應(yīng)用到詳細(xì)設(shè)計階段中.對于某個給定的結(jié)構(gòu)，多目標(biāo)優(yōu)化則是比較有效的設(shè)計方法，多目標(biāo)優(yōu)化是一個比較具體的過程，更多地涉及到詳細(xì)設(shè)計方面.

多目標(biāo)優(yōu)化問題中各目標(biāo)間往往存在著矛盾，即要求各目標(biāo)同時達(dá)到最優(yōu)是很困難的，所以最優(yōu)解不一定存在.而公理設(shè)計在處理大規(guī)模系統(tǒng)設(shè)計問題時有著較強的優(yōu)勢［1］，Liu［2］、Hwang［3］、Jeff［4］和王曉勇［5］等應(yīng)用公理設(shè)計中的獨立公理，對多目標(biāo)優(yōu)化問題進行了改進.

本文基于公理設(shè)計理論中的獨立公理，在求解多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計問題的過程中，運用全參直度S（Semangularity）和全能直度R（Reangularity）分析技術(shù)來解決多目標(biāo)優(yōu)化問題中設(shè)計優(yōu)劣難以評價的問題.

1 基于公理設(shè)計的多目標(biāo)優(yōu)化方法

公理設(shè)計中的獨立公理指出：對于一個能夠接受的設(shè)計，功能要求（FRs）與設(shè)計參數(shù)（DPs）之間的映射存在一種特定的關(guān)系，即每個功能要求能獨立地被滿足并且不會影響其他功能要求的實現(xiàn).它們之間的映射可用以下設(shè)計方程式來表示［6］：

可簡化為：

式中，｛FR｝為功能要求集，｛DP｝為設(shè)計參數(shù)集，［A］為設(shè)計矩陣.

若要滿足獨立公理，設(shè)計矩陣就必須是對角矩陣或者三角矩陣.若［A］為對角矩陣，則每一個｛DP｝滿足一個｛FR｝，此種設(shè)計為無耦合設(shè)計.若［A］為三角矩陣，則只有按一定的順序確定設(shè)計參數(shù)，才能使功能要求保持獨立性，此種設(shè)計為解耦設(shè)計.除此之外的設(shè)計都是耦合設(shè)計，耦合設(shè)計是違反獨立公理的.

公理設(shè)計通過兩個量化指標(biāo)R 和S 來度量FRs之間的獨立性.R 被用來測量DPs 之間的交互作用，也就是DPs軸之間的角度關(guān)系.R 的表達(dá)式可表示如下［1］：

S 被用來測量FRs 和DPs 之間的交互作用，也就是設(shè)計矩陣歸一化之后其對角線元素的幅值.S 的表達(dá)式可表示如下［1］：

大多數(shù)工程設(shè)計問題都是多目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計問題，優(yōu)化設(shè)計的表達(dá)式為

與單目標(biāo)優(yōu)化相比，多目標(biāo)優(yōu)化在理論與計算方法上都還很不完善，也不夠系統(tǒng)［7］.所以，本文引入公理設(shè)計來完善多目標(biāo)優(yōu)化理論和方法體系.其具體步驟如下：

1）獲得設(shè)計矩陣.實際上，在優(yōu)化設(shè)計問題中的目標(biāo)函數(shù)就相當(dāng)于功能需求，也就是公理設(shè)計中的｛FR｝，影響目標(biāo)函數(shù)值的參數(shù)相當(dāng)于設(shè)計參數(shù)｛DP｝（在優(yōu)化設(shè)計中稱作設(shè)計變量），但在優(yōu)化設(shè)計中，｛FR｝要通過｛DP｝以數(shù)學(xué)公式的形式來表示.

式（2）可寫成如下微分形式：

則設(shè)計矩陣可變形為：

2）對設(shè)計矩陣進行R／S 分析.目標(biāo)是找到最優(yōu)的設(shè)計參數(shù)，使其盡可能完美地滿足各功能需求.

由R、S 的定義可知（如圖1所示）：當(dāng)R＝S＝1時，設(shè)計是無耦合設(shè)計；當(dāng)R＝S 但不等于1時，設(shè)計被近似地看作是解耦設(shè)計；在僅有兩個FRs和DPs時，若R＝S，則該設(shè)計是解耦設(shè)計；其它情況下的設(shè)計均為耦合設(shè)計.因此，通過R／S 分析可以得到：當(dāng)設(shè)計變量取某一組值時，各目標(biāo)函數(shù)耦合的程度.

圖1 獨立空間

3）建立關(guān)于R 與S 的目標(biāo)函數(shù).為了使多目標(biāo)優(yōu)化問題簡化為可以在二維區(qū)域內(nèi)圖形化的問題，并使計算變得相對容易，根據(jù)圖1將其形式確定如下：

4）利用Matlab強大的數(shù)值運算功能和繪圖功能，繪制出各目標(biāo)函數(shù)的圖形，結(jié)合上面步驟得出的結(jié)果進行分析.

2 應(yīng)用分析

2.1 問題求解

以下是一個簡單的多目標(biāo)優(yōu)化問題，以此來舉例說明本文提出的方法.

1）獲得設(shè)計矩陣.

由式（7）可得設(shè)計矩陣

2）對設(shè)計矩陣進行R／S 分析.

根據(jù)定義域的大小，將設(shè)計域均分為4個區(qū)域，針對各區(qū)域的關(guān)鍵點進行R／S 分析計算.分析結(jié)果見表1.

表1 R／S分析結(jié)果

3）建立關(guān)于R 與S 的目標(biāo)函數(shù).

由式（8）可得

4）利用Matlab軟件繪制出各目標(biāo)函數(shù)的圖形，結(jié)合前幾步得到的結(jié)果進行分析.

由以上分析可得，在功能上無耦合的區(qū)域中，目標(biāo)函數(shù)的最小值在x＝5，y＝5處取得.

2.2 應(yīng)用分析

使用Matlab軟件可繪制出以上兩個目標(biāo)函數(shù)在邊界條件內(nèi)的三維圖形，如圖2所示，可以清晰地看出目標(biāo)函數(shù)值的變化趨勢.

圖2 二目標(biāo)函數(shù)的三維曲面表示

其Matlab代碼如下：

進而使用Matlab軟件繪制出以上兩個目標(biāo)函數(shù)的二維等高線圖，如圖3所示.

圖3 二目標(biāo)優(yōu)化問題的二維等高線圖

其Matlab代碼如下：

下面對圖3進行分析.

對于右上區(qū)域（點（5，5）和點（10，10）之間的區(qū)域），f1與f2近似相互垂直且與y、x 坐標(biāo)軸各自分別近似平行，系統(tǒng)是近似解耦的.

對于右下區(qū)域，只有f1與y 是近似平行的，系統(tǒng)是近似可解耦的.

對于左上、左下區(qū)域f1，f2與與y、x 軸都不平行，系統(tǒng)功能上是耦合的.

x，y 與f1，f2之間的關(guān)系也可以通過設(shè)計矩陣來描述.通過R／S 分析來判斷設(shè)計矩陣與理想的無耦合矩陣之間的差距.

根據(jù)這些分析結(jié)果，目標(biāo)函數(shù)的最小值（功能上無耦合）在點（5，5）處取得.因此，該多目標(biāo)優(yōu)化問題最優(yōu)解可以從無耦合的區(qū)域中確定.

3 結(jié) 語

本文用公理設(shè)計理論方法評估多目標(biāo)優(yōu)化問題，運用R／S 分析，降低了系統(tǒng)的功能耦合度，達(dá)到了更好的設(shè)計效果.在今后的研究中可以擴展R 與S 現(xiàn)有的定義，使其包含當(dāng)設(shè)計參數(shù)的數(shù)目多于目標(biāo)函數(shù)的數(shù)目的多目標(biāo)優(yōu)化問題.

［1］ S N P.Axiomatic Design：Advances and Applications［M］.New York：Oxford University Press，2001.

［2］ Liu X P，Soderborg N.Improving an Existing Design Based on Axiomatic Design Principles［M］.Boston.Massachusetts Institution of Technology，2000.

［3］ Hwang K H，Lee K W，Park G J，et al.Robust Design of the Vibratory Gyroscope with Unbalanced Inner Torsion Gimbal Using Axiomatic Design［M］.Boston：Massachusetts Institution of Technology，2002.

［4］ Jeff Thielman，Ge Ping.Applying Axiomatic Design Theory to the Evaluation and Optimization of Large Scale Engineering Systems［J］.Journal of Engineering Design，2006，17（1）：1－16.

［5］ 王曉勇，唐敦兵，樓佩煌.基于設(shè)計公理的多屬性決策方法［J］.西南交通大學(xué)學(xué)報，2008，43（3）：392－397.

［6］ S N P.公理設(shè)計發(fā)展與應(yīng)用［M］.謝友柏，袁小陽，等譯.北京：機械工業(yè)出版社，2004.

［7］ 黃洪鐘，姚新勝，周仲榮.基于滿意度原理的裝載機工作裝置的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計［J］.機械工程學(xué)報，2003，39（5）：97－103.